МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КОСТАНАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Реферат

На тему: «Сложение и вычитание, деление и умножение обыкновенных дробей».

Костанай

1. Из истории обыкновенных дробей ………………………………………..3

2. Действия с обыкновенными дробями..............…………………………..5

2.1. Сложение и вычитание обыкновенных дробей ……………………........5

2.2. Умножение и деление обыкновенных дробей ………………………….7

3. Примеры на сложение, вычитание, умножение и деление дробей ……. 10

4. Список литературы …………………………………………………………...11

1. Из истории возникновения обыкновенных дробей.

Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.

Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа –2/3- у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица – все остальные дроби непременно имели в числителе единицу (так называемые основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28; … . Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача:

«Разделить 7 хлебов между 8 людьми». Если резать каждый хлеб на 8 частей, придётся провести 49 разрезов.

А по-египетски эта задача решалась так: Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8. Значит каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезали пополам, два хлеба- на 4 части и один хлеб на 8 долей, после чего каждому дали его часть.

Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому, папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде суммы долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21: 5/21

Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением.

В древнем Вавилоне предпочитали наоборот, - постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Даже сейчас иногда говорят:”Он скрупулёзно изучил этот вопрос.” Это значит, что вопрос изучендо конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово “скрупулёзно” от римского названия 1/288 асса - “скрупулус”. В ходу были и такие названия: ”семис”- половина асса, “секстанс”- шестая его доля, “семиунция”- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию(2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

Обыкновенная дробь – это число вида

, где m и n – натуральные числа, например . Число m называется числителем дроби, n – знаменателем. Среди обыкновенных дробей различают правильные и неправильные дроби. Дробь называется правильной , если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной , если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

2. Действия с обыкновенными дробями.

2.1. Сложение и вычитание обыкновенных дробей.

Сложение обыкновенных дробей выполняется так:

а) если знаменатели дробей одинаковы, то к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель, т.е.

;

б) если знаменатели дробей различны, то дроби сначала приводят к общему знаменателю, предпочтительнее к наименьшему, а затем к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби, т.е.

.

Вычитание обыкновенных дробей выполняют следующим образом:

а) если знаменатели дробей одинаковы, то от числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель, т.е.

.

б) если знаменатели различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем от числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, т.е.

.

Сложение и вычитание дробей. Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же.

Например:

Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.

Например:

2.2. Умножение и деление обыкновенных дробей.

Умножение обыкновенных дробей выполняется следующим образом:

,

т.е. перемножаются отдельно числители, отдельно знаменатели, первое произведение делают числителем, второе – знаменателем.

При умножении дроби на натуральное число, числитель дроби умножают на это число, а знаменатель оставляют без изменения.

Если множители являются смешанными числами, то сначала их нужно записать в виде неправильных дробей, затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Деление обыкновенных дробей выполняют следующим образом:

,

т.е. делимое

умножают на дробь , обратную делителю .

Умножение обыкновенной дроби на целое число.

Чтобы умножить дробь на целое число, достаточно числитель дроби умножить на это число, оставив прежний знаменатель.

Например:

Умножение смешанного числа на целое число.

При умножении смешанного числа на целое в большинстве случаев проще отдельно умножить целое и дробь на целое число.

Например:

Умножение дробь на дробь

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

.

Деление обыкновенных дробей на целое число.

При делении дроби на целое число доста­точно числитель разделить на целое число, оставив прежний знаме­натель.

Например:

Как поступать в том случае, когда числитель данной дроби не делится на целое число. Тогда существует следующее правило

Чтобы разделить дробь на целое число, достаточно знаменатель дроби умножить на это число, оста­вив числитель прежним.

Например:

Деление дроби на дробь.

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь переписать, а вторую дробь перевернуть (это важно!) и их перемножить, т.е. знаменатель на знаменатель, числитель на числитель.:

Например:

.

3. Примеры на сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей.

Реши самостоятельно:

4.

5.

6.

Урбанская Маргарита Викторовна.

Изучение смысла арифметических действий на уроках открытия нового знания в начальной школе.

Содержание.

Введение.

1. Смысл действия сложения и вычитания.

   Смысл действия умножения и деления.

Глава 2. Учебная деятельность на уроке открытия нового знания.

Заключение

Список литературы

Введение. Изучение смысла арифметических действий является основным, базовым умением, которое приобретается в процессе обучения математике. Смысл арифметических действий подготавливается с начала курса математики практическими упражнениями в объединении двух множеств, в установлении связей между элементами двух множеств, в определении части множества представленных предметов. Все четыре основных арифметических действия в представлении учащихся имеют непосредственную связь с практическими задачами, в которых они применяются. Смысл действий сложения и вычитания, умножения и деления раскрывается на основе практических действий со множествами предметов и в системе текстовых задач. Определяя по двум числам третье, соответствующее заданным условиям, учащийся выполняет математическое действие. Современные системы обучения математике опираются на теоретико-множественный подход при раскрытии и формировании смысла арифметических действий (12),(13). Среди задач общего образования, школьного математического образования, следует отметить задачу развития учащихся. Процесс мышления детей, переход от практических операций к абстрактным, логическим действиям с числами и понятиями эффективнее всего развивается в курсе изучения математики. Это подтверждает и исторический опыт и современный запрос общества на формирование у учащихся не только практико-ориентированного, но и первоначального научно – теоретического мышления. Актуальность данной проблемы в практике начальной школы позволила определить тему дипломного исследования: «Изучение смысла арифметических действий на уроках открытия нового знания в начальной школе».

Цель исследования : выявить педагогические возможности раскрытия смысла арифметических действий на уроке открытия нового знания . Объект исследования : методика изучения арифметических действий. Предмет исследования : педагогический ресурс урока открытия нового знания при овладении арифметическими действиями. Гипотеза исследования: учащиеся успешно овладеют арифметическими действиями, если

Пропедевтическая работа над представлениями о математических действиях будет достаточная, практико-ориентированная, с учетом возрастных психологических особенностей и трудностей учащихся класса.

Материал урока открытия нового знания при проблемном изложении будет доступен и структурирован.

На уроке открытия нового знания арифметические действия будут непосредственно применены на практике, в решении задач.

В соответствии с целью и гипотезой в исследовании поставлены задачи : 1)проанализировать методическую литературу по проблеме обучения арифметическим действиям. 2)проанализировать данные о психологических предпосылках овладения арифметическими действиями. 3)раскрыть особенности урока открытия нового знания при овладении учащимися арифметическими действиями. 4)выявить особенности пропедевтики арифметических действий.

Методологическую основу исследования составили системно-деятельностный подход к обучению и развитию ребенка, теоретико-множественный подход при раскрытии и формировании смысла арифметических действий, культурно-историческую концепцию развития личности ребенка, психолого – педагогическое обоснование возрастных особенностей учащихся (Аверин В.А., Божович Л.И., Выготский Л.С., Давыдов В.В., Истомина Н.Б., Бантова М.А., Моро М.И. , Виноградова Н.Ф.) Исследование проведено с помощью методов наблюдения, сравнения и анализа деятельности учащихся на уроках математики, теоретического анализа научной литературы по проблеме, практической работы учителя, формирующего навыки арифметических действий. Теоретическая значимость : изучен и систематизирован теоретический и методический материал по данной проблеме, определено содержание учебного материала в программах начальных классов. Практическая значимость исследования: выделены виды задач, используемые для раскрытия конкретного смысла арифметических действий, выявлены приемы применения свойств арифметических действий, используемые для рационального решения примеров; проанализирована деятельность учителя по пропедевтике овладения учащимися арифметическими действиями. Апробирование исследования осуществлялась в ходе практической работы учителя. Достоверность исследования определяется анализом теоретического материала. Структура исследования: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.

Глава 1. Арифметические действия

1. Психологическая основа арифметических действий

«Это большая ошибка - думать, что ребенок приобретает понятие числа и другие математические понятия непосредственно в обучении. Наоборот, в значительной степени он развивает их самостоятельно, независимо и спонтанно. Когда взрослые пытаются навязать ребенку математические понятия преждевременно, он выучивает их только словесно; настоящее понимание приходит только с его умственным ростом.» - Жан Пиаже.(1)

К. Д. Ушинский определял ведущую роль «…руководимой учителем сознательной активности учащихся…» в усвоении ими понятия о числе и действий над числами. Арифметика должна преподаваться в школах так, чтобы каждый ученик оперировал знаками действий и числовыми величинами «...с таким же ясным сознанием, с каким он пишет самые обычные, понятные для него слова». Также в сознательном усвоении учащимися арифметических знаний придавалось значение наглядности и овладению арифметическим языком, «от непривычки к которому...главным образом, бывает неуспех в изучении арифметики», подчеркивалась роль образования числовых ассоциаций, функционирующих в языковой форме.(2)

Принцип сознательности в раскрытии смысла арифметических действий выдвигали на первый план и передовые русские методисты арифметики: П. С. Гурьев, Ф. И. Егоров, К. А. Аржеников, А. И. Гольденберг и другие. Они ставили перед учителем требование добиваться понимания учащимися арифметических действий, используя для этой цели наглядность на уроках арифметики, умелый переход от действий над множествами предметов к абстрактным действиям над числами. Сегодня эти принципы не являются устаревшими, а нашли свое развитие в проблемном подходе к изложению нового материала, в открытии на уроке нового для учащихся знания.

Понятие числа, как и все другие понятия, является «мысленным отражением» вещей, возникающим на основе опыта. Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы только из внешнего мира, они не возникают в сознании из чистого мышления. Эмпирический опыт, овладение сенсорными эталонами лежат в основе счетных навыков человека. Числовые понятия возникли и развивались исторически, в связи с развитием у человека способности отвлекаться от всех других свойств вещей, кроме их количественных отношений. Эта способность является результатом длительного, опирающегося на опыт, исторического

развития и характеризуется как абстрактное мышление. Ведущую роль в процессе развития сыграл язык, являющийся средством обмена мыслями между людьми и средством абстрагирующей работы человеческого мышления. Классические положения отечественной науки о языке как общественном явлении, о неразрывной связи речи с мышлением, роли языка в развитии мышления являются основополагающими для правильного понимания исторического возникновения числовых понятий и их усвоения детьми.

Формирование понятия числа у детей начинается еще до школы. Существенную роль в этом процессе играет эмпирическое, сенсорное познание детьми множества конкретных предметов, их восприятие, практическое оперирование ими и усвоение числительных. С помощью числительных совершается абстрагирование количественных отношений вещей. Познание этих отношений представляет собой сложнейший аналитико-синтетический процесс ощущения, восприятия и мышления ребенка. Он начинается в первой сигнальной системе, продолжается и развивается во второй сигнальной системе в их взаимодействии. На разных этапах этого процесса имеет место разное соотношение восприятия множества предметов, практического оперирования ими и счета. Роль счета постепенно все более возрастает по мере овладения им детьми, уступая затем ведущую роль арифметическим действиям в процессе дальнейшего развития понятия числа.

Предпосылкой для постижения смысла математических действий является зрелость ребенка, своевременность начала школьного обучения, которая лежит в основе школьной готовности.

Показателен опыт Ж. Пиаже, который подтверждается и в наблюдениях за сегодняшними учащимися. Ребенка 5 или 6 лет легко можно научить называть числа от 1 до 10. Если выложить 10 камешков в ряд, ребенок может правильно их сосчитать. Но если выложить камешки в виде более сложной фигуры или в беспорядке, он уже не может считать их точно. Хотя ребенок знает названия чисел, он еще не уловил существенной идеи числа, а именно, что число объектов в группе остается тем же, независимо от расположения.

Можно наблюдать, что ребенок 6 или 7 лет спонтанно образовал понятие числа, хотя до этого его не учили считать. Если ему дать 8 красных и 8 синих кусочков картона, он установит, располагая их попарно «1» к «1», что число красных такое же, как и число синих, и что обе группы остаются равными по числу независимо от формы, которая им придается.

Опыт с соотнесением «1» к «1» полезен и для изучения того, как у детей развивается понятие числа. Выложим ряд из 8 красных кусочков на расстоянии около сантиметра друг от друга и попросим наших маленьких испытуемых взять из ящика столько же синих кусочков. Реакции детей будут зависеть от возраста, и мы можем наметить три стадии развития. Ребенок в возрасте 5 лет и моложе будет выкладывать синие кусочки так, чтобы сделать ряд точно такой же длины, как и красный ряд, при этом красные кусочки он кладет вплотную друг к другу, а не на расстоянии. Он думает, что число остается тем же, если длина ряда такая же. В возрасте около 6 лет дети переходят на вторую стадию; они кладут один синий кусочек против каждого красного и получают правильное число. Но это вовсе не всегда означает, что дети приобрели понятие о самом числе. Если мы раздвинем красные кусочки, сделав расстояние между ними более значительным, то шестилетний ребенок будет думать, что теперь в более длинном ряду больше кусочков, хотя мы и не изменили их число. В возрасте от 6 до 7 достигают третьей стадии: теперь они знают, что, будем ли мы сдвигать или раздвигать ряд, число кусочков в нем остается тем же, что и в другом ряду.

Таким образом, Ж. Пиаже делает вывод, что дети должны уловить принцип сохранения количества, прежде чем они могут образовать понятие числа. Но, конечно, сохранение количества само по себе не является числовым понятием, это скорее логическое понятие. Так эти опыты из области детской психологии раскрывают, как формируется понятие числа, которое было предметом исследования многих математиков и логиков. (1)

Систематическое школьное обучение - качественно новый этап в развитии познавательной деятельности ребенка, оно определяет следующий этап формирования понятия о числе и действий над числами. Педагогическая задача состоит в том, чтобы укрепить прямой счет, которым дети еще недостаточно владеют, научить их считать с любого пункта натурального ряда чисел, помочь овладеть обратным счетом. Это укрепит основу счета и позволит перейти от присчитывания и отсчитывания по единице к счету группами. Позволит перейти от разложения множеств предметов к разложению чисел, познанию их состава, взаимных отношений друг к другу, к действиям над числами, устным и письменным вычислениям, их варьированию и выработке наиболее рациональных приемов вычисления.

При переходе от счета к арифметическому действию важное значение имеет умение учителя правильно актуализировать цель этого действия. Не просто «сосчитать», а «прибавить», «отнять», «найти сумму двух или нескольких чисел», научить детей правильно пользоваться знаком действия и выработать, опираясь на достижения в групповом счете, соответствующие способы действия.

Овладение первоклассниками арифметическими действиями требует дальнейшего развития у них анализа и синтеза, выработки систем временных нервных связей, ассоциаций в первой сигнальной системе и их обобщения во второй сигнальной системе. Выполнение арифметического действия требует наличия определенных средств, с помощью которых оно осуществляется. Таковыми являются ранее выработанные системы ассоциаций, лежащие в основе закрепленного в словах знания состава чисел, результатов их сложения и разложения, арифметических навыков, необходимых для овладения новыми, более сложными действиями.

Арифметические операции формируются у детей на основе счета и практических их действий с множествами предметов путем постепенного абстрагирования количественных соотношений между ними. Успешное протекание этого процесса зависит от того, как обеспечивается постепенность перехода детей от конкретных действий над предметами к отвлеченным вычислениям в уме, основным средством выполнения которых является слово.

1.2 Смысл действия сложения и вычитания.

В основе изучения действия сложения лежит практическое действие по объединению двух данных множеств предметов. Основой действия вычитания являются упражнения на выделение некоторой части множества по определенному признаку и последующему удалению этой части.

Открывая конкретный смысл действий, учащиеся должны установить связь между данной операцией и соответствующим ей арифметическим действием, познакомиться с терминологией и символикой.

Сложение - операция объединения конечных непересекающихся множеств.

Сложение - арифметическое действие, обозначенное знаком () плюс.

В области целых положительных чисел в результате действия сложения по данным числам - слагаемым получается новое число - сумма, которое содержит столько единиц, сколько их во всех слагаемых вместе. Итак, сумма ав есть некоторое число с - конечное число объединения множеств а и в .

Слагаемое, сумма - название компонентов и результата действия сложения. Дается двойное значение суммы: как операционное значение, так и результат действия.

Вычитание это арифметическое действие, обратное сложению. Вычитание обозначается знаком "минус" ().

Из числа а вычитают, оно уменьшается, называется уменьшаемое. Число b вычитается и называется вычитаемое. Выражение ав или с указывает на разницу, на сколько число а отличается от числа в . Поэтому эту разницу называют разностью d. Разность также имеет двоякое значение: операция с числами и результат действия.

При изучении конкретного смысла арифметических действий традиционно выделяют основные этапы .

На подготовительном этапе происходит раскрытие конкретного смысла действий сложения и вычитания, решение примеров и способ их записи. Рассматриваются случаи прибавления и вычитания 1, когда результаты получают на основе знания натуральной последовательности чисел.

Второй этап включает освоение и применение приемов присчитывания и отсчитывания по одному и группами для случаев прибавить и вычесть 2, 3, 4. В основе - конкретный смысл действий сложения и вычитания.

В логике следующего этапа предлагается обучение приему перестановки слагаемых для случаев прибавления 5, 6, 7, 8, 9. Теоретической основой данного этапа является переместительное свойство сложения. Учащиеся составляют таблицу сложения, усваивают состав чисел из слагаемых.

В завершении, на четвертом этапе дети изучают приемы вычитания на основе знания связи между суммой и слагаемыми для случаев вычитания чисел 5, 6, 7, 8, 9.

В закрепление необходимо составить общую таблицу сложения и вычитания, позволяющую применить все изученные приемы.

Далее, при формировании вычислительных навыков используются различные подходы: выучить таблицы сложения и вычитания; закрепить их в процессе решения примеров. Самостоятельно составить таблицы и непроизвольно запомнить их в процессе упражнений. После использования предметных действий и различных вычислительных приемов, ученику дается установка на запоминание таблиц и состава каждого числа.

Итак, конкретный смысл действия сложения определяется следующим:

Действия с совокупностями предметов – объединение и увеличение на несколько элементов

Увеличение данного предметного множества на несколько предметов

Увеличение на несколько предметов множества, равночисленного заданному

Составление одного предметного множества из двух данных

Смысл действия вычитания определяется следующим:

Действие, связанное с уменьшением количества предметов

Уменьшение данного множества на несколько предметов

Уменьшение множества, равночисленного данному, на несколько предметов

Сравнение двух предметных множеств. (3)

1.3 Смысл действия умножения и деления .

Действие умножения раскрывается в начальной школе как суммирование одинаковых слагаемых.

Умножение - это математическое действие, посредством которого из двух чисел или величин получается новое число или величина. Оно для целых чисел включает в виде слагаемого первое число столько раз, сколько единиц во втором. (4)

Умножение целых неотрицательных натуральных чисел - это действие а× b = a + a + a + a + a +…+ a , при b >1×1= a , при b =1×0=0, при b =0

Применение символики умножения позволяет сократить запись сложения одинаковых слагаемых. Запись вида 2 ×4=8 подразумевает сокращение записи вида 2+2+2+2=8. Ее читают так: «по 2 взять 4 раза, получится 8»; или: «2 умножить на 4 получится 8». Действие умножения во всех учебниках математики для начальных классов рассматривают ранее действия деления.

С теоретико-множественной точки зрения умножению соответствуют такие предметные действия с совокупностями,множествами, группами предметов, как объединение равных равночисленных совокупностей. Поэтому, прежде чем знакомиться с символикой записи действий и вычислениями результатов действий, ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации. Для раскрытия смысла действия нужно понимать и правильно представлять их со слов учителя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Изучение таблицы умножения является основной задачей обучения математике во 2 и 3 классе. Знание табличных случаев действия умножения усваивается наизусть. Заучивание на основе понимания позволяет учащимся овладеть впоследствии умножением и делением двузначного числа на однозначное, двузначного числа на двузначное, письменными случаями умножения и деления с наименьшими затруднениями.

При овладении умножением и делением необходимо формировать осознанности деятельности. Ребенок должен понимать, каким способом получают математический результат при понимании практического смысла действий, при переместительном свойстве умножения и связи между компонентами действия умножения. (6) К табличному умножению относятся случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения - находят суммы одинаковых слагаемых. Результаты табличного умножения в соответствии с программными требованиями к содержанию начального общего образования дети должны знать наизусть. Приемы составления таблиц умножения основаны на смысле действия умножения. Результаты этих таблиц получают при последовательном сложении одинаковых слагаемых. Например, умножение числа 2: 2+2=2*2, 2+2+2=2*3, 2+2+2+2=2*4, 2+2+2+2+2=2*5

Иллюстрация помогает ребенку получить результат пересчетом фигурок. При небольших значениях множителей прием пересчитывания для получения табличного значения произведения приемлем, и учитель им часто пользуется при умножении чисел 2, 3, 4.

При значении второго множителя больше 5 удобнее использовать для получения результатов табличных значений прием прибавления к предыдущему результату. Например: 2×6=2×5+2=..., 2×7=2×6+2=…, 2×8= 2 ×7+2=…, 2×9=2×8+2=...

Аналогично составляется таблица значений умножения числа 3.

Следующим приемом, на основе которого составляются таблицы значений умножения чисел, является прием перестановки множителей. Этот прием фактически является первым математическим законом относительно действия умножения в начальной школе: От перестановки множителей произведение не меняется.

Способ знакомства детей с этим правилом, законом обусловлен ранее введенным смыслом действия умножения. Используя предметные модели множеств, дети пересчитывают результаты группировки их элементов разными способами, убеждаясь, что результаты не меняются от изменения способов группировки . Например: 2 ×3 = 6 , 3 × 2 = 6

Счет элементов рисунка - множества парами по горизонтали совпадает со счетом элементов тройками по вертикали. Рассмотрение нескольких вариантов подобных случаев дает учителю основание произвести индуктивное обобщениет - обобщение нескольких частных случаев в обобщенном правиле о том, что перестановка множителей не меняет значение произведения.

Для запоминания таблицы умножения существуют такие приемы как:

Прием счета двойками, тройками, пятерками;

Прием последовательного сложения - основной прием получения результатов табличного умножения. Данный прием связан со смыслом действия умножения как сложения одинаковых слагаемых;

Прием прибавления слагаемого к предыдущему результату (вычитания из предыдущего результата).

Прием взаимосвязанной пары: 2 × 6 6 ×2 (перестановка множителей);

Прием запоминания последовательности случаев с ориентиром на возрастание второго множителя;

Прием «порции»;

Прием запоминающегося случая в качестве опорного. Например, 5 × 6 =30, значит 5 ×7 =30+5 =35;

Прием внешней опоры; В качестве опоры используется рисунок или прямоугольная таблица чисел. Обводя на клетчатом поле прямоугольник с заданным количеством клеток в сторонах, ребенок использует эту модель для контроля полученного результата или просто подсчитывает клетки как умеет. Например: 4×5 = 20

Прием запоминания таблицы «с конца»;

Пальцевый счет при запоминании таблицы умножения. Например, нужно умножить 6 на 7. Зажимаем пальцы на обеих руках в кулак, а затем на каждой руке отгибаем столько пальцев, на сколько каждый множитель больше, чем пять. На двух руках отогнуто три пальца - это число десятков в искомом числе. На одной руке остались прижатыми к ладони три пальца, на другой - четыре пальца. Эти числа перемножаем 3 ×4=12 и прибавляем к числу имеющихся десятков 30+12= 42. Ответ: 6 ×7=42.

Смысл действия деления

Действие деления изучается в начальной школе как действие, обратное умножению. Деление - это обратное умножению математическое действие: нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. (7) С теоретико-множественной точки зрения смыслу деления соответствует операция разбиения множества на равночисленные подмножества. Таким образом, процесс нахождения результатов действия деления связан с предметными действиями двух видов:

Разбиение множества на равные части. Например, 8 кружков разложили в 4 коробки поровну: раскладывают 8 кружков по одному в 4 коробки, а затем считают, сколько кружков получилось в каждой коробке.

Разбиение множества на части по сколько - то в каждой части. Например, 8 кружков разложили в коробки по 4 штуки - раскладывают 8 кружков по 4 штуки в коробки, а затем считают, сколько получилось коробок. Деление по этому принципу называют «деление по содержанию».

Применяя предметные действия и рисунки, дети находят результаты деления.

Выражение вида 12:6 называют частным. Число 12 в этой записи называют делимым, а число 6 - делителем. Запись вида 12:6=2 называют равенством. Число 2 называют значением выражения. Поскольку число 2 в данном случае получено в результате деления, его также называют частным.

В начальной школе действие деления – действие, обратное умножению. Поэтому сначала учащихся знакомят со случаями деления без остатка в пределах 100: «табличным» делением. С действием деления дети знакомятся после того, как уже выучили наизусть таблицы умножения чисел 2 и 3. На основе знания этих таблиц уже на четвертом уроке после знакомства с делением, составляется первая таблица деления на 2. Для получения ее значений используют предметный рисунок.

4:2=… 8:2=… 14:2=…

6:2=… 10:2=… 16:2=…

20:2=… 12:2=… 18:2=…

Значения частных получают подсчетом элементов рисунка на картинке.

Приемы запоминания табличных случаев деления связаны со способами получения таблицы деления из соответствующих табличных случаев умножения:

Прием, связанный со смыслом действия деления. При небольших значениях делимого и делителя ребенок может либо произвести предметные действия для непосредственного получения результата деления, либо выполнить эти действия мысленно, либо использовать пальцевую модель.

Прием, связанный с правилом взаимосвязи компонентов умножения и деления. В этом случае ребенок ориентируется на запоминание взаимосвязанной тройки случаев, например: 3×7=21 21:7=3 21:3=7

Если ребенку удается хорошо запомнить один из этих случаев, где обычно опорный - это случай умножения, или он может получить результат с помощью любого из приемов запоминания таблицы умножения, то, используя правило: если произведение разделить на один из множителей, то получится второй множитель, легко получить второй и третий табличные случаи. (8)

Таким образом, при изучении действия умножения и деления ученикам необходимо знать смысл действия умножения и деления, табличные случаи умножения и деления.

Глава 2. Деятельность учителя на уроке открытия нового знания.

2.1 Урок открытия нового знания в системе уроков

Одной из основных целей современного российского образования становится полноценное формирование и развитие способностей ученика самостоятельно очерчивать учебную проблему, формулировать алгоритм ее решения, контролировать процесс и оценивать полученный результат – научить учиться, а не репродуктивная передача знаний, умений и навыков от учителя к ученику.

И это ведет к изменениям задач и условий образовательного процесса, в основу которого положены идеи развития личности школьника. Деятельностные способности учащихся формируются лишь тогда, когда дети не пассивно усваивают новые задания, а включены в самостоятельную учебно-познавательную деятельность.

Структурирование уроков в начальных классах сегодня сведено к ряду этапов: организация класса; актуализация ранее усвоенных знаний и умений или повторение; формирование новых знаний и умений; открытие нового знания; первичное закрепление; самостоятельная работа с самопроверкой по эталону, Самоанализ и самоконтроль; включение нового знания в систему знаний и повторение и рефлексия деятельности.

Если раньше ребёнок выступал в роли пассивного слушателя, то в соответствии с новыми веяниями, он должен стать исследователем, который умеет сам добывать знания, работая в группе с другими детьми или самостоятельно. Основные типы уроков остаются прежними, но в них внесены изменения.

Г лавная методическая цель урока в новой типологии уроков при системно - деятельностном обучении – создание условий для проявления познавательной активности учеников. Эта цель достигается следующим:

Ход познания – «от учеников». Учитель составляет и обсуждает план урока вместе с учащимися, использует в ходе урока дидактический материал, позволяющий ученику выбирать наиболее значимые для него вид и форму учебного содержания. Преобразующий характер деятельности обучающихся: наблюдают, сравнивают, группируют, классифицируют, делают выводы, выясняют закономерности. Интенсивная самостоятельная деятельность обучающихся, связанная с эмоциональными переживаниями, которая сопровождается эффектом неожиданности. Коллективный поиск, направляемый учителем (вопросы, пробуждающие самостоятельную мысль учеников, предварительные домашние задания). Учитель создает атмосферу заинтересованности каждого ученика в работе класса. Создание педагогических ситуаций общения на уроке, позволяющих каждому ученику проявлять инициативу, самостоятельность, избирательность в способах работы. Гибкая структура. Учитель использует разнообразные формы и методы организации учебной деятельности, позволяющие раскрыть субъективный опыт обучающихся.

Среди уроков деятельностной направленности, наряду с , занятиями и , рассмотрим «урок изучения нового». Его место в серии уроков, раскрывающих новый материал, первое, вводное, в котором должно произойти «открытие» знания детьми. Это предполагает особую подготовку такого урока. По форме это может быть традиционный или комбинированный урок, лекция, экскурсия, исследовательская работа, учебный и трудовой практикум. «Урок открытия нового знания» имеет целью изучение и первичное закрепление новых знаний.

2.2 Моделирование урока открытия нового знания.

Рассмотрим структуру урока открытия нового знания на примере изучения конкретного смысла действия вычитания. Деятельностная цель урока: формирование у учащихся умений реализации новых способов действия: уменьшения числа на несколько единиц, вычитание части из целого.
Содержательная цель урока: расширение понятийной базы за счет включения в нее новых элементов: название компонентов действия вычитания и обозначение операции математическим символом «минус»

Структура урока открытия нового знания :

Тема « Смысл действия вычитания» Тип урока - ОНЗ

Задачи : Разъяснить смысл действия вычитания, познакомить с терминологией: «разность», «уменьшаемое», «вычитаемое», «значение разности».

Ресурсы урока : Моро М.И. и др. Математика: 1класс, 1 часть; рабочая тетрадь 1 класс, 1 часть, электронное приложение.

1 Этап мотивации к учебной деятельности (выработка на личностно значимом уровне внутренней готовности выполнения требований учебной деятельности)

Действия учителя: организует работу детей, предлагает открыть учебник, подготовить тетрадь, предлагает отгадать загадку.

2 Этап актуализации необходимых знаний и пробного учебного действия: подготовка мышления учащихся, организация потребности к построению учебных действий и фиксирование каждым из них индивидуального затруднения в пробном действии.

Действия учителя: предлагает произвести вычитание части предметов из предлагаемых, зачеркнуть часть объектов из целого на доске, убедиться, что предметов стало меньше, чем было.

Предлагает сложить предметный материал и записать в виде примера действие сложения. Актуализирует знания детей об операции сложения.

Предлагает сравнить, что произошло с количеством предметов при сложении и вычитании, в разных операциях.

3 Этап выявления причины затруднения - помочь найти учащимися, в чем именно состоит недостаточность их знаний.

Действия учителя: Предлагает предметный материал (положить 5 кругов, убрать 2 круга; положить 7 квадратов, отодвинуть 3 квадрата)

Определяется название операции – вычитание. Предлагается ряд синонимов: отнять, убрать, зачеркнуть, стереть и т. д. Уточняется, какие математические знаки известны детям (+ - =), какой знак подойдет для записи данной операции. Предлагается запись действия вычитания.

4 Этап реализации открытых знаний: построение учащимися нового способа действий и формирование умений его применять.

Действия учителя: Предлагается выполнить рисунок геометрических фигур в тетради в строку и зачеркнуть заданное количество. Проговаривается, сколько было, зачеркнули, осталось. Под рисунком выполняется запись примера со знаком «минус». Проговариваются варианты чтения выражения (от 7 отнять 3, получится 4, 5 минус 2 равно 3)

Детям можно предложить найти отличие в записи примеров на сложение и вычитание, в записи математических знаков, уточнить, что означают символы.

После динамической паузы реализуем:

5 Этап первичного закрепления с проговариванием во внешней речи

Целью этапа является усвоение учащимися нового способа действия при решении типовых задач.

Действия учителя: Предлагается задача на уменьшение числа. Например, сидело 5 снегирей, два снегиря улетели. Сколько осталось? Несколько задач обсуждаются и выполняются детьми устно; далее парам предлагается выполнить схему и записать действие вычитание. Работа может быть предложена кому - либо из детей у доски.

6 Этап самостоятельной работы с самопроверкой по эталону .

На этапе самостоятельной работы учащихся происходит интериоризация нового способа действия и исполнительская рефлексия, коллективная и индивидуальная, достижения цели пробного учебного действия, применение нового знания в типовых заданиях.

Действия учителя: организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия. Предлагаются задания на карточках, которые выполняются совместно с соседями. В карточках действие вычитание и его результат, которые требуется соединить; соединить предметную схему и решение действием вычитания; иные задания, закрепляющие конкретный смысл действия вычитания. Взаимная проверка производится фронтально, коллектив реагирует на правильные и неправильные ответы групп детей, предлагается возможность исправить решение.

На данном этапе важно создать, по возможности, ситуацию успеха для каждого ребенка.

Целью этапа является повторение и закрепление ранее изученного и подготовка к формированию устойчивого навыка действия вычитания. Выявляют, в каком случае применимо новое знание, в частности, вычитание; использование его в системе изученных ранее знаний, то есть, наряду с действием сложения. Производится подготовка к раскрытию связи между компонентами действия и связи сложения и вычитания.

Для этого необходимо в дальнейшем довести действие вычитания до уровня автоматизированного навыка; повторить учебное содержание, необходимое для обеспечения содержательной непрерывности

8

При проведении рефлексии учебной деятельности является самооценка учащимися результатов работы, осознание конкретного смысла действия вычитания, определение известного и нового о изучаемой операции; применение нового способа действия.
Для реализации этой цели организуется рефлексия и самооценка учениками собственной учебной деятельности на уроке. Учащиеся соотносят цель и результаты своей учебной деятельности и фиксируют степень их соответствия. Намечаются цели дальнейшей деятельности, делаются догадки, какого рода информация может быть, если продолжить изучение действия вычитания. Можно актуализировать рассуждение учеников, с какой целью и когда бывает нужно данное действие.

Таким образом, соблюдая этапы, общие для структуры урока открытия нового знания, учитель может моделировать и уроки, на которых раскрывается конкретный смысл арифметических действий, и иные занятия.

Современной методикой также предлагается алгоритм построения новых типов уроков.

Алгоритм конструирования урока открытия нового знания :

Выделить и сформулировать новое знание.

Смоделировать способ открытия нового знания.

Вычленить мыслительные операции, используемые при открытии нового знания.

Определить необходимые ЗУН и способы его повторения.

Подобрать упражнения для этапа актуализации, опираясь на перечень необходимых мыслительных операций и ЗУНов.

Смоделировать затруднение и способ его фиксации

Смоделировать проблемную ситуацию и диалог

Составить самостоятельную работу и объективно обоснованный эталон.

9. Определить приемы организации и проведения первичного закрепления.
10. Подобрать задания для этапа повторения по уровням.
11. Провести анализ урока по конспекту. 12. Внести при необходимости коррективы в план конспекта

Следуя ему при составлении урока, учитель может существенно оптимизировать свою работу, при этом не упустить главное в его содержании.

Заключение

Список литературы

1 Жан Пиаже «Как дети образуют математические понятия» Вопросы психологии, 1966, № 4, с.121-126

2 Использование педагогического наследия К.Д. Ушинского в подготовке учителя http://www.yspu.yar.ru

3 Формирование представлений о конкретном смысле арифметических действий Глаголева Юлия Игоревна, к.п.н., доцент кафедры начального образования АППО СПб (материалы лекции)

4 Истомина Н.Б. и др. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах: Учебное пособие для студентов педагогических институтов по специальности «Педагогика и методика начального обучения»/ Н.Б. Истомина, Л.Г. Латохина, Г.Г. Шмырёва. - М.: Просвещения, 1986. - 176 стр. ил.

5 Математика. Учеб.для 2 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч.2. (Второе полугодие)/ М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 96 с.: ил.

6 Начальная школа №9 - 2001 г., с 74.

7. Ожегов С.И. и Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка: 80000 слов и фразеологических выражений / Российская академия наук. Институт русского языка имени В.В.Виноградова - 4-ое издание дополненное. М.: ООО «ИТИ Технологии» 2006г., 944 стр.

8. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций: Учебное пособие для студентов высших педагогических учебных заведений. - М.: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 2005. - 138 стр.: ил. - (Вузовское образование).

Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс: Методические рекомендации для учителей. - Изд. 2-е, перераб. И доп. - М: Издательство «Ювента», 2005. - 336 с.: ил. О журнале › › )

Эти материалы составляют четвертую группу и предназначены для постепенного запоминания таблиц сложения, вычитания, ум­ножения и деления чисел. В результате работы с этими материала­ми ребенок должен научиться свободно выполнять в уме сложе­ние и умножение однозначных чисел и обратные им действия: вычитание, если вычитаемое и разность - однозначные числа, и деление без остатка на однозначный делитель, если делимое не превышает 81. Материалы разбиты на четыре серии соответствен­но четырем арифметическим действиям. Каждая серия завершает­ся тестовым материалом - пустой картой, которую ребенок за­полняет, производя действия в уме. Для ориентации ребенка и учителя арифметическим действиям, а значит, материалам каж­дой серии, сопоставлен определенный цвет: сложению - крас­ный, вычитанию - зеленый, умножению - желтый, делению - синий.

В1-ю серию «Сложение» входят следующие материалы: «игра в змею» на сложение, доска с полосами и контрольными картами 1 и 2 на сложение, рабочие карты 3, 4, 5 и 6 для упражнений на сложение.

«Игра в змею» на сложение - ребенок превращает змею из цвет­ных стержней в золотую, одновременно упражняясь в счете и за­мене комбинаций цветных стержней, представляющих 2 или бо­лее однозначных слагаемых, на золотые и черно-белые стержни, соответствующие их сумме.

Доска с полосами для сложения; контрольные карты 1 и 2 на сложение - материал дает ребенку возможность решить все при­меры на сложение однозначных чисел от 1 + 1 до 9 + 9 при помо­щи планок-полос, соответствующих числам от 1 до 9. Контрольные карты применяются для проверки правильности решения.

Рабочие карты 3-6 для упражнений на сложение - название материала говорит само за себя. При помощи карт 3-5 выполня­ются многочисленные упражнения на сложение однозначных чи­сел, карта 6 является тестовой.

2-я серия «Вычитание» включает следующие материалы: «игра в змею» на вычитание, доска с полосами и контрольная карта 1 на вычитание, рабочие карты 2 и 3 для упражнений на вычита­ние.

«Игра в змею» на вычитание - материал аналогичен «игре в змею» на сложение, однако к нему добавлены серые стержни, обозначающие вычитаемые. Цветную змею снова превращают в золотую, при этом серые бусины «съедают» цветные, и ребенок, по существу, упражняется в вычитании.

Доска с полосами для вычитания; контрольная карта 1 на вычи­тание - материал позволяет при помощи планок-полос, соот­ветствующих числам от 1 до 9, решить все примеры на вычита­ние, когда вычитаемое и разность являются однозначными чис­лами. Карта 1 на вычитание служит для контроля ошибок.

Рабочие карты 2 и 3 для упражнений на вычитание - предназ­начены для упражнений на вычитание. Карта 3 является тестовой.

В 3-ю серию «Умножение» входят следующие материалы: «ум­ножение со стержнями из бусин», доска для умножения с конт­рольными картами 1 и 2 на умножение, рабочие карты 3-5 для упражнений на умножение.

Умножение со стержнями из бусин - при помощи этого мате­риала ребенок последовательно решает все примеры на умноже­ние однозначных чисел. Он может также выложить таблицу умно­жения из цветных стержней. Произведение 2 чисел выглядит как прямоугольник или квадрат.

Доска для умножения - на конкретном материале из бусин ре­бенок учится перемножать числа до 10 включительно и выполня­ет все примеры от 1 х 1 до 10 х 10. Контрольные карты 1 и 2 служат для проверки правильности результатов. Ребенок снова видит ре­зультат умножения двух чисел в виде прямоугольника или квад­рата с соответствующими длинами сторон. Он знакомится также с коммутативным законом умножения.

Рабочие карты 3- 5 для упражнений на умножение - дают ре­бенку возможность потренироваться в умножении чисел, каждое из которых не превосходит 10. Карта 5 является тестовой.

Перечислим, наконец, материалы 4-й серии: доска для деле­ния, рабочие карты 1 и 2 для упражнений на деление.

Доска для деления - с помощью конкретного материала из бу­син ребенок может решать примеры на деление, в том числе с остатком, где делитель и частное являются однозначными числами.

Рабочие карты 1 и 2 для упражнений на деление - служат для упражнений на деление без остатка. Карта 2 является тестовой.