Письменное умножение трехзначного числа на двузначное. Умножение на двузначное и трехзначное числа. Умножение на двузначное и трехзначное число

Умножение на двузначное и трехзначное число рассматривается на основе свойства умножения числа на сумму .

Полезно начать работу с устного умножения двузначного числа на двузначное. Для ознакомления с приемом подбираются более легкие случаи, например:

16 12 = 16 (10 + 2) = 16 10 + 16 2 = 160 + 32 = 192

Затем надо предложить более трудный случай, например:

Музей арифметических раритетов. Витрина арифметических чудес. Интересные особенности некоторых чисел, представленные в нашей «галерее», не имеют ничего общего с некоторыми воображаемыми свойствами, которые фанаты таинственного воспринимают в других числах. В качестве примера таких числовых суеверий следующий текст служит иллюстрацией, в которой известный французский писатель Виктор Гюго спекулирует в области арифметики без всякой осмотрительности.

Число 12 Насколько это особенное? Это число месяцев в году, а количество единиц - десяток. Но, в сущности, что особенно касается дюжины? Мало кто знает, что 12 - старый и побежденный соперник из числа 10 в поединке почетным положением базы системы нумерации. Люди великой культуры Древнего Востока, вавилоняне и их предшественники-шумеры выполнили вычисления в системе двенадцатеричной нумерации. До сих пор мы отдавали дань этой системе, несмотря на победу десятичной системы. У нас есть большая склонность к десяткам и толстым; наш день делится на 2 дюжины часов, наши часы делятся на 5 десятков минут, наши минуты делятся на 5 десятков секунд, круг делится на 30 градусов, и, наконец, нога разделена на 12 дюймов, Разве они не подтверждают великое влияние этой древней системы в наши дни?

87 64 = 87 (60 + 4) = 87 60 + 87 4

Дети убеждаются, что устно решить такой пример трудно. Учитель предлагает выполнить вычисления письменно:

Чтобы умножить 87 на 64, надо сначала умножить 87 на 4, затем умножить 87 на 60 и полученные числа сложить.

Умножаем 87 на 4: четырежды семь - 28; 8 запишем, 2 запоминаем;

четырежды восемь - 32, да 2, получим 34, записываем 34.

Уместно ли, что в борьбе между десятком и десятками восторжествовало последнее? Конечно, из-за тесной связи между десятью и десятью пальцами наши собственные руки были и остаются естественными калькуляторами. Но если бы это было не так, было бы целесообразно отдать предпочтение 12, прежде чем гораздо удобнее выполнять вычисления в двенадцатеричной системе, чем в десятичной. Это связано с тем, что число 10 делится только между 2 и 5, тогда как 12 делится между 2, 3, 4 и 10, есть только два делителя, а в 12 - четыре.

Преимущества системы двенадцатеричной системы, если учесть, что в этой системе каждое число, оканчивающееся на ноль, кратно 2, 3, 9, и каждое двенадцатеричное число, оканчивающееся на два нуля, делится на 144 и, следовательно, также среди всех множителей 144, то есть между этими числами.

Получили 348.

Теперь умножаем 87 на 60.

Для этого надо 87 умножить на 6 и полученное число умножить на 10, т.е. приписать к нему справа нуль, пишем нуль на месте единиц.

7 умножить на 6 - 42, 2 пишем на месте десятков, 4 запоминаем.

8 умножить на 6 - 48, да 4 - 52, пишем 52.

Получим 5220.

Сложим числа 348 и 5220.

Произведение 5568.

Здесь 87 и 64 - множители ,

Четырнадцать делителей, вместо восьми, имеющих десятичные числа, оканчивающиеся на два нуля, а именно. С другой стороны, было бы большой ошибкой думать, что делимость числа может зависеть от системы нумерации, в которой она представлена. Если орехи, содержащиеся в мешке, можно разделить на 5 равных свай, это свойство не изменяется в зависимости от системы нумерации, в которой мы выражаем это число, или мы записываем его на счету или записываем его буквами или представляем его с помощью любой другой метод.

Если число, записанное в двенадцатеричной системе, делится между 6 или 72, то, если оно выражено в другой системе нумерации, например, в десятичной системе, оно должно иметь одинаковые делители. Разница лишь в том, что в системе двенадцатеричной системы делимость между 6 или 72 легче проверяется. Столкнувшись с такими преимуществами системы двенадцатиперстной кишки, неудивительно, что среди математиков был услышан голос в пользу окончательного перехода к этой системе. Однако мы уже привыкли к десятичной системе для решения математических подходов с помощью этой системы.

348 - первое неполное произведение ,

5220 - второе неполное произведение ,

5568 - окончательный результат или произведение чисел 87 и 64.

Полезно, чтобы при объяснении вычислительного приема учащиеся сначала указывали все основные операции в определенной последовательности. Это способствует пониманию места и значения каждой операции. Подробное объяснение дается только тем операциям, которые являются новыми для учащихся, знакомые же операции выполняются самостоятельно, приэтом даются краткие пояснения.

Великий французский математик Лаплас высказал следующее мнение по этой проблеме: Основа нашей системы нумерации не делится между 3 и 4, то есть между двумя делителями, очень используемыми для их простоты. к системе нумерации это преимущество, но, без сомнения, такое нововведение было бы контрпродуктивным. Мы потеряли бы полезность, которая породила нашу арифметику: возможность вычисления пальцами рук. Он приступил к стандартизации единиц, а также к десятичным знакам, измерениям дуг, минут и степеней.

Реформа была предпринята во Франции, но она не была реализована. Никто, кроме Лапласа, не был горячим сторонником этой реформы. В своей знаменитой книге «Экспозиция системы мира» он последовательно выполняет десятичное разбиение углов; называемой степенью, а не девяносто девятой, а сотой части прямого угла, минутой до сотой части градуса и т.д. фактически, Лаплас высказал свое мнение о десятичном подразделении часов и минут. «Единообразие системы мер требует, чтобы день разделился на 100 часов, час через 100 минут, минута через 100 секунд», - писал выдающийся французский геометр.

После решения нескольких примеров (134 46, 268 37, 451 32) учитель обращает внимание учащихся на особенность второго неполного произведения: оно всегда оканчивается нулем, следовательно, при сложении неполных произведений единиц всегда будет столько, сколько их в первом неполном произведении, значит, нуль можно не писать, а второе неполное произведение начинать записывать под десятками.

Поэтому мы видим, что дюжина имеет долгую историю и что число 12, не без основания, находится в галерее цифровых чудес. Напротив, его сосед, номер 13, появляется здесь не потому, что он замечателен, а скорее потому, что его нет, хотя он используется именно мрачной славой: неудивительно, что, поскольку ничто не отличает число, оно может стать «опасно» для суеверных людей? Это суеверие, возникшее в древнем Вавилоне, распространилось по всей планете, о чем свидетельствует тот факт, что во времена царского режима, строители электрических трамваев в Санкт-Петербурге, не решили ввести номер маршрута 13, опущены и перешли к числу.

Так же ведется объяснение умножения на трехзначное число.

На первых порах изучения умножения на двузначное и особенно на трехзначное число наряду с решением примеров полезно включать упражнения на составление плана решения, который записывают в виде выражения, но самого действия не выполняют, например:

286 374 = 286 4 + 286 70 +286 300

Власти считали, что публика не будет путешествовать в вагонах с таким «зловещим» числом. В отелях, как правило, нет номера номера для борьбы с этим численным суеверием, необоснованным, в некоторых частях Запада даже составляли эксклюзивные «Клубы № 13». В следующем окне музея арифметических чудес мы видим число.

Число 365 примечательно, прежде всего потому, что оно называет количество дней в году. Другим свойством номер 365, не связанным с календарем, является. То есть число 365 равно сумме квадратов из трех последовательных чисел, начиная с 10. Рачинского, который вдохновил знаменитую картину Богданова-Бельского. «Трудная проблема». Немногие числа объединяют эти свойства в нашей галерее арифметических чудес.

Целесообразно предлагать и обратные упражнения, когда по плану решения (84 6 + 84 30) надо составить пример (84 36), а в целом можно записать следующее равенство: 84 6 + 84 30 = 84 36.

Подобные упражнения фиксируют внимание учащихся на вычислительном приеме и том свойстве, которое лежит в его основе.

Следует обратить внимание еще на одну группу упражнений, цель которых состоит в том, чтобы предупредить смешение сходных вычислительных приемов при умножении на двузначные числа. Укажем некоторые из них.

Виньетка знаменитой картины художника Богданова-Бельского под названием «Трудная проблема». Число, с помощью которого легко умножить. Интересное свойство числа 999 проявляется в его умножении на любое другое число из трех цифр. Таким образом получается шестизначный продукт: первые три цифры составляют число, умноженное на 999, уменьшенное на единицу, а остальные три цифры являются «дополнением» к девяти из первых трех. Например, 573: он уменьшает 573 в единице, он остается.

Нужно только взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этого свойства. Зная эту особенность, мы можем умножить «мгновенно» любое количество трех цифр на 999. Используя эти свойства, небольшие демонстрации «мгновенного умножения и деления» могут быть организованы до светского.

1) Учащимся предлагается рассказать способ решения пары примеров, составленных с таким расчетом, чтобы на фоне сходного ярче выступало различие приемов. Как умножить письменно 138 на 14? (Надо 138 умножить на 4, 138 умножить на 10, полученные результаты сложить: 138 14 = 138 4+ 138 10.)

Как умножить 138 на 40? (Надо 138 умножить на 4 и полученный результат умножить на 10; 138 40 = 138 4 10.)

Здесь, наконец, это третья численная пирамида, которая также требует объяснения. Эта пирамида является прямым следствием первых двух. Отношения устанавливаются очень легко. Из первой пирамиды мы уже знаем, что, например. Умножая обоих членов на 8, мы имеем.

Но со второй пирамиды известно, что. Наконец, каждый понимает, что все эти числовые пирамиды не столь таинственны, как кажется на первый взгляд. Однако некоторые считают, что они еще не определились. Девять одинаковых чисел Последняя строка первой «пирамиды».

Является частью полной группы интересных арифметических курьезов нашего музея, собранных в таблице. Но где сингулярность результатов? И отсюда вы получаете прямо, что. Числа этого результата уменьшаются симметрично, от центра, в обоих направлениях. Численные чудеса, на которых мы теперь будем говорить о требовании читателя, о знании бесконечных периодических дробей. Легко видеть, что, преобразуя первые две дроби в десятичные числа, получается конечное число двух и трех цифр соответственно. Когда остальные фракции преобразуются в десятичные числа, получается бесконечная серия чисел, которые повторяются в определенном порядке.

Упражнение, обратное первому. Если 376 умножили на 4, 376 умножили на 10 и полученные числа сложили, то на какое число умножили 376? (376 14) И вопрос, и ответ можно записать так: 376-4+376-10=376-14. Если 376 умножим на 4 и полученный результат умножим на 10, то на какое число умножили 376? (376 40.) Запись: 376 4 10 = 376 40.

Устное и письменное решение пар примеров в одно действие: 25 12 и 25 20; 194 16 и 194 60, а также письменное решение пар примеров в несколько действий и сравнение их. Что больше и на сколько: произведение 346 7 10 или сумма произведений 346 7 + 346 10?

Эти фракции называются периодическими, а группа чисел, которые повторяются в них, называется периодом. Волшебные кольца Какие странные кольца выставлены в следующей галерее нашей галереи! Перед нами три плоских кольца, которые вращаются свободно, каждый внутри другого. В каждом кольце записаны шесть цифр в том же порядке, что и число.

В положении, показанном на фиг. 37, добавив числа двух внешних колец, получим. В других относительных расположениях колец имеются и другие случаи. Такая же серия чисел также получается в той же последовательности путем вычитания чисел, записанных на кольцах.

Решение примеров разными способами, например:

25 16 = 25 (4 4)=25 4 4

25 16 = 25 (2 8) =25 2 8

25 16 = 25 (10 + 6)

25 16 = 16 25=16 (5 5) = 16 5 5 и др.

5) Решение примеров наиболее удобным способом:

32 2 50 = 32 100 73 6 3 + 73 2 = 73 20

54 80 + 54 20 = 54 100 83 16 + 17 16 = 100 16

Учитель записывает на доске только левую часть приведенных равенств, а правую часть записывают учащиеся.

Исключение возникает, когда совпадают числа двух соседних колец; в этом случае, разумеется, разность равна нулю. Какое условие регулирует эти загадочные особенности нашего числа? Мы находим ключ, если мы немного продлим последний стол, умножив наш номер на 7, в результате получим число.

Теперь понятно, почему в удвоении, утроении и т.д. это число, происходит смещение их чисел. То же самое происходит при умножении на 3, на 4, на 5 и на 6, т.е. на все числа, полученные в остатках этих делений. На самом деле, что мы делаем, поворачивая кольцо на несколько цифр? Только случай, когда сумма долей седьмого больше или равна Но последние случаи не полностью исключены: они, конечно же, не дают идентичного результата тем, которые уже видели, но имеют некоторое отношение к ним. Обратите внимание на результаты, полученные умножением нашего загадочного числа на числа больше 7, т.е. на 8, на 9 и т.д.

После того как общие случаи умножения на двузначное и трехзначное число рассмотрены, включаются частные случаи умножения: умножение чисел, в записи которых на конце или в середине множителей есть нули. При изучении этих случаев умножения учащиеся имеют дело с уже знакомыми им приемами, только в новых условиях, поэтому им надо предоставлять как можно больше самостоятельности.

Множитель 88, деленный на 7, дает 12 в факторе и 4 в остатке; результатом указанных операций является. Остальные три получаются путем вычитания первых трех из числа 999. Мы уже имели отношение к этим числам, когда узнали о свойствах числа. Если умножить это число на 4, например, мы получим тот же набор чисел, в конце будут помещены только первые четыре цифры.

Располагая номера этого числа на нескольких движущихся кольцах, как и в предыдущем случае, добавление чисел, цифр по цифре, из двух колец, получит одинаковое число, только если оно смещено в круговом порядке. Конечно, три набора, которые расположены в кольцах, идентичны.

После умножения на двузначное и трехзначное число натуральных чисел вводится умножение величин, выраженных в единицах двух наименований. При этом используется один способ: величину, выраженную в единицах двух наименований, выражают в единицах одного наименования, умножают эту величину на число и результат выражают в единицах двух наименований.

Из вычитания чисел двух колец мы снова получаем один и тот же круг чисел. Попытайтесь найти ключ, чтобы найти все номера, которые имеют эти особые характеристики. Вот почему умножение этого числа на его коэффициенты от 1 до 16 дает одну и ту же цифру, в которой переносится только один или несколько начальных чисел в конце номера. И наоборот, путем переноса одного или нескольких чисел из серии, от начала до конца, мы увеличиваем число несколько раз. Добавив два кольца, которые были повернуты относительно друг друга, мы получим сумму двух чисел, значения которых кратные первоначальному значению, - что один из них, например, в три раза превышает начальное значение, а другой - десять раз это значение; Естественно, получается одно и то же кольцо чисел, так как умножение на 3 10, т.е. на 13, порождает лишь небольшое смещение группы фигур, расположенных круговым образом.

При изучении всех случаев умножения прежде всего необходимо добиться понимания вычислительного приема, после чего вести работу по формированию вычислительных навыков. Для выработки навыков большое значение имеет, во-первых, своевременное сокращение объяснений решения примеров и соответствующих записей, во-вторых, тщательно продуманная система тренировочных упражнений.

Для предупреждения ошибок надо приучить детей выполнять проверку решения. Письменное умножение проверяют способом прикидки результата. С этой целью находят произведение чисел высшего разряда множителей и сравнивают его с полученным результатом. Так, проверяя решение первого из приведенных примеров, найдем произведение 100-200 = 20 000, в результате же получили только 3288, значит, пример решен неправильно. Можно также проверять решение примеров на умножение делением.

В связи с изучением умножения многозначных чисел необходимо повторять правила порядка выполнения действий; этому способствуют упражнения: «Запишите выражения и найдите их значения -к числу 803 прибавьте произведение чисел 254 и 30; произведение чисел 425 и 168 увеличьте на их разность и т. п.».

Методика изучения письменного алгоритма деления (1 этап).

Как уже отмечалось, деление многозначных чисел "целесообразно изучать параллельно с умножением, выделяя при- этом следующие этапы: после умножения на однозначное число вводится деление на однозначное, число, вслед за умножением на разрядные числа дается деление на разрядные числа, сразу же после изучения умножения на двузначное и трехзначное число изучается деление на двузначное и трехзначное число.

Рассмотрим каждый из названных этапов в отдельности.

закрепление умения умножать на двузначное и трёхзначное число, продолжение работы по отработке вычислительных навыков, решение задач на движение, выражений на порядок действий;
закрепление умения вычислять площадь и периметр квадрата.
развитие внимания, памяти, логического мышления, математической речи учащихся.
привитие интереса к предмету, воспитание аккуратности, коммуникабельности, взаимопомощи.

Оборудование: учебник "Математика 4 класс", мультимедийный проектор, ПК, экран, сигнальные карточки, карточки для индивидуальной работы, тесты.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Очень строгая наука,
Очень точная наука,
Интересная наука -
Это::::::.

Математика любит внимательных, организованных людей. Сейчас проверим, кто уже настроился на хорошую работу.

2. Актуализация знаний.

У вас на партах лежат таблицы Пифагора. Я буду называть табличные случаи умножения, а вы будете закрашивать квадрат с правильным ответом.

7х4, 6х6, 5х8, 5х4, 7х8, 6х5, 5х5, 6х7,6х8, 7х7, 6х4.

Проверка: Кто правильно выделил все ответы, у вас должна появится на таблице "пятёрка" за выполнение этого задания. Покажите с помощью сигнальных карточек результат вашей работы. Слайд 1

Знание таблицы умножения пригодится нам сегодня на уроке.

Сядьте правильно, проверьте, правильно ли у вас лежит тетрадь. Запишите число, классная работа.

Минутка чистописания.

Урок продолжу я с загадки.
Вы послушайте, ребятки.
Загадала я число -
Многозначное оно.
В нём десятков ровно столько,
Сколько девочек у нас
Каждый день приходит в класс.
Единиц же столько, дети,
Сколько материков на свете.
Ну а сотен в том числе столько,
Сколько лучей в угле.
Что же это за число?
Назовите вы его! Слайд 2

Это число - 256

Что можете сказать об этом числе?

(трёхзначное, чётное, число 1 класса. В нём содержится 6 единиц первого разряда, 5 единиц второго разряда, 2 единицы третьего разряда, в этом числе 25 десятков, "соседи" числа 255 и 257. Его можно заменить суммой разрядных слагаемых).

Пропишите это число всю строку. (Следить за правильной посадкой)

Решение геометрической задачи. Слайд 3

Составьте задачу по рисунку.

Периметр квадрата равен 256 см. Найдите его площадь.

Можем сразу ответить на вопрос задачи? Почему?

Зная периметр квадрата, что мы можем узнать?

(1 ученик решает за доской . Проверка с подробным объяснением)

Ребята, поднимите руки, у кого на парте лежат карточки для индивидуальной работы? Вы тоже будете решать геометрическую задачу, но она повышенной сложности.

256:4= 64 (см) - сторона квадрата

64х64= 4096 (см кв.) - площадь квадрата (умножение столбиком)

Проверка: с помощью сигнальных карточек.

3. Работа по теме урока.

При нахождении площади квадрата мы умножали на двузначное число.

Сегодня на уроке мы закрепляем умение умножать многозначные числа на двузначное и трехзначное число.

Давайте вспомним алгоритм умножения на двузначное число. Слайд 4

1 ученик решает у доски с подробным объяснением, дети записывают в тетрадь.

А теперь давайте повторим алгоритм умножения на трёхзначное число

Слайд 5

986х134 (1 ученик решает у доски с подробным объяснением).

Часто ученики допускают ошибки при умножении, когда в множителях есть 0. Найдите, где допущена ошибка? Слайд 6

Работаем по учебнику: Стр. 44 № 14 (2-й столбик)

2 примера решить у доски с подробным объяснением.

4. Самостоятельная работа учащихся.

Сейчас вы будете работать самостоятельно. В ходе самостоятельной работы вы продемонстрируете свои навыки умножения на двузначное и трёхзначное число, сложение и вычитание многозначных чисел, порядок выполнения арифметических действий.

Перед вами математические выражения

Давайте вспомним порядок выполнения действий в выражениях со скобками и без скобок.

Решение выражений на порядок действий.

25х (364+242)= 15150 Слайд 7

702х69+702х18= 71074

(78213-75209)х207-5х308= 620288

Выберите то выражение, которое вам по силам .

Проверка: Поднимите руки, кто выбрал первое выражение. Проверьте правильно ли вы решили своё выражение. Поднимите руки, кто выбрал для решения второе выражение. Проверяем.

Проверка третьего выражения. (Показать с помощью сигнальных карточек)

5. Физминутка (танец с музыкальным сопровождением).

6. Решение задачи на движение.

Стр. 45 № 22. Прочитайте самостоятельно задачу.

Это какой вид задачи? (Движение в противоположных направлениях).

Какие величины известны в задаче?

Что необходимо найти?

Что нужно знать, чтобы найти скорость?

Как найти неизвестное время, по заданной скорости и расстоянию?

Как найти неизвестное расстояние, зная время и скорость?

Выберите чертёж, который подходит к задаче. Слайд 8

Решение задачи у доски с подробным объяснением.

Уч-ся используют во время проверки сигнальные карточки.

- Кто решил задачу другим способом?

Запись решения задачи на доске. Ребята, вы согласны с таким решением задачи?

Какой способ решения более рациональный? Почему?

Воспитательный момент урока - соблюдение правил дорожного движения при езде на велосипеде. (Каждое десятое ДТП в стране происходит с участием детей. Каждый год в авариях Россия теряет по 1,5 тысяч молодых граждан. Таких случаев можно избежать, если вы будете знать и соблюдать правила безопасной езды на велосипеде).

7. Физминутка для глаз.

Глазки наши отдохните,
Под ресничками вздремните.
А теперь взгляните вдаль,
А потом на парту.
Посмотрите влево, вправо,
Вверх и вниз.
Теперь вперёд.
Продолжаем наш урок.

8. Тест по изученной теме.

Мы продолжаем с вами готовиться к итоговому мониторингу.

У вас на парте лежат тесты. Подпишите их. Сосредоточьтесь. Начинайте выполнять задания теста.

1. Чему равно число, содержащее 149 единиц I класса и 37 единиц II класса?

4. Не выполняя вычислений, определи, какое произведение больше и на сколько: