Урок (ОНЗ)

находить значения числовых выра

выполнять деление с остатком;

выполнять задания поискового и творческого характ

Основные структурные элементы урока:

Новое знание: алгоритм деления на однозначное число углом.

Пробное действие: найти частное при записи деления углом (№ 3 (а) (РТ), стр. 12).

Фиксация затруднения: «Я пока не могу найти частное углом».

Фиксация причины затруднения: «Я не знаю способа деления углом».

Цель деятельности учащихся: «Узнать способ деления углом».

Фиксация нового знания : в речи и с помощью эталона, в котором зафиксирован алгоритм деления углом.

На данном уроке идет тренировка умений строить выступление, высказывание, учитывая

Тема: «Умножение на однозначное число»

Основные цели:

Личностные:

1) Способствовать тому, чтобы учащиеся осознавали практическую ценность полученных знаний.

Метапредметные :

1) Сформировать умение применять простейшие приемы ораторского искусства.

2) Тренировать умение проводить наблюдение в учебной деятельности.

Предметные :

1) Сформировать умениеумножать на однозначное число.

Ход урока:

1. Мотивация к учебной деятельности.

На доске девиз урока

К умноженью приступим с особою важностью,

Поделимся с другом открытия радостью.

Прочитайте девиз. Чему будет посвящен урок? (Мы будем продолжать работу с действием умножения.)

О каком открытии идет речь? (Об открытии нового знания.)

Почему в девизе говорится о радости открытия? (Потому что открытие нового приносит радость.)

2. Актуализация знаний и фиксация индивидуального затруднения в пробном действии.

Что нужно сделать, прежде чем узнавать новое? (Повторить то, что знаем.)

Мы будем повторять все, что знаем? (Нет, только то, что нам поможет при открытии новых знаний.)

Для актуализации знаний выполняются задания.

Задания выполняются учащимися, в парах проверка проводится фронтально с обоснованием.

Решение заданий:

Разбейте на группы числа:

(однозначные и двузначные,чётные,нечётные)

(6+7)*3 1дес.4ед.=

(10+2)*2= 3дес.7ед.=

Что вы повторили? (...)

Какое задание вас ждет впереди? (Задание для пробного действия.)

Задание для пробного действия

Выполните 21*4

Кто не справился? У кого нет ответа?

В чём у вас затруднение. (Мы пока не можем умножить двузначное число на однозначное.)

Кто получил ответ, каким правилом вы воспользовались?

В чём у вас затруднение. (Я не могу назвать эталон, которым воспользовался.)

3. Выявление места и причины затруднения.

Что же теперь надо сделать? (Надо подумать.)

Какое задание вы выполняли? (умножение на однозначное число.)

Почему возникло затруднение? ((Мы не знаем способа умножения на однозначное число.)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Какую цель вы сейчас перед собой поставите? ((Открыть способ умножения на однозначное число.)

Цель урока учитель фиксирует на доске .

Сформулируйте тему урока. (Умножение на однозначное число)

Что вам поможет открыть этот способ? (Знание таблицы умножения, умножение на 10)

Еще вам поможет образец выполнения умножения, который можно увидеть в …(учебнике) стр.55

Что вы должны сделать? (проанализировать образец,посмотреть,как Заяц и Волк выполнили умножение. прочитать шаги алгоритма и составить алгоритм, сделать вывод.)

5. Реализация построенного проекта.

Итак, первый пункт плана – проанализировать образец.

Как вы думаете, в какой последовательности велись вычисления, что сначала делали, что потом?

Молодцы, теперь вы сможете смоделировать новый алгоритм.

По группам:

Представить двузначное суммой десятков и единиц

.Каждое слагаемое умножить на число

Результаты сложить

Учитель фиксирует запись на доске.

Сможете ли вы этим способом решать аналогичные примеры? (Да.)

Запишем выражение пробного действия в рабочей тетради с комментированием по алгоритму.

21*4=(20+1)*4=20*4+1*4=80+4=84

Вы преодолели затруднение? (Да.)

Как записано умножение по-другому?

(в столбик)

Рассмотрите запись столбика сверху вниз. Как вы думаете, в какой последовательности велись вычисления, какие разрядные единицы сначала умножали. какие потом?,

Теперь вы сможете смоделировать новый алгоритм

.Сначала умножают единицы, затем десятки.

6. Первичное закрепление во внешней речи.

Для первичного закрепления можно предложить у доски выполнить №2

столбик,стр.56 проговариванием шагов алгоритма.

В парах-№2 (2 столбик) .Самопроверка проводится поэтапно по образцу

Кто выполнил задание правильно? Поставьте знак «+». У кого были ошибки? Поставьте «?». Вы поняли причину ошибки, исправили ее? Вы тоже справились с заданием, поставьте знак «+».

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Вы очень хорошо поработали. Что нужно сделать теперь? (Выполнить самостоятельную работу.)

Для чего? (Чтобы проверить себя.)

Самостоятельная работа: Тетрадь,№85 стр.25

После выполнения самостоятельной работы самопроверка по подробному образцу для самопроверки

Анализ и исправление ошибок.

Те ученики, которые не допустили ошибок, ставят знак «+», допустившие ошибки – знаки «?+».

8. Включение в систему знаний и повторение.

Где на уроках математики вы встречаетесь с умножением двузначного числа на однозначное? (В решении задач.)

А теперь обратим внимание на задачи. Прочтите условие задачи №8 стр.57учебника Какой способ будет использоваться при решении этой задачи? (Алгоритм умножения на однозначное число

Задачу можно предложить для решения индивидуально

Ученики проверяют свой ответ по образцу..

Решение задания.

1)6*3=18(дм)-длина

2)18*6=(10+8)*6-60+48=108 кв.дм

Ответ:площадь листа 108кв.дм

9. Рефлексия деятельности на уроке.

Какую цель вы ставили на уроке? (Открыть способ умножения на однозначное число.)

Вы достигли поставленной цели? (Да.)

Докажите. (Выполнили самостоятельную работу.)

Как вы открывали новые знания? (Мы выполнили пробное действие, поняли, что мы не знаем, открыли новое знание.)

5б-не понял тему. есть ошибки

6б- понял тему,но есть ошибки

7б-понял тему, нет ошибок,но не запомнил алгоритм

8б- понял тему,нет ошибок, запомнил алгоритм

Домашнее задание (Слайд 15 ):

Обязательная часть: алгоритм умножения запомнить,

№ 86(РТ), стр. 25,

2.Задания по желанию:

При ознакомлении учащихся с письменным умножением лучше взять такой пример на умножение трех- или четырехзначного числа на однозначное, где были бы переходы через десяток или через сотню, т.е. где устно умножать трудно .

Возьмем пример: 418 * 3 .

Сначала учащиеся решают его знакомым им способом: заменяют первый множитель суммой разрядных слагаемых и умножают сумму на число:

418 * 3 = (400 + 10 + 8) * 3 = 400 * 3 + 10 * 3 + 8 * 3 = 1200 + 30 + 24 = 1254

418 * 3 = (8 + 10 + 400) * 3 = 8 * 3 + 10 * 3 + 400 * 3 = 24 + 30 + 1200 = 1254

После этого учитель знакомит учащихся с письменным умножением на однозначное число: показывает новую запись столбиком с подробным объяснение решения этого же примера.

Надо умножить 418 на 3. Записываем второй множитель под единицами первого множителя. Проводим черту, слева ставим знак умножения «X» (надо пояснить детям, что умножение обозначается не только точкой, но и таким знаком, хотя и здесь можно использовать точку).

Начинаем письменное умножение с единиц.

Умножаем 8 единиц на 3, получается 24 единицы. Это два десятка и 4 единицы;

4 единицы пишем под единицами, а 2 десятка запомним;

1 десяток умножим на 3, получим 3 десятка, да еще 2 десятка, получим 5 десятков, пишем их под десятками;

4 сотни умножаем на 3, получим 12 сотен. Это 1 тысяча и 2 сотни.

2 сотни пишем под сотнями и 1 тысячу пишем на месте тысяч.

Произведение 1254.

От подробного объяснения решения примеров учащиеся под руководством учителя переходят к краткому объяснению, когда опускается название разрядных единиц и выполняемых преобразований, например:

578 надо умножить на 4.

Умножаю 8 на 4, получится 32. 2 пишу, а 3 запоминаю.

7 умножу на 4, получится 28, да 3 всего 31; 1 пишу, а 3 запоминаю.

Умножаю 5 на 4, получится 20, да 3.

Всего 23; записываю 23.

Произведение 2312.

Можно объяснить и так: четырежды восемь - тридцать два. 2 пишу, 3 запоминаю.

Четырежды семь - двадцать восемь и т.д.

Запись можно выполнять и в строчку: 578 * 4 = 2312.

В начале изучения темы учитель сам сообщает ученикам, что письменное умножение на однозначное число начинается с единиц, а позднее полезно разъяснять, почему письменное умножение, подобно сложению и вычитанию, начинают с низшего, а не с высшего разряда. С этой целью один и тот же пример решают двумя способами:

Оказывается, что начинать письменное умножение на однозначное число с единиц высшего разряда неудобно, потому что приходится зачеркивать ранее записанные цифры.

Рассмотрим случаи с нулями в первом множителе.

Пусть надо 42 300 умножить на 6.

Решение таких примеров записывают следующим образом:

Объяснение:

подписываю второй множитель 6 под первой отличной от нуля цифрой первого множителя, под цифрой 3;

в числе 42 300 содержится 423 сотни;

умножаем 423 сотни на 6, получится 2538 сотен, или 253 800.

При решении аналогичных примеров с подробным объяснением надо обратить внимание детей, что в таких случаях выполняют умножение, не обращая внимания на нули, записанные в конце первого множителя, и к полученному произведению приписывают справа столько же нулей, сколько их записано в конце первого множителя. При этом ведется краткое объяснение: трижды шесть - 18, восемь пишу, 1 запоминаю, дважды шесть... припишу справа два нуля, получится 253 800.

На данном этапе следует предлагать учащимся и умножение однозначных чисел на многозначные: 9 * 136, 4 * 2836, 7 * 1230. При решении таких примеров используется переместительное свойство умножения :

136 * 9, 2836 * 4, 1230 * 7.

Ученики, ознакомившись с письменными приемами вычислений, часто используют их в тех случаях, когда легко выполнить вычисление устно. Важно предупредить этот нежелательный перенос. С этой целью надо 1) больше включать в устные упражнения соответствующие случаи умножения, 2) сравнивать письменный и устный приемы умножения на однозначное число.

Вслед за умножением на однозначное число натуральных чисел дается умножение величин, выраженных в метрических единицах, например:

9 т 438 кг * 3;

7 км 438 м * 6.

Эти примеры можно решать по-разному: сразу выполнить умножение или сначала заменить величины, выраженные в единицах двух наименований, величинами одного наименования и выполнить действие:

		9 т 438 кг * 3 = 28 т 314 кг

Первый способ чаще применяется на практике при умножении величин, выраженных в единицах стоимости

18 руб. 25 коп. * 3 = 18 руб. * 3 + 25 коп. * 3 = 54 руб. 75 коп.

Второй же способ используется при решении задач, а также в дальнейшем при умножении величин на любое двузначное и трехзначное число.

Методика изучения письменного алгоритма умножения (2 этап).

II этап. Умножение на разрядные числа .

После того как учащиеся твердо усвоят умножение на однозначное число, рассматриваются приемы умножения на 10, 100, 1000, а затем на 40, 400, 4000.

При умножении на двузначные-четырехзначные разрядные числа используется свойство умножения числа на произведение , например:

14 * 60 = 14 * (6 * 10) = 14 * 6 * 10 = 840.

Для знакомства с этим свойством учащимся предлагается вычислить разными способами значение выражения 16 * (5 * 2). Под руководством учителя они находят значение выражения такими способами;

16 * (5 * 2) = 16 * 10 = 160

16 * (5 * 2) = (16 * 5) * 2 = 80 * 2 = 160

16 * (5 * 2) = (16 * 2) * 5 = 32 * 5 = 160

Учащиеся замечают, что

в первом случае они умножили число 16 на произведение чисел 5 и 2;

во втором - число 16 умножили на первый множитель 5 и полученное произведение умножили на второй множитель 2;

в третьем - число умножили на второй множитель 2 и полученное произведение умножили на первый множитель 5;

значения выражений одинаковые.

После выполнения нескольких таких упражнений учащиеся формулируют свойство: «Чтобы умножить число на произведение, можно найти произведение и умножить число на полученный результат, а можно умножить число на один из множителей и полученный результат умножить на другой множитель» .

Свойство умножения числа на произведение применяется при выполнении разнообразных упражнений :

решение примеров и задач различными способами, например:

удобным способом, например: 25 * (2 * 7) = (25 * 2) * 7 = 350;

сравнение выражений, например. 24 * 5 * 10 и 24 * 50 и др.

Затем это свойство используется для раскрытия вычислительного приема умножения на двузначные - четырехзначные разрядные числа.

Предварительно вводятся подготовительные упражнения на замену разрядных чисел произведением однозначного числа и 10 (100, 1000), например: 70 = 7 * 10, 600 = 6 * 100.

Далее рассматриваются устные приемы умножения на разрядные числа. Например, надо 15 умножить на 30; представим число 30 в виде произведения удобных множителей 3 и 10, по­лучим пример: 15 умножить на произведение чисел 3 и 10; здесь удобнее умножить число 15 на первый множитель - на 3 и по­лученный результат 45 умножить на второй множитель -на 10, получится 450. Запись:

15 * 30 = 15 * (3 * 10) = (15 * 3) * 10 = 450

Учащиеся иногда смешивают свойство умножения числа на произведение со свойством умножения числа на сумму.

Например, ошибка вида 15 * 12 = 300 свидетельствует о таком смешении: ученик умножает 15 на 2 и полученный результат умножает на 10, т.е. он заменил число 12 суммой разрядных слагаемых 10 и 2, а далее умножал как на произведение этих чисел, т.е. на число 20.

Аналогичная ошибка встречается также при выполнении упражнений на сравнение выражений, например:

27 * 7 * 10 = 27 * 7 + 27 * 10

Чтобы предупредить такие ошибки, полезно предлагать упражнения на сравнение соответствующих приемов вычислений. Например, учащиеся решают с комментированием и подробной записью следующие примеры:

6 * 50 = 6 * (5 * 10) = 6 * 5 * 10 = 300

6 * 15 = 6 * (10 + 5) = 6 * 10 + 6 * 5 = 90

Затем выясняется, что в обоих примерах одинаковые первые множители, но разные вторые; при решении примеров второй множитель (50) заменили произведением удобных множителей (5 и 10) и использовали свойство умножения числа на произведение: умножили число 6 на первый множитель и полученное произведение умножили на второй множитель. Во втором примере множитель 15 заменили суммой разрядных слагаемых 10 и 5 и использовали свойство умножения числа на сумму; умножили число 6 на первое слагаемое, потом умножили это же число 6 на второе слагаемое и полученные результаты сложили.

Полезно предлагать детям и упражнения на сравнение выражений (поставить вместо пустых клеток знак «>», «<» или « = »):

36 * 10 * 4 □ 36 * 14 17 * 5 * 10 □ 17 * 50

45 * 6 + 45 * 10 □ 45 * 60 16 * 10 □ 16 * 3 +16 * 10

21 * 4 + 21 * 3 □ 21 * 12 18 * 9 + 18 * 10 □ 18 * 19

В целях предупреждения ошибок в смешении свойств арифметических действий, изучаемых в начальныхклассах, надо чаще выполнять упражнения в их сравнении.

После изучения приемов устного умножения на разрядные числа вводятся приемы письменного умножения. Предлагается решить пример 546 * 30.

Будем вычислять письменно, запишем пример так:

Число 546 сначала умножим на 3, и полученный результат умножаем на 10. Умножаем 546 на 3:

трижды шесть - 18; восемь пишем, 1 запоминаем;

трижды четыре - 12, да 1, получится 13, три пишем, 1 запоминаем;

трижды пять - 15, да 1, получится 16, записываем 16, получаем 1638.

Умножаем 1638 на 10, для этого приписываем к полученному числу справа один нуль.

Произведение 16 380.

Заметим, что здесь при умножении на однозначное число (546 * 3) пользуемся кратким пояснением. Аналогично следует поступать и в дальнейшем, когда в новых, более сложных случаях умножения составной частью является умножение на однозначное число.

Умножение на трехзначные и четырехзначные разрядные числа выполняется так же, как и умножение на двузначные разрядные числа.

Особого внимания заслуживают те случаи, в которых оба множителя оканчиваются нулями, например: 20 30, 400 50, 800 70, 4000 60 и т.д.

Сначала при решении таких примеров учащиеся рассуждают следующим образом: чтобы умножить 300 на 50, надо 3 сотни умножить на 5, а затем полученное число умножить на 10, будет 150 сотен, или 15000.

Такие примеры записываются в строчку и решаются устно.

Аналогичным образом рассуждают ученики и при письменном умножении в том случае, когда оба множителя оканчиваются нулями.

Записывать такие примеры в столбик удобнее следующим образом:

Наблюдая за выполнением умножения чисел, оканчивающихся нулями, ученики приходят к выводу, что сначала в этих случаях надо умножать числа, которые получатся, если отбросить эти нули, а затем к полученному произведению приписать справа столько нулей, сколько их записано в конце обоих множителей вместе. В дальнейшем при умножении чисел, оканчивающихся нулями, учащиеся руководствуются этим выводом.

Методика изучения письменного алгоритма умножения (3 этап).

Лекция 3. Алгоритмы арифметических действий над целыми неотрицательными числами в десятичной системе счисления.

1. Алгоритм сложения

2. Алгоритм вычитания

3. Алгоритм умножения

4. Алгоритм деления

Алгоритм - одно из фундаментальных понятий, которое используется в различных областях знания, но изучается оно в математике и информатике. В нашем курсе мы будем использовать интуитивно-содержательную трактовку понятия «алгоритм», в соответствии с которой будем рассматривать алгоритм как программу действий для решения задач определенного типа.

Освоение алгоритма начинается уже в начальной школе на уроках математики, где ученики овладевают алгоритмами арифметических действий, знакомятся с правилами вычитания числа из суммы, суммы из числа и др.

Вообще формирование алгоритмического мышления у младших школьников в настоящее время является одной из важнейших задач учителя, и поэтому ему требуются определенные знания об алгоритмах, а также некоторые умения в их построении.

Алгоритм сложения

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел , и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком.

Пример 7.

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

341+ 7238 = (3∙10 2 + 4∙10 + 1) + (7∙10 3 + 2∙10 2 +3∙10 + 8).

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:

3∙10 2 + 4∙10 + 1 + 7∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10+8.

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые:

7∙10 3 + 3∙10 2 + 2∙10 2 + 4∙10+3∙10 + 1 + 8.

Согласно свойству ассоциативности произведем группировку:

7∙10 3 + (3∙10 2 + 2∙10 2) + (4∙10 + 3∙10) +(1 + 8).

Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 10 2 , а во второй - 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения :

7∙10 3 + (3 + 2)∙10 2 + (4 + 3)∙10 + (1 + 8).

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения:

7∙10 3 +5∙10 2 + 7∙10 + 9.

Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты :

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления , формулируют так:

1) Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находилось друг под другом.

2) Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3) Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а 0 + b 0 = 1∙10 + с 0 , где с 0 - однозначное число; записывают с 0 в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4) Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1.

Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».

Алгоритм вычитания

Пример 8. Рассмотрим разность чисел 485 и 231.

Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде:

485-231= (4∙10 2 +8∙10+5)-(2∙10 2 +3∙10+1). Чтобы вычесть из числа 4∙10 2 +8∙10+5 сумму 2∙10 2 +3∙10+1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:

(4∙10 2 +8∙10+5)-(2∙10 2 +3∙10+1)=(4∙10 2 +8∙10+5)-2∙10 2 -3∙10-1.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2∙10 2 вычтем из слагаемого 4∙10 2 , число 3∙10 – из слагаемого 8∙10, а число 1 – из слагаемого 5, тогда:

(4∙10 2 +8∙10+5)-2∙10 2 -3∙10-1=(4∙10 2 -2∙10 2)+(8∙10-3∙10)+(5-1).

Воспользуемся и вынесем за скобки 10 2 и 10. Тогда выражение будет иметь вид:

(4-2) ∙10 2 +(8-3) ∙10+(5-1).

Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2, 8-3 и 5-1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2∙10 2 +5∙10+4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485-231=254.

Выражение (4-2)∙10 2 +(8-3)∙10+(5-1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на :

- способе записи числа в десятичной системе счисления;

- правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

- свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

- таблице сложения однозначных чисел .

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел.

Пример 9. Найдем разность чисел 760-326.

Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде:

760-326= (7∙10 2 +6∙10+0)-(3∙10 2 +2∙10+6).

Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц (десятичная система счисления позволяет это сделать). Тогда будем иметь выражение:

(7∙10 2 +5∙10+10)-(3∙10 2 +2∙10+6).

Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы , а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания , то получим выражение (7-3) ∙10 2 +(5-2) ∙10+(10-6) или 4∙10 2 +3∙10+4.

Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит,760-326=434.

Алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления :

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b 0 >a 0 , а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10+а 0 число b 0 и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1. Все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b 0 из 10+ a 0 , записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Алгоритм умножения

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Пример 10.

Умножим, например, столбиком 428 на 263. 428

Видим, что для получения ответа нам пришлось х 263

Умножить 428 на 3,6, и 2,т.е. умножить многозначное 1284

число на однозначное; но, умножив на 6, результат +2568

записали по-особому, поместив единицы числа 856__

2568 под десятками числа 1284, так как умножали 112564

на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили.

Слагаемое 856 – это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600.

Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:

Умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

Складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное.

Пример 11 .Умножим 428 на 3.

Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления 428 можно представить в виде

4∙10 2 +2∙10+8 и тогда 428∙3=(4∙10 2 +2∙10+8) ∙3.

На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки:

(4∙10 2) ∙3+(2∙10) ∙3+8∙3.

Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12∙10 2 +6∙10+24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12∙10 2 +6∙10+24 – коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10.

Для этого представим число 12 в виде 1∙10+2, а число 24 в виде 2∙10+4. Затем в выражении (1∙10+2)∙10 2 +6∙10+(2∙10+4) раскроем скобки: 1∙10 3 +2∙10 2 +6∙10 +2∙10+4. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6∙10 и 2∙10 и вынесем 10 за скобки: 1∙10 3 +2∙10 2 +(6+2) ∙10+4.

Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 1∙10 3 +2∙10 2 +8∙10+4. Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т.е. 428∙3=1284.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на :

- записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойствах сложения и умножения;

- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Алгоритм умножения многозначного числа a n a n -1 …a 1 a 0 на однозначное число у .

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х. на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифр единиц числа х. на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q 1 +c 0 , где c 0 – однозначное число; записываем с 0 в разряд единиц ответа и запоминаем q 1 – перенос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у , прибавляем к полученному произведению число q 1 и повторяем процесс, описанный в пп.2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Рассмотрим алгоритм умножения многозначного числа на многозначное.

Пример 12. Вычислим произведение 428∙263.

Представим число 263 в виде суммы 2∙10 2 +6∙10+3 и запишем произведение 428∙ (2∙10 2 +6∙10+3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения , равно 428∙(2∙10 2)+428∙(6∙10)+428∙3.

Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения , получим:

(428∙2) ∙10 2 +(428∙6) ∙10+428∙3.

Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2,6 и 3, а также на степени 10.

Алгоритм умножения многозначного числа на многозначное:

1. Записываем множитель х и под ним второй множитель у .

2. Умножаем число х на младший разряд b 0 числа у и записываем произведение x*b 0 под числом у .

3. Умножаем число х на следующий разряд b 1 числа у и записываем произведение xb 1 , но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению xb 1 на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления xb k . .

5. Полученные k+1 произведения складываем.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут: 428∙3=(400+20+8) ∙ 3=400∙3+20∙3+8∙3=1200+60+24=1284.

Основой выполненных преобразований являются :

- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);

- правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

- умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.

Алгоритм деления

Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком : разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что a=bq+r, причем 0< r.

Простейший случай умножения на счетах есть умножение на однозначное число. Поскольку умножение есть действие, при помощи которого находится сумма нескольких одинаковых слагаемых, то задачу умножения на однозначный множитель можно свести к сложению, т. е. повторить данное множимое слагаемым столько раз, сколько единиц во множителе. Таким способом умноже­ния многие счетные работники при умножении на одно­значные числа пользуются и теперь. Однако при производстве действий с большими числами, начиная пример­но с четырехзначных, способ сложения оказывается слишком громоздким. Гораздо проще и быстрее можно прийти к тому же результату пользуясь таблицей умно­жения.

Применяемый в этом случае прием состоит в том, что каждый разряд множимого, начиная с высшего, последо­вательно умножается на данный множитель при помощи таблицы умножения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Умножить 23 на 3.

Умножение на счетах всегда будем начинать с еди­ниц высших разрядов.

Отложим на счетах данное множимое 23 и будем умножать таким образом: сдвигаем косточки десятков вправо и одновременно с этим умножаем в уме сдвигае­мое число десятков (2) на заданный множитель (3), мысленно произнося: «трижды два - шесть». Получен­ное произведение (6) ставим на место сброшенной двойки.

Повторяем тот же прием со второй цифрой множи­мого: сдвигаем косточки единиц вправо и одновременно умножаем в уме сдвигаемое число (3) на множитель (3), мысленно произнося: «трижды три - девять». Резуль­тат (9) ставим на место снятых единиц.

Теперь на счетах стоит искомый результат - число €9. Умножение закончено.

Пример 2. Умножить 13 на 6.

Откладываем на счетах множимое 13 и, подобно пре­дыдущему, производим умножение по таблице умноже­ния, начиная с высшего разряда:

1. Сдвигаем вправо один десяток и одновременно умножаем его в уме на множитель (6); результат (шесть десятков) ставим на место снятого числа.
2. Тот же прием повторяем с числом единиц: сдви­гаем его вправо и одновременно умножаем в уме на данный множитель (6); получаем в произведении дву­значное число 18. Это число содержит в себе 1 десяток и 8 единиц, значит, первую цифру - 1 (десяток) - следует поставить в ряду десятков, прибавив к стоящему здесь числу 6, а 8 единиц - на место сдвинутого числа.

На счетах стоит теперь число 78, т. е. результат умно­жении 13 на 6.

Пример 3. Умножить 37 на 5.

1. Поступаем по предыдущему: отложив на счетах данноемножимое (37), сдвигаем вправо число десятков (и одновременно в уме умножаем его на данный множительдержит одну сотню и пять десятков, следовательно, первую цифру - единицу - надо поставить на место сотен, т.е.в третьем разряде, а вторую - пять - на место Скрашенного числа десятков.
2. Тем же способом умножаем число единиц множимогоизведении 35. Три десятка прибавляем к стоящему уже на счетах числу десятков (5) и получаем здесь 8 (десятков), а пять единиц помещаем на месте сдвинутогочисла. На счетах стоит теперь искомый результат - число
3. Сдвигаем вправо число сотен (1) множимого, одно­временно умножаем его в уме на 5 и результат умноже­ния - пять сотен - откладываем на место сброшенной сотни. На счетах стоит теперь число 535.
4. Тем же способом умножаем число десятков (3) мно­жимого: сбрасывая число десятков, умножаем его в уме на множитель и получаем 15 десятков, т. е. одну сотню и пять десятков. Присоединяем полученную сотню к стоя­щим уже на счетах пяти сотням, а число десятков (5) ставим на место сброшенного числа десятков. На счетах получаем число 655.
5. Умножаем число единиц 5 на множитель 5, по­лучаем в произведении 25, т. е. два десятка и пять еди­ниц. Как и раньше, присоединяем два десятка произве­дения к стоящим уже на счетах 5 (десяткам), а число единиц (5) ставим на место сдвинутого числа единиц (5). На счетах теперь искомый результат - число 675.

Обращаем внимание читателя на то обстоятельство, умножению каждой цифры множимого предшествует сбрасывание этой цифры. Это делается для того, чтобы избежать возможных ошибок при откладывании на счетахпроизведений. Как увидим дальше, при достижении известного навыка можно обходиться без этого приема.

Необходимо повторить по нескольку раз подряд приведенные выше примеры, чтобы лучше усвоить технику и их простейших приемов, прежде чем переходить к изучению более сложных случаев умножения. С этой же целью рекомендуется проделать следующие примеры, в точности соблюдая все предыдущие указания:

Упражнение 11. Найти произведения: 32 X 3 71 X 5 27 X 6 24 X 8 84 X 6 13 X 7 24 X 4 55 X 3 75 x 5 48 X8 16 X 6 34 X 4 47 X 6 69 X 3 88 X9

Вьше мы рассматривали умножение двузначных чисел на однозначные. Если описанные приемы усвоены достаточно хорошо, то дальнейшее не вызовет затруднений.

Перейдем теперь к умножению на однозначный множитель чисел с большим количеством знаков.

Пример 4. Умножить 135 на 5.

Откладываем на счетах «множимое 135 и, (пользуясь таблицей умножения, производим умножение по описан­ному выше "способу, начиная с единиц высшего разряда.

Если при умножении какой-нибудь цифры множимого на заданный множитель получается двузначное число, первая цифра которого вместе со стоящей уже на счетах цифрой единит высшего разряда превышает 10, то в этом случае, как легко сообразить, десяток передается даль­ше, на следующий разряд. Поясним это следующим при­мером:

Пример 5. Умножить 269 на 6.

После умножения первой цифры имеем на счетах 1269. После умножения второй цифры имеем 1569. При умножении третьей цифры множимого (9) на мно­житель (6) требуется поставить на счетах число 54, т. е. пять десятков и четыре единицы. Поскольку, соглас­но изложенному выше правилу, число десятков (5) надо присоединить к стоящему на счетах числу 6 (десятков), а свободных косточек слева остается только четыре, то приходится пользоваться приемом передачи десятков в следующий разряд, а именно: в ряду сотен ставим одну сотню, а в ряду десятков сбрасываем пять десятков. Чис­ло единиц (4) ставим на свое место. Стоящее теперь на счетах число 1614 и есть искомый результат.

В рассмотренных нами примерах на умножение в качестве множимого фигурировали дву- и трехзначные чис­ли. Умножение четырех-, пяти-, шестизначных и более крупных чисел выполняется при помощи тех же приемов.

Пример 6. Умножить 345 239 на 7. Откладываем на счетах множимое и начинаем умно­жение с единиц, высшего разряда:

1- й прием. Сбрасываем 3 (6-й разряд) и откладываем 21 (7-й и 6-й разряды).

2- й прием. Сбрасываем 4 (5-й разряд) и откладываем,к (6-й и 5-й разряды).

3- й прием. Сбрасываем 5 (4-й разряд) и откладываем ЛЬ, для чего откладываем единицу 6-го разряда и сбра­сываем семь единиц 5-го разряда, затем присоединяем Шм"ь единиц 4-го разряда.

1-й прием. Сбрасываем 2 (3-й разряд) и откладываем И (4-й и 3-й разряды).

:>-й прием. Сбрасываем 3 (2-й разряд) и откладываем 21 (3-й и 2-й разряды).

(i-й прием. Сбрасываем 9 (1-й разряд) и откладываем 03 (2-й и 1-й разряды).

На счетах теперь искомый результат - 2 416 673.

Общее правило- умножения на однозначный множитель можно сформулировать так:

Чтобы умножить любое многозначное число на однозначное, надо отложить на счетах множимое, затем, пользуясь таблицей умножения, последовательно умножать каждую цифру множимого на данный множитель, начиная с единиц высшего разряда; при этом умножаемую цифру сбрасывать со счетов, а на ее место ставить результат умножения. Если при умножении какой-либо цифры множимого на данный множитель в произведе­нии получится двузначное число, то первую его цифру следует ставить разрядом выше, а вторую - на место умножаемой.

Упражнение 12. Найти произведения:

а) 167 X 5 б) 1234 X 4 в) 18 208 X 4 228 X 3 2316 X 4 27 556 X5

234 X 4 2713 X 7 48 954 X6

328 X 6 2827 X 5 66 877 X 7

456 X 4 4728 X 5 75 218 X7

782 X 6 5672 X 7 81 579 X 8

827 X 7 7723 X 8 94 578 X 9