Умножить одно целое число на другое значит повторить одно число столько раз, сколько в другом содержится единиц. Повторить число значит взять его слагаемым несколько раз и определить сумму.
Определение умножения
Умножение целых чисел есть такое действие, в котором нужно взять одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти сумму этих слагаемых.
Умножить 7 на 3 значит взять число 7 слагаемым три раза и найти сумму. Искомая сумма есть 21.
Умножение есть сложение равных слагаемых .
Данные в умножении называются множимым и множителем , а искомое - произведением .
В предложенном примере данными будут множимое 7, множитель 3, а искомым произведением 21.
Множимое . Множимое есть то число, которое умножается или повторяется слагаемым. Множимое выражает величину равных слагаемых.
Множитель . Множитель показывает, сколько раз множимое повторяется слагаемым. Множитель показывает число равных слагаемых.
Произведение . Произведение есть число, которое получается от умножения. Оно есть сумма равных слагаемых.
Множимое и множитель вместе называются производителями .
При умножении целых чисел одно число увеличивается во столько раз, сколько в другом содержится единиц.
Знак умножения . Действие умножения обозначают знаком × (косвенным крестом) или. (точкой). Знак умножения ставится между множимым и множителем.
Повторить число 7 три раза слагаемым и найти сумму значит 7 умножить на 3. Вместо того, чтобы писать
пишут при помощи знака умножения короче:
7 × 3 или 7 · 3
Умножение есть сокращенное сложение равных слагаемых.
Знак (× ) был введен Отредом (1631 г.), а знак. Христианом Вольфом (1752 г.).
Связь между данными и искомым числом выражается в умножении
письменно:
7 × 3 = 21 или 7 · 3 = 21
словесно:
семь, умноженное на три, составляет 21.
Чтобы составить произведение 21, нужно 7 повторить три раза
Чтобы составить множитель 3, нужно единицу повторить три раза
Отсюда имеем другое определение умножения : Умножение есть такое действие, в котором произведение точно так же составляется из множимого, как множитель составлен из единицы.
Основное свойство произведения
Произведение не изменяется от перемены порядка производителей.
Доказательство . Умножить 7 на 3 значит 7 повторить три раза. Заменив 7 суммою 7 единиц и вложив их в вертикальном порядке, имеем:
Таким образом, при умножении двух чисел мы можем считать множителем любой из двух производителей. На этом основании производители называются сомножителями или просто множителями .
Самый общий прием умножения состоит в сложении равных слагаемых; но, если производители велики, этот прием приводит к длинным вычислениям, поэтому самое вычисление располагают иначе.
Умножение однозначных чисел. Таблица Пифагора
Чтобы умножить два однозначных числа, нужно повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти их сумму. Так как умножение целых чисел приводится к умножению однозначных чисел, то составляют таблицу произведений всех однозначных чисел попарно. Такая таблица всех произведений однозначных чисел попарно называется таблицей умножения .
Изобретение ее приписывают греческому философу Пифагору, по имени которого ее называют таблицей Пифагора . (Пифагор родился около 569 года до н. э.).
Чтобы составить эту таблицу, нужно написать первые 9 чисел в горизонтальный ряд:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Затем под этой строкой надо подписать ряд чисел, выражающих произведение этих чисел на 2. Этот ряд чисел получится, когда в первой строке сложим каждое число само с собою. От второй строки чисел последовательно переходим к 3, 4 и т. д. Каждая последующая строка получается из предыдущей через прибавление к ней чисел первой строки.
Продолжая так поступать до 9 строки, мы получим таблицу Пифагора в следующем виде
Чтобы по этой таблице найти произведение двух однозначных чисел, нужно отыскать одного производителя в первой горизонтальной строке, а другого в первом вертикальном столбце; тогда искомое произведение будет на пересечении соответствующих столбца и строки. Таким образом, произведение 6 × 7 = 42 находится на пересечении 6-й строки и 7-го столбца. Произведение нуля на число и числа на нуль всегда дает нуль.
Так как произведение числа на 1 дает само число и перемена порядка множителей не изменяет произведения, то все различные произведения двух однозначных чисел, на которые следует обратить внимание, заключаются в следующей таблице:
Произведения однозначных чисел, не содержащиеся в этой таблице, получаются по данным, если только изменить в них порядок множителе; таким образом, 9 × 4 = 4 × 9 = 36.
Умножение многозначного числа на однозначное
Умножение числа 8094 на 3 обозначают тем, что подписывают множитель под множимым, ставят слева знак умножения и проводят черту с тем, чтобы отделить произведение.
Умножить многозначное число 8094 на 3 значит найти сумму трех равных слагаемых
следовательно, для умножения нужно все порядки многозначного числа повторить три раза, то есть умножить на 3 единицы, десятки, сотни, и т. п. Сложение начинают с единицы, следовательно, и умножение нужно начинать с единицы, а затем переходят от правой руки к левой к единицам высшего порядка.
При этом ход вычислений выражают словесно:
Начинаем умножение с единиц : 3 × 4 составляют 12, подписываем под единицами 2, а единицу (1 десяток) прикладываем к произведению следующего порядка на множитель (или запоминаем ее в уме).
Умножаем десятки : 3 × 9 составляет 27, да 1 в уме составят 28; подписываем под десятками 8 и 2 в уме.
Умножаем сотни : Нуль, умноженный на 3, дает нуль, да 2 в уме составит 2, подписываем под сотнями 2.
Умножаем тысячи : 3 × 8 = 24, подписываем вполне 24, ибо не имеем следующих порядков.
Это действие выразится письменно:
Из предыдущего примера выводим следующее правило. Чтобы умножить многозначное число на однозначное, нужно :
Подписать множитель под единицами множимого, поставить слева знак умножения и провести черту.
Умножение начинать с простых единиц, затем, переходя от правой руки к левой, последовательно умножают десятки, сотни, тысячи и т. д.
Если при умножении произведение выражается однозначным числом, то его подписывают под умножаемой цифрой множимого.
Если же произведение выражается двухзначным числом, то цифру единиц подписывают под тем же столбцом, а цифру десятков прибавляют к произведению следующего порядка на множитель.
Умножение продолжается до тех пор, пока не получат полного произведения.
Умножение чисел на 10, 100, 1000 …
Умножить числа на 10 значит простые единицы превратить в десятки, десятки в сотни и т. д., то есть повысить порядок всех цифр на единицу. Этого достигают, прибавляя справа один нуль. Умножить на 100 значит повысить все порядки множимого двумя единицами, то есть превратить единицы в сотни, десятки в тысячи и т. д.
Этого достигают, приписывая к числу два нуля.
Отсюда заключаем:
Для умножения целого числа на 10, 100, 1000 и вообще на 1 с нулями нужно приписать справа столько нулей, сколько их находится во множителе.
Умножение числа 6035 на 1000 выразится письменно:
Когда множитель есть число, оканчивающееся нулями, подписывают под множимым только значащие цифры, а нули множителя приписывают справа.
Чтобы умножить 2039 на 300 нужно взять число 2029 слагаемым 300 раз. Взять 300 слагаемых все-равно, что взять три раза по 100 слагаемых или 100 раз по три слагаемых. Для этого умножаем число на 3, а потом на 100, или умножаем сначала на 3, а потом приписываем справа два нуля.
Ход вычисления выразится письменно:
Правило . Чтобы умножить одно число на другое, изображаемое цифрой с нулями, нужно сначала помножить множимое на число, выражаемое значащей цифрой, и затем приписать столько нулей, сколько их находится в множителе.
Умножение многозначного числа на многозначное
Чтобы умножить многозначное число 3029 на многозначное 429, или найти произведение 3029 * 429, нужно повторить 3029 слагаемым 429 раз и найти сумму. Повторить 3029 слагаемым 429 раз значит повторить его слагаемым сначала 9, потом 20 и, наконец, 400 раз. Следовательно, чтобы умножить 3029 на 429, нужно 3029 умножить сначала на 9, потом на 20 и, наконец, на 400 и найти сумму этих трех произведений.
Три произведения
называются частными произведениями .
Полное произведение 3029 × 429 равно сумме трех частных:
3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.
Найдем величины этих трех частных произведений.
Умножая 3029 на 9, находим:
3029 × 9 27261 первое частное произведение
Умножая 3029 на 20, находим:
3029 × 20 60580 второе частное произведение
Умножая 3026 на 400, находим:
3029 × 400 1211600 третье частно произведение
Сложив эти частные произведения, получим произведение 3029 × 429:
Не трудно заметить, что все эти частные произведения есть произведения числа 3029 на однозначные числа 9, 2, 4, причем ко второму произведению, происходящему от умножения на десятки, приписывается один нуль, к третьему два нуля.
Нули, приписываемые к частным произведениям, опускают при умножении и ход вычисления выражают письменно:
В таком случае, при умножении на 2 (цифру десятков множителя) подписывают 8 под десятками, или отступают влево на одну цифру; при умножении на цифру сотен 4, подписывают 6 в третьем столбце, или отступают влево на 2 цифры. Вообще каждое частное произведение начинают подписывать от правой руки к левой под тем порядком, к которому принадлежит цифра множителя.
Отыскивая произведение 3247 на 209, имеем:
Здесь второе частное произведение начинаем подписывать под третьим столбцом, ибо оно выражает произведение 3247 на 2, третью цифру множителя.
Мы здесь опустили только два нуля, которые должны были явиться во втором частном произведении, как как оно выражает произведение числа на 2 сотни или на 200.
Из всего сказанного выводим правило. Чтобы умножить многозначное число на многозначное,
нужно множителя подписать под множимым так, чтобы цифры одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце, поставить слева знак умножения и провести черту.
Умножение начинают с простых единиц, затем переходят от правой руки к левой, умножают последовательное множимое на цифру десятков, сотен и т. д. и составляют столько частных произведений, сколько значащих цифр во множителе.
Единицы каждого частного произведения подписывают под тем столбцом, к которому принадлежит цифра множителя.
Все частные произведения, найденные таким образом, складывают вместе и получают в сумме произведение.
Чтобы умножить многозначное число на множитель, оканчивающейся нулями, нужно отбросить нули во множителе, умножить на оставшееся число и потом приписать к произведению столько нулей, сколько их находится во множителе.
Пример . Найти произведение 342 на 2700.
Если множимое и множитель оба оканчиваются нулями, при умножении отбрасывают их и затем к произведению приписывают столько нулей, сколько их содержится в обоих производителях.
Пример . Вычисляя произведение 2700 на 35000, умножаем 27 на 35
Приписывая к 945 пять нулей, получаем искомое произведение:
2700 × 35000 = 94500000.
Число цифр произведения . Число цифр произведения 3728 × 496 можно определить следующим образом. Это произведение более 3728 × 100 и меньше 3728 × 1000. Число цифр первого произведения 6 равно числу цифр в множимом 3728 и во множителе 496 без единицы. Число цифр второго произведения 7 равно числу цифр во множимом и во множителе. Данное произведение 3728 × 496 не может иметь цифр менее 6 (числа цифр произведения 3728 × 100, и более 7 (числа цифр произведения 3728 × 1000).
Откуда заключаем: число цифр всякого произведения или равно числу цифр во множимом и во множителе, или равно этому числу без единицы .
В нашем произведении может содержаться или 7 или 6 цифр.
Степени
Между различными произведениями заслуживают особого внимания такие, в которых производители равны. Так, например:
2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9.
Квадраты . Произведение двух равных множителей называется квадратом числа.
В наших примерах 4 есть квадрат 2, 9 есть квадрат 3.
Кубы . Произведение трех равных множителей называется кубом числа.
Так, в примерах 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, число 8 есть куб 2, 27 есть куб 3.
Вообще произведение нескольких равных множителей называется степенью числа . Степени получают свои названия от числа равных множителей.
Произведения двух равных множителей или квадраты называются вторыми степенями .
Произведения трех равных множителей или кубы называются третьими степенями , и т. д.
Способ разложения одного из сомножителей. В этом способе сначала раскладывают на части (слагаемые) один из сомножителей, затем поочередно умножают второй сомножитель на каждую часть первого сомножителя и полученные произведения суммируют. Пример. Найдем произведение чисел 13 и 325. Решение. Разложим число на слагаемые:13 = 10 + 3.Умножим каждое из полученных слагаемых на 325: 10 x 325 = 3 250; 3 x 325 = 975 Суммируем полученные произведения: 3 250 + 975 = 4 225.
Слайд 23 из презентации «Рациональный счёт» . Размер архива с презентацией 1289 КБ.Математика 5 класс
краткое содержание других презентаций«Задания с обыкновенными дробями» - Работа на числовом луче. Решение задач. Коротко о уроке. Устная работа. Игра «Хлопушка». Неправильные дроби и смешанные числа. Ход урока. Решение примеров. Обыкновенные дроби. Цель урока.
«Математические ребусы-головоломки» - Число. Умножение. Фигура. Скорость. Треугольник. Предмет, изображённый в ребусе. Планирование работы над проектом. История возникновения. Математические ребусы. Квадрат. В мире ребусов. Радиус. Необходимые картинки. Реализация плана работы над проектом. Формула. Сборник математических ребусов. Луч. Шар. Наука. Проблемные вопросы. Формулировка проблемы. Этапы работы над проектом. Рекомендации учителя.
««Степень» 5 класс» - Как записать короче произведения равных множителей. Выполните сложение. Назовите показатель степени. Сторона квадрата равна 5 см. Пять во второй степени. Основание степени. Среди выражений найдите равные. Назовите основание степени. Вычислите. Заполните таблицу. Цель. Можно ли записать в виде степени. Показатель степени. Степень числа.
«Различные системы счисления» - Запись чисел по классам. Числа римской нумерации. Туземцы. Меню слайдов. Различные системы счисления. Счет на «пальцах». Умножение. Как люди считали в старину и как писали цифры. Славянская нумерация. Числа Древнего Египта. Принцип записи числа. Названия чисел. Запись чисел у вавилонян.
«Умножение десятичных дробей на натуральные числа» - Найдите произведение. Стороны шестиугольника. Умножение на натуральное число. Умножение десятичных дробей на натуральные числа. Давние времена. Умножение десятичных дробей. Выскажите свое мнение. Гимнастика для глаз. Как умножить десятичную дробь на натуральное число. Округлите дроби. Выполнить тестирование на компьютере. Решение упражнений. Правило умножения дробей на натуральные числа. Какая дробь называется десятичной.
««Упрощение выражений» 5 класс» - Упростите выражения. Найдите значения выражений удобным способом. Подчеркните подобные слагаемые. Задача. Какие выражения можно упростить. Вынесите общий множитель за скобки. Упрощение выражений. Как преобразовать выражение. Слагаемые, у которых буквенная часть одинаковая, называются подобными. Решение уравнений. Распределительный закон. Определите, что пропущено в данных выражениях.
Правильно ли мы понимаем умножение?
"- А и Б сидели на трубе. А упало, Б пропало, что осталось на трубе?
- Осталась ваша буква И".(Из к/ф "Отроки во Вселенной")
Почему при умножении числа на ноль получается ноль?
7 * 0 = 0
Почему при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число?
7 * (-3) = + 21
Что только не придумывают педагоги, чтобы дать ответы на эти два вопроса.
Но никому не хватает смелости признать, что в формулировке умножения три смысловые ошибки!
Возможны ли ошибки в основах арифметики? Ведь математика позиционирует себя точной наукой...
Школьные учебники математики не дают ответов на эти вопросы, заменяя объяснения набором правил, которые нужно запомнить. Может быть считают эту тему трудной для объяснения в средних классах школы? Попробуем разобраться в этих вопросах.
7 - множимое. 3 - множитель. 21- произведение.
По официальной формулировке:
- умножить число на другое число - значит сложить столько множимых, сколько предписывает множитель.
По принятой формулировке множитель 3 говорит нам о том, что в правой части равенства должно быть три семерки.
7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21
Но эта формулировка умножения не может объяснить поставленные выше вопросы.
Исправим формулировку умножения
Обычно в математике многое имеют в виду, но об этом не говорят и не записывают.
Имеется в виду знак плюс перед первой семеркой в правой части равенства. Запишем этот плюс.
7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21
Но к чему прибавляется первая семерка. Имеется в виду, что к нулю, разумеется. Запишем и ноль.
7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21
А если мы будем умножать на три минус семь?
7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21
Мы записываем сложение множимого -7, на самом деле мы производим многократное вычитание из нуля. Раскроем скобки.
7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21
Теперь можно дать уточненную формулировку умножения.
- Умножение - это многократное прибавление к нулю (или вычитание из нуля) множимого (-7) столько раз, сколько указывает множитель. Множитель (3) и его знак (+ или -) указывает количество операций прибавления к нулю или вычитания из нуля.
По этой уточненной и несколько измененной формулировке умножения легко объясняются "правила знаков" при умножении, когда множитель отрицательный.
7 * (-3) - должно быть после нуля три знака "минус" = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21
7 * (-3) - снова должно быть после нуля три знака "минус" =
0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21
Умножение на ноль
7 * 0 = 0 + ... нет операций прибавления к нулю.
Если умножение это прибавление к нулю, а множитель показывает количество операций прибавления к нулю, то множитель ноль показывает, что к нулю ничего не прибавляется. Поэтому и остается ноль.
Итак, в существующей формулировке умножения мы нашли три смысловые ошибки, которые блокируют понимание двух "правил знаков" (когда множитель отрицательный) и умножение числа на ноль.
- Нужно не складывать множимое, а прибавлять его к нулю.
- Умножение это не только прибавление к нулю, но и вычитание из нуля.
- Множитель и его знак показывают не количество слагаемых, а количество знаков плюс или минус при разложении умножения на слагаемые (или вычитаемые).
Несколько уточнив формулировку, нам удалось объяснить правила знаков при умножении и умножение числа на ноль без помощи переместительного закона умножения, без распределительного закона, без привлечения аналогий с числовой прямой, без уравнений, без доказательств от обратного и т.п.
Правила знаков по уточненной формулировке умножения выводятся очень просто.
7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)
7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)
7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)
7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)
Множитель и его знак (+3 или -3) указывает на количество знаков "+" или "-" в правой части равенства.
Измененная формулировка умножения соответствует операции возведения числа в степень.
2^3 = 1*2*2*2 = 8
2^0 = 1 (единица ни на что не умножается и не делится, поэтому остается единицей)
2^-1 = 1: 2 = 1/2
2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4
2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8
Математики согласны, что возведение числа в положительную степень - это многократное умножение единицы. А возведение числа в отрицательную степень - это многократное деление единицы.
Операция умножения должна быть аналогична операции возведения в степень.
2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6
2*2 = 0 + 2 + 2 = 4
2*0 = 0 (к нулю ничего не прибавляется и из нуля ничего не вычитается)
2*-1 = 0 - 2 = -2
2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4
2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6
Измененная формулировка умножения ничего не меняет в математике, но возвращает первоначальный смысл операции умножения, объясняет "правила знаков", умножение числа на ноль, согласовывает умножение с возведением в степень.
Проверим, согласуется ли наша формулировка умножения с операцией деления.
15: 5 = 3 (обратная операция умножения 5 * 3 = 15)
Частное (3) соответствует количеству операций прибавления к нулю (+3) при умножении.
Разделить число 15 на 5 - значит найти, сколько раз нужно вычесть 5 из 15-ти. Делается это последовательным вычитанием до получения нулевого результата.
Чтобы найти результат деления, нужно подсчитать количество знаков "минус". Их три.
15: 5 = 3 операции вычитания пятерки из 15 до получения нуля.
15 - 5 - 5 - 5 = 0 (деление 15: 5)
0 + 5 + 5 + 5 = 15 (умножение 5 * 3)
Деление с остатком.
17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0
17: 5 = 3 и 2 остаток
Если есть деление с остатком, почему нет умножения с придатком?
2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17
Смотрим разницу формулировок на калькуляторе
Существующая формулировка умножения (три слагаемых).
10 + 10 + 10 = 30
Исправленная формулировка умножения (три операции прибавления к нулю).
0 + 10 = = = 30
(Три раза нажимаем "равняется".)
10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
Множитель 3 указывает, что к нулю нужно прибавить множимое 10 три раза.
Попробуйте выполнить умножение (-10) * (-3) путем сложения слагаемого (-10) минус три раза!
(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?
Что значит знак минус у тройки? Может так?
(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?
Опс... Не получается разложить произведение на сумму (или разность) слагаемых (-10).
С помощью измененной формулировки это выполняется правильно.
0 - (-10) = = = +30
(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
Множитель (-3) указывает, что из нуля нужно вычесть множимое (-10) три раза.
Правила знаков при сложении и вычитании
Выше был показан простой способ вывода правил знаков при умножении, путем изменения смысла формулировки умножения.
Но для вывода мы использовали правила знаков при сложении и вычитании. Они почти такие же, как и для умножения. Создадим визуализацию правил знаков для сложения и вычитания, чтобы и первокласснику было понятно.
Что такое "минус", "отрицательный"?
Ничего отрицательного в природе нет. Нет отрицательной температуры, нет отрицательного направления, нет отрицательной массы, нет отрицательных зарядов... Даже синус по своей природе может быть только положительным.
Но математики придумали отрицательные числа. Для чего? Что означает "минус"?
Минус означает противоположное направление. Левый - правый. Верх - низ. По часовой стрелке - против часовой стрелки. Вперед - назад. Холодно - горячо. Легкий - тяжелый. Медленно - быстро. Если подумать, можно привести много других примеров, где удобно использовать отрицательные значения величин.
В известном нам мире бесконечность начинается с нуля и уходит в плюс бесконечность.
"Минус бесконечности" в реальном мире не существует. Это такая же математическая условность, как и понятие "минус".
Итак, "минус" обозначает противоположное направление: движения, вращения, процесса, умножения, сложения. Проанализируем разные направления при сложении и вычитании положительных и отрицательных (увеличивающихся в другом направлении) чисел.
Сложность понимания правил знаков при сложении и вычитании связана с тем, что обычно эти правила пытаются объяснить на числовой прямой. На числовой прямой смешиваются три разные составляющие, из которых выводятся правила. И из-за смешивания, из-за сваливания разных понятий в одну кучу, создаются трудности понимания.
Для понимания правил, нам нужно разделить:
- первое слагаемое и сумму (они будут на горизонтальной оси);
- второе слагаемое (оно будет на вертикальной оси);
- направление операций сложения и вычитания.
Такое разделение наглядно показано на рисунке. Мысленно представьте, что вертикальная ось может вращаться, накладываясь на горизонтальную ось.
Операция сложения всегда выполняется вращением вертикальной оси по часовой стрелке (знак "плюс"). Операция вычитания всегда выполняется путем вращения вертикальной оси против часовой стрелки (знак "минус").
Пример. Схема в нижнем правом углу.
Видно, что два рядом стоящих знака минуса (знак операции вычитания и знак числа 3) имеют разный смысл. Первый минус показывает направление вычитания. Второй минус - знак числа на вертикальной оси.
Находим первое слагаемое (-2) на горизонтальной оси. Находим второе слагаемое (-3) на вертикальной оси. Мысленно вращаем вертикальную ось против часовой стрелки до совмещения (-3) с числом (+1) на горизонтальной оси. Число (+1) есть результат сложения.
Операция вычитания
дает такой же результат, как операция сложения на схеме в верхнем правом углу.
Поэтому два рядом стоящих знака "минус" можно заменить одним знаком "плюс".
Мы все привыкли пользоваться готовыми правилами арифметики, не задумываясь об их смысле. Поэтому мы часто даже не замечаем, чем правила знаков при сложении (вычитании) отличаются от правил знаков при умножении (делении). Кажется, они одинаковые? Почти... Незначительная разница видна на следующей иллюстрации.
Теперь у нас есть все необходимое, чтобы вывести правила знаков для умножения. Последовательность вывода следующая.
- Наглядно показываем, как получаются правила знаков для сложения и вычитания.
- Вносим смысловые изменения в существующую формулировку умножения.
- На основе измененной формулировки умножения и правил знаков для сложения выводим правила знаков для умножения.
Примечание.
Ниже написаны правила знаков при сложени и вычитании , полученные из визуализации. И красным цветом, для сравнения, те же правила знаков из учебника математики. Серый плюс в скобках - это плюс-невидимка, который не записывается у положительного числа.
Между слагаемыми всегда два знака: знак операции и знак числа (плюс мы не записываем, но подразумеваем). Правила знаков предписывают замену одной пары знаков на другую пару без изменения результата сложения (вычитания). Фактически, правил всего два.
Правила 1 и 3 (по визуализации) - дублируют правила 4 и 2.. Правила 1 и 3 в школьной интерпретации не совпадают с визуальной схемой, следовательно, они не относятся к правилам знаков при сложении. Это какие-то другие правила...
1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???
2. +- = -(+).......... + - = - (+) ok
3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???
4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok
Школьное правило 1. (красный цвет) разрешает заменять два плюса подряд одним плюсом. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.
Школьное правило 3. (красный цвет) разрешает не записывать знак плюс у положительного числа после операции вычитания. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.
Смысл правил знаков при сложении- замена одной ПАРЫ знаков другой ПАРОЙ знаков без изменения результата сложения.
Школьные методисты смешали в одном правиле два правила:
Два правила знаков при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел (замена одной пары знаков другой парой знаков);
Два правила, по которым можно не писать знак "плюс" у положительного числа.
Два разных правила, смешанных в одно, похожи на правила знаков при умножении, где из двух знаков следует третий. Похожи один в один.
Здорово запутали! Ещё раз то же самое, для лучшего распутывания. Выделим красным цветом знаки операций, чтобы отличать их от знаков чисел.
1. Сложение и вычитание. Два правила знаков, по которым взаимозаменяются пары знаков между слагаемыми. Знак операции и знак числа.
+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)
+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)
2. Два правила, по которым знак плюс у положительного числа разрешается не писать. Это правила формы записи. К сложению не относятся. Для положительного числа записывается только знак операции.
- + = - |||||||||| - (+2) = - 2
+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2
3. Четыре правила знаков при умножении. Когда из двух знаков множителей следует третий знак произведения. В правилах знаков для умножения только знаки чисел.
+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2
+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2
- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2
- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2
Теперь, когда мы отделили правила формы записи, должно быть хорошо видно, что правила знаков для сложения и вычитания совсем не похожи на правила знаков при умножении.
В.Козаренко
Дата размещения материала на сайте: 10 июля 2015 года
Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой один аргумент складывается столько раз, сколько показывает другой.
Произведение чисел m и n — это сумма n слагаемых, каждое из этих слагаемых = m .
Выражение типа m . n , и значение такого выражения называется произведение чисел m и n . Числа m и n называются множителями .
Если устное умножение чисел затруднительно используют умножение в столбик . В столбик можно умножать большие натуральные числа или десятичные дроби.
Свойства умножения чисел.
1. Коммутативность:
При перестановке множителей местами, значение произведения остается без изменений. Это переместительное свойство умножения .
3 . 4 = 4 . 3 = 12 .
где, 3 и 4 — множители, а 12 — произведение.
2. Ассоциативность:
В произведении 3-х и больше множителей при перестановке этих множителей либо изменения последовательности выполнения умножения результат остается одинаковым.
Пример:
(6 . 2) . 3 = 12 . 3 = 36 или 6 . (2 . 3) = 6 . 6 = 36 .
3. Дистрибутивность:
4. Произведение всякого натурального числа и единицы, будет соответствовать этому числу.
n . 1 = n.
Произведение всякого натурального числа и нуля, = 0.
n . 0 = 0.
Выражения с буквенными множителями записывают так:
вместо 8 . x пишут 8x , вместо a . b пишут ab .
Кроме того, не используют знак умножения и перед скобками,
2 . (a + b) записывают как 2(а + b) ,
(x + 2) . (y + 3) записывают как (x + 2)(y + 3) ,
a . (b . c ) записывают как abc .
