Правила умножения и деления отрицательных чисел. Деление отрицательных чисел, правило, примеры

Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел: по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель.

Например, разделить -12 на -4 - это значит найти такое число х, что -4-х = -12. Сначала найдём знак числа х. Так как при умножении -4 на х получилось отрицательное число -12, то множители -4 и x должны иметь разные знаки. Поэтому х - положительное число. Теперь найдём модуль числа х. Так как модуль произведения равен произведению модулей множителей, то |-12| = |-4| |х|. Отсюда |х| = |-12| : |-4|. Но так как х - положительное число, то х = |х|. Значит, х = 3.

Пишут: (-12) : (-4) = |-12| : |-4| = 3, или короче:

(-12) : (-4) = 12:4 = 3.

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Например, -4,5: (-1,5) = 4,5: 1,5 = 3;

Разделить -24 на 4 - это значит найти такое число х, что 4-х = -24. При умножении 4 на х получилось отрицательное число -24, значит, множители 4 и х должны иметь разные знаки. Поэтому х - отрицательное число. При этом должно выполняться равенство |4| |х| = |-24|.

Отсюда |х| = |-24| : |4| = 24: 4 = 6. Значит, х - отрицательное число с модулем 6, т. е. х = -6.

Итак, -24: 4 = -6.

Рассуждая таким же образом, получим, что 24: (-4) = -6.

При делении чисел с разными знаками, надо:
1) разделить модуль делимого на модуль делителя;
2) поставить перед полученным числом знак «-».

Обычно вначале определяют и записывают знак частного, а потом уже находят модуль частного.

Например, 3,6: (-3) = -(3,6: 3) = -1,2;

При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль. Делить на нуль нельзя!

Сформулируйте правило деления отрицательного числа на отрицательное.
Сформулируйте правило деления чисел, имеющих разные знаки.
Чему равно частное 0: а, где а ≠ 0?

1149. Верно ли выполнено деление:

1150. Найдите частное:

1151. Выполните деление:

1152. Выполните действия:

1153. Найдите значение выражения:

а) (3m + 6m) : 9, если m = -12; -5,96;
б) (5,2а - 5,2b) : 5,2, если а = -27, b = -3,64.

1154. Чему равно частное:

1155. Решите уравнение и выполните проверку:

1157. Я задумал число, умножил его на 5, а затем из произведения вычел 2,7. В результате получил -21,7. Какое число я задумал?

1158. Найдите значение выражения:

1159. Найдите неизвестный член пропорции:

1160. Вычислите устно:

1161. При каких значениях множителей произведение ху равно нулю? не равно нулю?

1162. В каких случаях может быть верно равенство: а) х = х 2 ; б) х = х 3 ; в) х 2 = х 3 ?

1163. Проверьте на примерах справедливость равенства |ab| = |а| |b|. Попробуйте доказать, что это равенство верно при любых значениях а и b.

1164. Вычислите:

1165. Представьте числа 9; 16 и 25 в виде произведения двух равных множителей. Сколькими способами можно это сделать?

1166. Найдите значение выражения:

а) -2,3 0,1 + 35 (-0,01) - (-2,1) (-0,2);
б) (4,8 - 7,3 + 2,1 - 2,7 + 3,1) (-183).

1167. На рисунке 90 показана карта мира с часовыми поясами. Определите с её помощью: а) поясное время в Екатеринбурге и Владивостоке, если в Москве полночь; б) поясное время в Лондоне, Токио, Нью-Йорке и

Дели, если в Москве 11ч утра. Составьте сами и решите несколько задач на определение поясного времени.

1168. Костя и Вера вышли одновременно из одного и того же пункта в одном и том же направлении. Костя идёт со скоростью а км/ч, а Вера - со скоростью b км/ч. Какое расстояние будет между ними через t ч? Составьте формулу для решения задачи, обозначив искомое расстояние (в километрах) буквой s и зная, что а > b. Найдите по формуле:

1169. Решите предыдущую задачу, заменив в ней слова «в одном и том же направлении» на слова «в противоположных направлениях». Найдите по полученной формуле:

1170. При каких целых значениях х верно неравенство:

1171. Вычислите с помощью микрокалькулятора:

а) -3,82 0,375 - 3,8275; б) 4,15 (-1,236) + 3,0994.

1172. Выполните деление:

1173. Решите уравнение:

1174. Найдите значение выражения:

1175. Из города одновременно в одном и том же направлении выехали два мотоциклиста. Скорость первого из них была больше скорости второго и составляла 72 км/ч. Через 25 мин расстояние между мотоциклистами было равно 5 км. Найдите скорость второго мотоциклиста.

1176. Найдите значение выражения:

1177. Решите уравнение:

Цели:

научить делить положительные и отрицательные числа
закрепить сложение, вычитание и умножение положительных и отрицательных чисел
развивать грамотную математическую речь
воспитывать интерес к предмету

Оборудование: ПК, мультимедийный проектор.

Ход урока

Учитель: Здравствуйте, садитесь. Сегодня мы будем изучать с вами новый материал, но с начала мы с вами повторим ранее изученный материал. Для этого нам нужно будет решить примеры.

1. Устные упражнения

а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)

2. Работа по теме урока

(Слайды 8–14 )

1. Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел, т.е. по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель.

Кто может назвать компоненты деления?

Например: -10: (-5) = ?

Что значит -10: (-5) ? (Значит, найти такое число х, что при -5 · х = -10)

Теперь найдем знак числа х .

Как вы думаете, как это можно сделать?

Так как при умножении -5 на х получается отрицательное число -10 следовательно множители должны иметь разные знаки. Следовательно, х – положительное число.

Теперь найдем модуль числа х .

Так как модуль произведения равен произведению модулей множителей, следовательно . Следовательно , так как х – положительное число, то х = следователь х = 2

Это записывается так:

или короче

(-10) : (-5) = 10: 5 = 2

Правило: чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

2.2. Теперь разделим отрицательное число на положительное.

Например: -24: 4 =?

Что значит -24: 4 ? (Значит, найти такое число х , что при 4 · х = -24)

Теперь найдем знак числа х.

Как это можно сделать?

Так как при умножении 4 на х получается отрицательное число -24 следовательно х – отрицательное число.

Теперь найдем модуль числа х .

Как вы думаете, чему он будет равен?

следовательно

так как х – отрицательное число с модулем 6 , то тогда х будет равен -6

Получаем: -24: 4 = -6

Аналогично получается при делении 24: (-4) = -6

А теперь давайте проговорим алгоритм деления чисел с разными знаками. Итак:

разделить модуль делимого на модуль делителя;
поставить перед полученным числом знак минус.

3. При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль.

И самое главное правило: Делить на нуль нельзя!

3. Закрепление нового материала

(Слайды 15–16 ).

1)
2)
3)
4)
5)
6)

2. Самостоятельная работа. На эту работу вам 8–10 минут.

(Слайды 17–24 )

а)	-4 (-5) – (-30) : 6 = 25
б)	15: (-15) – (-24) : 8 = 2
в)	-8 (-3 + 12) : 36 + 2 = 0
г)	2,3 (-6 – 4) : 5 = - 4,6
д)	(-8 + 32) : (-6) – 7 = -11
е)	-21 + (-3 - 4 + 5) : (-2) = - 20
ж)	-6 4 – 64: (-3,3 + 1,7) = - 64
з)	(-6 + 6,4 – 10) : (-8) (-3) = - 3

В центре внимания этой статьи находится деление отрицательных чисел . Сначала дано правило деления отрицательного числа на отрицательное, приведено его обоснования, а после этого приведены примеры деления отрицательных чисел с подробным описанием решений.

Навигация по странице.

Правило деления отрицательных чисел

Прежде чем дать правило деления отрицательных чисел, напомним смысл действия деление. Деление по своей сути представляет нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному другому множителю. То есть, число c является частным от деления a на b , когда c·b=a , и наоборот, если c·b=a , то a:b=c .

Правило деления отрицательных чисел следующее: частное от деления одного отрицательного числа на другое равно частному от деления числителя на модуль знаменателя.

Запишем озвученное правило с помощью букв. Если a и b отрицательные числа, то справедливо равенство a:b=|a|:|b| .

Равенство a:b=a·b −1 легко доказать, отталкиваясь от свойств умножения действительных чисел и определения взаимно обратных чисел. Действительно, на этой основе можно записать цепочку равенств вида (a·b −1)·b=a·(b −1 ·b)=a·1=a , которая в силу смысла деления, упомянутого в начале статьи, доказывает, что a·b −1 есть частное от деления a на b .

А это правило позволяет от деления отрицательных чисел перейти к умножению.

Осталось рассмотреть применение рассмотренных правил деления отрицательных чисел при решении примеров.

Примеры деления отрицательных чисел

Разберем примеры деления отрицательных чисел . Начнем с простых случаев, на которых отработаем применение правила деления.

Пример.

Разделите отрицательное число −18 на отрицательное число −3 , после этого вычислите частное (−5):(−2) .

Решение.

По правилу деления отрицательных чисел частное от деления −18 на −3 равно частному от деления модулей этих чисел. Так как |−18|=18 и |−3|=3 , то (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , осталось лишь выполнить деление натуральных чисел , имеем 18:3=6 .

Аналогично решаем вторую часть задания. Так как |−5|=5 и |−2|=2 , то (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . Этому частному отвечает обыкновенная дробь 5/2 , которую можно записать в виде смешанного числа .

Эти же результаты получаются, если использовать другое правило деления отрицательных чисел. Действительно, числу −3 обратно число , тогда , теперь выполняем умножение отрицательных чисел : . Аналогично, .

Ответ:

(−18):(−3)=6 и .

При делении дробных рациональных чисел удобнее всего работать с обыкновенными дробями. Но, если удобно, то можно делить и конечные десятичные дроби .

Пример.

Выполните деление числа −0,004 на −0,25 .

Решение.

Модули делимого и делителя равны соответственно 0,004 и 0,25 , тогда по правилу деления отрицательных чисел имеем (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

либо выполнить деление десятичных дробей столбиком ,
либо перейти от десятичных дробей к обыкновенным, после чего разделить соответствующие обыкновенные дроби.

Разберем оба подхода.

Чтобы разделить столбиком 0,004 на 0,25 сначала перенесем запятую на 2 цифры вправо, при этом придем к делению 0,4 на 25 . Теперь выполняем деление столбиком: