Табличное умножение и деление. DjVu

К табличным случаям умножения и деления относятся все случаи умножения однозначных чисел и соответствующие им случаи деления, т.о. все табличные случаи умножения и деления рассматриваются при изучении чисел в пределах сотни.

Основной целью изучения младшими школьниками темы «Табличное умножение и деление» является формирование у них прочных, осознанных, доведённых до автоматизма навыков . Для успешной реализации этой цели необходимо придерживаться следующих требований:

· создание условий, обеспечивающих осознанность формируемых навыков, которая является основой правильности вычислений (рациональное использование различных средств наглядности в процессе формирования навыков и правильное соотношение между теорией и практикой вычислений);

· систематическое и распределённое во времени закрепление и совершенствование формируемых навыков, обеспечивающие не только сознательность и правильность, но, и необходимую уверенность и быстроту выполнения вычислений;

· систематический контроль за уровнем овладения навыками классом в целом и каждым отдельным учеником, и обеспечение на этой основе дифференциации и индивидуализации методики обучения;

· специальное внимание к формированию умений и навыков самоконтроля.

Центральной задачей начальной школы является обеспечение твёрдого сознательного усвоения каждым учеником табличного умножения и деления. Если ученик не усвоил достаточно прочно таблицу умножения во 2 и 3 классе, то в дальнейшем при изучении письменных приёмов умножения и деления у него возникнут значительные трудности в усвоении структуры этих сложных приёмов. Практика работы начальной школы показывает, что даже в 4 классе далеко не все дети твёрдо знают таблицу умножения, т.к. процесс формирования навыков табличного умножения и деления сложный и длительный. Для того, чтобы не допускать такого положения, необходимо руководствоваться следующими рекомендациями:

· заблаговременная систематическая целенаправленная подготовка к составлению и заучиванию таблиц;

· создание у детей специальной установки на запоминание табличных случаев;

· использование всевозможных приёмов, облегчающих нахождение результата, если он забыт;

· повседневная и рационально организуемая тренировка не только в ходе работы над соответствующими темами, но и в течение всех остальных уроков математики;

· обеспечение максимального разнообразия в тренировочных упражнениях, которое должно быть связано с использованием различных средств обучения (таблицы, приборы, карточки с индивидуальными заданиями и т.д.); разных методических приёмов и форм организации занятий (дидактические игры, взаимоконтроль, самоконтроль, самостоятельная тренировочная работа, арифметические диктанты и т.д.).

В процессе формирования навыков табличного умножения и деления можно выделить два основных этапа:

1 этап. Составление таблиц.

2 этап. Запоминание таблиц.

Особое внимание следует обратить на усиление практической направленности и повышение эффективности работы при подготовке к составлению таблиц и на этапе запоминания этих таблиц. При подготовке к составлению таблиц особое внимание необходимо уделить изучению теоретических вопросов, являющихся основой вычислительных приёмов, которыми будут пользоваться ученики при составлении этих таблиц. К таким вопросам относятся:

· конкретный смысл умножения как сложения одинаковых слагаемых;

· взаимосвязь компонентов и результата умножения.

Методические подходы к составлению таблиц на современном этапе могут различаться как последовательностью составления таблиц, так и организацией деятельности учеников, направленной на их усвоение.

Возможен подход, при котором сначала изучаются все теоретические вопросы, а затем на этой основе осуществляется одновременное составление таблиц умножения и деления. В этом случае последовательность составления таблиц умножения и деления следующая: сначала составляются 4 таблицы (две из них на умножение, две на деление) с числом 2, затем аналогично с числами 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При этом таблицы имеют такой вид (на примере таблиц с числом 2):

2* 2 = 4 4: 2 = 2

2* 3 = 6 3* 2 = 6 6: 2 = 3 6: 3 = 2

2* 4 = 8 4* 2 = 8 8: 2 = 4 8: 4 = 2

2* 5 = 10 5* 2 = 10 10: 2 = 5 10: 5 = 2

2* 6 = 12 6* 2 = 12 12: 2 = 6 12: 6 = 2

2* 7 = 14 7* 2 = 14 14: 2 = 7 14: 7 = 2

2* 8 = 16 8* 2 = 16 16: 2 = 8 16: 8 = 2

2* 9 = 18 9* 2 = 18 18: 2 = 9 18: 9 = 2

Теоретической основой при составлении первого столбика таблицы умножения (по постоянному первому множителю) является конкретный смысл умножения. Поэтому при нахождении результатов этого столбика дети заменяют произведения суммой одинаковых слагаемых (например, 2* 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8) или используют предыдущее равенство (например, 2* 4 = 2* 3 + 2 = 8). Теоретической основой при составлении и нахождении результатов второго столбика таблицы умножения (по постоянному второму множителю) является переместительное свойство умножения. При нахождении результатов этого столбика таблицы умножения дети опираются на соответствующее равенство из первого столбика (например, 4* 2 = 8, т.к. 2* 4 = 8).Третий и четвертый столбики таблицы деления (по постоянному делителю и значению частного) составляются на основе взаимосвязи компонентов и результата умножения (если значение произведения разделить на один из множителей, то получим другой множитель). При нахождении результатов этих столбиков таблицы деления дети опираются на соответствующее равенство из первого столбика таблицы умножения (например, 8: 2 = 4, т.к. 2* 4 = 8). При таком подходе составление таблиц не вызывает у детей затруднений, т.к. одни и те же действия повторяются многократно. Каждая новая таблица должна быть рассмотрена в целом, с этой целью полезно использовать печатные демонстрационные таблицы. Только повторив известные уже случаи умножения и деления из той таблицы, изучению которой посвящён урок, можно переходить к рассмотрению новых случаев. Те случаи умножения, которые должны быть усвоены на память (начиная со случаев умножения одинаковых множителей в первой таблице), выделяются цветом или рамкой в демонстрационной таблице и в таблицах, составленных детьми в тетрадях. Учитель, привлекая детей к объяснению, должен довести до сознания каждого ученика, почему остальные равенства (в трёх других столбиках таблицы) можно не заучивать, т.к. результат легко находится с помощью переместительного свойства умножения и взаимосвязи компонентов и результата умножения. Таким образом, на память должно быть усвоено 36 случаев из таблицы умножения.

2* 2 =4 3* 3 = 9 4* 4 = 16 5* 5 = 25 6* 6 = 36 7* 7 = 49

3* 2 =6 4* 3 = 12 5* 4 = 20 6* 5 =30 7* 6 = 42 8* 7 = 56

4* 2 = 8 5* 3 = 15 6* 4 = 24 7* 5 = 35 8* 6 = 48 9* 7 = 63

5* 2 = 10 6* 3 = 18 7* 4 =28 8* 5 = 40 9* 6 = 54

6* 2 = 12 7* 3 = 21 8* 4 = 32 9* 5 = 45

7* 2 = 14 8* 3 = 24 9* 4 = 36

8* 2 = 16 9* 3 = 27

8* 8 = 64 9* 9 = 81

После составления таблиц и создания установки на их запоминание наступает ответственный этап запоминания таблиц. Практика работы начальной школы показывает, что довольно часто запоминание таблиц ведётся без должного руководства со стороны учителя. Важно не только поставить перед детьми задачу запомнить результаты, необходимо показать, как дети должны запомнить таблицу. Остановимся на некоторых методических приёмах заучивания таблиц. Заучивать таблицы целесообразно в следующем порядке:

· Сначала заучивается первый столбик таблицы умножения. Дети должны научиться воспроизводить равенства по порядку. Для этого они должны понять, с какого равенства начинается таблица, как составляется каждое следующее равенство, каким равенством заканчивается таблица. На этом этапе полезно заучивать и ряды чисел, получающиеся в результате умножения данного числа на 2, 3, 4, … (например, 2, 4, 6, 8, 10, ….; 3, 6, 9, 12, 15, 18, …)

· Равенства первого столбика таблицы умножения повторяются вперемежку (не по порядку). При этом ученик сначала закрывает ответы в записанной таблице, а затем проверяет себя, открывая ответ.

· Рассматривается следующий столбик таблицы умножения. Ученик ещё раз осмысливает, как он составлен, т.е. как связано каждое записанное во втором столбике равенство с соответствующим равенством из первого столбика таблицы умножения, например, 2* 8 = 16 и 8* 2 = 16. Для усвоения результатов на память важно заучивать такие пары равенств в сопоставлении их друг с другом.

· Запомнив пары соответствующих равенств из столбиков таблицы умножения, дети переходят к запоминанию состава чисел из двух множителей (например, запомнив, что 2*8 = 16 и 8*2 = 16, ученик должен усвоить, что 16 = 2*8 и 16 = 8*2) – это важный шаг к усвоению таблиц на деление. На этом этапе знание таблиц умножения полезно проверять как в прямой форме (когда задан пример и должен быть дан ответ), так и в обратной (когда задан ответ и должен быть назван соответствующий пример из таблицы). При рассмотрении состава чисел из двух множителей, важно добиваться, чтобы дети вспоминали различные варианты состава данного числа, например: 12 – это произведение чисел 2 и 6, 6 и 2, 3 и 4, 4 и 3.

· Хорошо запомнив столбики равенств из таблиц умножения и состав чисел из двух множителей, дети переходят к запоминанию таблиц деления. Для этого рассматриваются, записанные в тетради равенства в четырёх взаимосвязанных столбиках по строкам, например, 2* 8 = 16, 8* 2 = 16, 16: 2 = 8, 16: 8 = 2. Сначала такие четвёрки взаимосвязанных равенств рассматриваются подряд, строка за строкой, а затем вразбивку.

· Для успешного усвоения табличных случаев работа по их запоминанию должна быть рационально распределена во времени. На каждом уроке, посвящённом составлению и запоминанию таблиц, важно указывать точно, какие из рассмотренных равенств должны быть выучены к следующему уроку.

Возможны и другие подходы к составлению таблиц. Например, возможен подход, при котором составляется только таблица умножения, а табличные случаи деления рассматриваются только после того, как будут изучены все случаи табличного умножения. 2.Методика обучения учащихся начальных классов устным приемам внетабличного умножения и деления и формирование соответствующих навыков.

К устным внетабличным случаям умножения и деления относятся все случаи умножения и деления чисел в пределах сотни, а так же аналогичные случаи вычислений над числами большими ста, сводимые к вычислениям в пределах сотни. Основной целью изучения устных приёмов умножения и деления младшими школьниками является формирование прочных, осознанных, доведённых до автоматизма навыков. Для успешной реализации этой цели необходимо сформировать у младших школьников следующие средства усвоения:

· разрядный состав чисел;

· табличные случаи сложения и вычитания;

· табличные случаи умножения и деления;

· переместительное свойство умножения;

· сочетательное свойство умножения;

· распределительное свойство умножения относительно сложения;

· свойство деления суммы на число.

В начальном курсе математики приёмы устного умножения и деления используются при умножении двузначного числа на однозначное число, при делении двузначного числа на однозначное число и при делении двузначного числа на двузначное число. Изучению всех этих приёмов предшествует усвоение учащимися знаний, являющихся теоретической основой соответствующих вычислительных приёмов. Далее ученики на основе изученного знания знакомятся с новым вычислительным приёмом. Теоретические знания помогают ученикам осознать, какие операции можно выполнить в том или другом случае вычислений, и в какой последовательности.

Учебная литература

основная

1.Белошистая А.В.Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций: Учебное пособие. - М.: ВЛАДОС, 2007.

2.Истомина Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учебное пособие. - М.: Академия, 1998.

3.Истомина Н. Б.Методика обучения математике в начальных классах: Учебное пособие. - М.: Академия, 1999.

дополнительная

1.Бантова М.А. Ошибки учащихся в вычислениях и их предупреждение // Начальная школа, 1982, № 8

2.Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. – М., 1984

3.Варегина Ф.В. Закрепление навыков табличного умножения и деления // Начальная школа, 1979, № 2

Задачи учителя: 1) Сформировать понятие о конкретном смысле умножения и деления;

2) Изучить таблицы умножения и деления;

3) Знание таблиц довести до автоматизма.

Для подготовки к введения конкретного смысла умножения включают счет пар, троек предметов. Учащимся предлагаются задачи на нахождение суммы одинаковых и неодинаковых слагаемых. Подобные задачи полезно иллюстрировать предметами или рисунками. Следует включать и обратные упражнения : по данным рисункам составить задачи (примеры) на сложение.

Решая такие задачи и примеры, учащиеся замечают, что есть суммы с одинаковыми слагаемыми, и считают, сколько таких слагаемых. Далее сумма одинаковых слагаемых заменяется произведением (6 + 6+6 + 6 = 24; 6·4 = 24).

Дается и такое задание: Представить числа (6,8,10, 32) в виде суммы одинаковых слагаемых.

12= 2+2+2+2+2+2+2

Раскрывая конкретный смысл умножения выполняется несколько упражнений на замену суммы произведением . 2+2+2+2=8 2·4=8 Учащиеся учатся различному чтению выражения: 2 умножить на 4

по 2 взять 4 раза

по 2 берем 4 раза

При вычислении некоторых сумм одинаковых слагаемых целесообразно ознакомить детей с приемом группировки слагаемых . Например, вычисляя сумму 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, надо обратить внимание детей, что сумма пяти слагаемых равна 10, а к 10 легко прибавить сумму остальных слагаемых: 10 + 4=14. Этот прием используется в дальнейшем при составлении таблиц умножения.

Конкретный смысл деления раскрывается в процессе решения простых задач на деление по содержанию и на равные части. Ученики должны научиться выполнять по условию задачи операцию разбиения данного множества на ряд равночисленных подмножеств и связывать эту операцию с действием деления, научиться записывать решение задач с помощью этого действия.

На знании конкретного смысла действия деления основывается первый вычислительный прием деления: ученики находят частное, выполняя действия с предметами. Например, чтобы найти частное 8:4, берут 8 кружков, раскладывают их по 4 и считают, сколько раз получилось по 4 кружка, или раскладывают 8 кружков на 4 равные части и считают, сколько кружков получилось в каждой части.

Табличные случаи умножения и деления. В подготовительную работу входит: 1. Ознакомление с конкретным смыслом умножения и деления;

2. Установление связи между умножением и делением;

3. Приемы нахождения произведения.

К ним относятся:

Замена произведения суммой 2·5=2+2+2+2+2

Использование ответа предыдущего и следующего примера.12·6= (2·5)+2=12

Прием группировки слагаемых 2·8=2·5+2+2+2=2·5+2·3

Используя изученные приемы, составляется таблица умножения двух , которую дети должны будут постепенно запомнить. При составлении таблицы умножения двух результат находят сложением , используя при этом наглядные пособия, например квадрат с уголком, или обводят в тетради 9 рядов клеток, по 2 клетки в ряду.

2·3=2+2+2=6 3·2 6:2 6:3

2·4 4·2 8:2 8:4

………….. ……………………

2·8=2+2+2+2+2 +2+2+2=2·5+2·3=16 …………………...

2·9= 9·2 18:2 18:9

Далее изучается переместительное свойство умножения . Знать это свойство нужно прежде всего для усвоения действия умножения, а кроме того, знание этого свойства дает возможность почти вдвое сократить число случаев, которые необходимо запомнить наизусть. Вместо двух случаев (8*3 и 3*8) ученики запоминают только один.

На основе переместительного свойства умножения составляется таблица умножения на 2. Ученикам предлагается самим составить эту таблицу.

Связь между компонентами и результатом действия умножения раскрывается с помощью наглядных пособий. Учащимся предлагается составить пример на умножение по рисунку:

Ученики составляют пример: 4·2=8. Пользуясь этим же рисунком дается задание составить два примера па деление. (8:4 = 2, 8:2=4.)

После выполнения нескольких аналогичных упражнений ученики делают вывод: если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то получим другой множитель.

Вводятся таблицы деления на 2 и деление с частным 2 (ответом 2)

Табличное умножение и деление изучается совместно , т. е. из каждого случая умножения получают соответствующие случаи деления.

Сначала рассматриваются все табличные случаи умножения и деления с числом 3, затем 4, 5 и т. д.

Каждая таблица умножения по постоянному первому множителю составляется начиная со случая равных множителей (3·3, 4·4 и т. д.), поскольку случаи, предшествующие этим, уже были рассмотрены ранее в других таблицах.

Чтобы лучше запомнить таблицы умножения и деления можно использовать следующие приемы :

1) часто повторять случаи умножения и деления;

2) повторение таблиц вразнобой;

3) использование табличных случаев в математических диктантах;

4) воспроизведение табличных случаев умножения по результату (24=6·4, 24=3·8 и т.д.);

5) игровые методы;

6) составление троек примеров (1- на умножение и 2-на деление)

©2015-2017 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

В настоящее время школа является важнейшим фактором ускорения социально – экономического развития страны. Задача не исчерпывается формированием знаний – школа призвана научить молодёжь творчески мыслить и действовать так, как этого требует общество.

Начальная школа является основой, фундаментом. Именно в начальной школе должна быть выполнена основная часть работы по формированию умений уч

В центре усилий учителей начальных классов должна стать работа по совершенствованию урока за счёт внедрения форм и методов активного обучения, повышения методического мастерства, преодоление трафаретности в организации учебно–воспитательного процесса, привлечение технических и других наглядных средств, более широкого применения новых образовательных технологий.

Объект исследования: процесс обучения младших школьников табличному умножению и делению.

Предмет исследования: табличное умножение и деление.

Цель исследования:

–исследование методики обучения табличному умножению и делению;

– формирование навыков табличного умножения и деления у учащихся младших классов;

– использование метода развивающего обучения при изучении табличного умножения и деления.

Гипотеза исследования: если при проведении уроков в начальных классах систематически организовывать задания на зрительное восприятие младших школьников, то их успеваемость станет выше.

Составление и усвоение таблиц умножения и деления

В практике довольно часто можно наблюдать, что некоторые учащиеся механически зазубривают результаты табличного умножения, а забыв их, не могут прибегнуть к известным приемам вычисления. Поэтому в процессе составления таблиц и их усвоения надо стремиться развивать у детей умение пользоваться при умножении и делении разнообразными вычислительными приемами и выбирать из них те, которые для данного случая являются наиболее подходящими. Так, например, при составлении таблицы умножения на 4 основным вычислительным приемом является прием набирания равных слагаемых, то есть умножение выполняется при помощи сложения. Допустим, что, расположив элементы умножения по этому способу, мы взяли 3 раза по 4 и получили 12, затем взяли 4 раза по 4 и получили 16. Дальше уже нет необходимости начинать процесс набора четверок с самого начала. Чтобы составить сумму из5 четверок, достаточно к 16 прибавить 4 и т.д. Процесс последовательного набора четверок записывается следующими равенствами:

4×4=4×4+4+4=16,

В случаях, когда множитель больше пяти, широко используется прием разложения множителя на слагаемое, так как здесь результат умножения при помощи последовательного сложения найти труднее:

4×9 = 4×4 + 4×5 = 36

Чтобы сделать для детей вычислительные приемы вполне понятными, надо проработать их внимательно и неторопливо, конкретизируя каждый такой прием при помощи наглядных пособий. В этих целях широко используют предметный дидактический материал – карточки с изображением на них предметов парами, тройками и группами; прямоугольники, разделенные на квадраты; рисунки из учебника. При составлении и усвоении таблицы каждый раз обращается внимание не только на правильность полученного ответа, но и на то, как он получен, какие еще могут быть способы вычисления того же результата, какой из них более рациональный. Если ученик затрудняется назвать произведение чисел, ему напоминают предшествующую строчку. Зная результат этой строчки (или получив его от учителя), он находит заданное произведение, пользуясь приемом составления таблиц. В процессе вычислений учащиеся постепенно запоминают наизусть многие табличные произведения, но это достигается не путем механической зубрежки, а многократным применением многообразных вычислительных приемов. Наряду со способами сознательного усвоения таблицы в процессе вычислений нужно использовать и различные средства, способствующие лучшему усвоению и запоминанию. Например, основную работу по запоминанию таблиц необходимо проводить на уроках. Правда, для закрепления навыков табличного умножения требуются длительная и разнообразная тренировка, дифференцированная система заданий. Однако следует иметь в виду, что при работе над запоминанием таблицы умножения прибегать к вычислительным приемам нужно лишь в случаях возникновения ошибок.

Приведу примеры некоторых заданий по усвоению и запоминанию таблицы умножения. На практике мы убедились, что для лучшего запоминания таблицы полезным является ее зрительное восприятие. В своем классе я широко использовала не только демонстрационные таблицы, но и индивидуальные, которые изготавливаются на уроках труда.Чтение таблицы отдельными учениками и всем классом можно также использовать, так как некоторые произведения звучат ритмично и поэтому легко запоминаются при чтении (пятью пять – двадцать пять). Для лучшего запоминания таблицы полезно представить ее в таком виде, чтобы учащиеся могли сразу охватить весь тот материал, который они должны знать наизусть. С этой целью все табличные произведения группируются по десяткам (делается это на плакате, и по мере запоминания он вывешивается перед учащимися по частям или целиком):

Пользоваться этим плакатом легко. Учитель показывает одну из горизонтальных строчек, а учащиеся показывают числа, от умножения которых получены данные произведения. Например, они отвечают: «32 получается от умножения 4 на 8; 36–6 на 6 или 4 умножить на 9; 45–5 умножить на 9» и так далее. Отмечая в каждом ряду те случаи, которые трудно запомнить детям, я стараюсь в дальнейшем чаще возвращаться к ним в процессе вычислений.

Следующий прием –устный опрос по таблице, сначала последовательный, затем выборочный (с предъявлением задания на слух: 7×5 = ?) с постоянным обратным вопросом: «Сколько будет, если 35 разделить на 5?» –не нарушает ценности сознательного усвоения, так как не предшествует вычислениям, а следует за ними.

Избегая однообразия приемов при проверке усвоения таблицы, можно широко использовать такие игры, как: «У кого больше примеров?» Содержание игры. Учащимся предлагается составить и записать табличные случаи умножения со следующими числами: 35, 48, 81 и т.д. Примеры составляются в тетрадях. Проверка осуществляется так: один из учеников читает примеры с ответом 35, остальные подчеркивают у себя примеры с этим ответом. Выигрывает тот, кто составит больше примеров.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ДЕПАРТАМЕНТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СУРАЖСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

ИМЕНИ А.С.ПУШКИНА»

Специальность 050709 Преподавание в начальных классах

Выпускная квалификационная работа

Особенности изучения табличных случаев умножения и деления в начальной школе

Выполнила:

Плетнева Марина Анатольевна

Руководитель: преподаватель

математики

Фридлендер Валентина Ивановна

Введение

Глава I. Психолого-педагогические основы обучения

1.1 Теоретический анализ основных математических понятий

1.2 Методика изучения табличных случаев умножения и деления

1.3 Задания для индивидуальной самостоятельной работы учащихся по теме

Выводы по I главе

Глава II. Экспериментальная работа по осуществлению изучения табличных случаев умножения и деления

2.1 Изучение необходимости осуществления индивидуального подхода при изучении таблицы умножения и деления

2.2 Система упражнений, обеспечивающая усвоение таблицы умножения и деления

2.3 Из опыта работы на педпрактике

Выводы по II главе

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

Математика обычно считается самым трудным предметом школьного обучения.

Одна из трудных тем по математике в начальных классах - «Табличное умножение и деление».

Каждый учитель знает, сколько усилий требуется, чтобы добиться усвоения табличных случаев умножения и деления. И, тем не менее, результаты работы редко радуют. Стоит сделать небольшой перерыв, например каникулы, или уделить немного меньше внимания этой теме, и сразу появляются ошибки.

Выбранная нами тема является актуальной, так как она имеет большое значение во всем курсе математики. Выявив особенности изучения табличных случаев умножения и деления в начальных классах, современный учитель может максимально помочь учащимся в овладении данной темы. Разные подходы к изучению табличных случаев умножения и деления должны заинтересовать учащихся, активировать их деятельность.

Объектом моего исследования являются табличные случаи умножения и деления.

Предмет исследования - средства, формы, методы, используемые при обучении младших школьников табличным случаям умножения и деления.

Цель исследования - изучить методическую литературу по теме; разработать систему упражнений, уроков; обосновать использование форм, средств и методов обучения табличным случаям умножения и деления.

Исходя из объекта и предмета исследования, можно сформулировать гипотезу.

Гипотеза : использование различных средств, форм, методов, приемов, способствуют прочному и осознанному усвоению детьми вопросов табличного умножения и деления.

В связи с этим нами были поставлены следующие задачи :

1) изучить педагогическую и учебно-методическую литературу, вопросы по теме «Особенности изучения табличных случаев умножения и деления в начальной школе»;

2) проанализировать программы и учебники по математике для начальных классов с целью выявления того, в каком объеме изучается данная тема в начальной школе;

3) раскрыть основные направления работы по учебнику при изучении табличных случаев умножения и соответствующих случаев деления в концентре «Сотня»;

4) подобрать упражнения, способствующие усвоению учащимися табличных случаев умножения и деления.

Для решения поставленных задач были использованы такие методы научно-педагогических исследований:

Теоретический анализ литературы;

Анализ методов, средств, форм, используемых при обучении младших школьников табличным случаям умножения и деления;

Анализ накопленного опыта работы учителей по данной теме;

Изучение результатов деятельности младших школьников (проверка контрольных, самостоятельных работ и устного опроса) с целью определения уровня знаний и умений младших школьников при изучении табличных случаев умножения и деления в начальных классах.

Данная выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы из 26 источников, приложения.

Глава I . Психолого-педагогические основы обучения

1.1 Теоретический анализ основных математических понятий

Понятие произведения целых неотрицательных чисел может быть определено по-разному. Рассмотрим сначала подход, в основе которого лежит понятие суммы.

Определение.Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется такое целое неотрицательное число а·b, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) а·b = а + а +... + а при b > 1;

b слагаемых

2) а·1=а при b = 1;

3) а·0 = 0 при b = 0 .

Теоретико-множественный смысл этого определения следующий. Если множества А 1 , A 2 ,..., А b имеют по a элементов каждое и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит а·b элементов. Следовательно, произведение a·b - это число элементов в объединении b попарно непересекающихся множеств, каждое из которых содержит по а элементов. Равенства а·1=а и а·0=0 принимаются по условию.

Действие, при помощи которого находят произведение чисел а и b, называют умножением; числа, которые умножают, называют множителями.

Произведение любых целых неотрицательных чисел существует, и оно единственно.

С данным определением учащиеся знакомятся в начальных классах. Смысл его раскрывается при решении простых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 6 таких пальто?»

Почему она решается при помощи умножения? Потому, что в ней требуется найти число элементов в объединении, состоящем из 6 множеств, в каждом из которых по 4 элемента. Согласно определению это число находится умножением: 4·6 = 24 (пуговицы).

Имеется и другое определение произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с декартовым произведением множеств.

Пусть даны два множества: А={х, у, z} и В = {n, t, r, s}. Найдем их декартово произведение, которое запишем в виде прямоугольной таблицы:

(х, n), (х, t), (х, r), (х, s),

(y, n), (у, t), (у, r), (у, s),

(z, n), (z, t), (z, r), (z, s).

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении АхВ равно 3+3+3+3=12. С другой стороны, n(А) = 3, n(В) = 4 и 3·4 = 12. Видим, что число элементов в декартовом произведении данных множеств А и В равно произведению n(А)·n(В).

Вообще если А и В - конечные множества, то

n(А х В)=n(А) х n(В).

Таким образом, произведение целых неотрицательных чисел а и b можно рассматривать как число элементов декартова произведения множеств А и В, где n(А)=а, n(В)=b:

a·b = n(А х В),

где n(А) = а, n(В) = b

И в первом, и во втором случае нами определено произведение двух чисел. А как определить произведение нескольких множителей?

Пусть произведение двух множителей определено и определено произведение n множителей. Тогда произведение, состоящее из n+1 множителя, т. е. произведение a 1 · a 2 ·... · а n · а n+1 , равно (a 1 · a 2 ·... · a n) · a n+1 .

Например, чтобы найти произведение 2·7·5·9 согласно этому определению, надо выполнить последовательно следующие преобразования:

2·7·5·9 = (2·7·5)·9 = ((2·7)·5)·9 = (14·5)·9 = 70·9 = 630.

Докажем переместительный закон умножения через декартово произведение множеств.

Переместительный закон: для любых целых неотрицательных чисел a и b справедливо равенство a·b = b·a.

Пусть a = n(А), b = n(В). Тогда по определению произведения

a·b = n(А*В).

Но множества А*В и В*А равномощны: каждой паре (a, b) из множества А*В можно поставить соответствие единственную пару (b, a) из множества В*А, и наоборот. Значит,

n(А*В) = n(В*А),

и поэтому a·b = n(А*В) = n(В*А) = b·a.

Переместительное свойство умножения в начальных классах формулируется так: «От перестановки множителей произведение не изменится». Данное свойство широко используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел .

Рассмотрим задачу, которую решают младшие школьники, приступая к изучению действия деления: «8 апельсинов разложили на тарелки, по 2 апельсина на каждую. Сколько раз по 2 апельсина положили? Сколько тарелок потребовалось?

Ответ на вопрос задачи находится при помощи деления: 8:2=4.

Проанализируем решение этой задачи. В задаче рассматривалось множество, в котором 8 элементов. Оно разбивается на подмножества, в каждом из которых по 2 элемента, т. е. на равномощные подмножества (рис.1). Кроме того, они попарно не передаются. В задаче спрашивается, сколько таких подмножеств получилось. Таким образом, число 4, полученное в ответе, - это число двухэлементных подмножеств, на которые разбито множество из 8 элементов.

Обратимся теперь к другой задаче: «12 карандашей раздали 3 ученикам поровну. Сколько карандашей получил каждый?»

Она также решается делением: 12:3=4 (карандаша). Но число 4 здесь выступает в другом смысле - как число элементов в каждом из трех равномощных непересекающихся подмножеств, на которые разбито множество, содержащее 12 элементов (рис.2).

Рис. 1 Рис. 2

Иными словами, деление чисел связано с разбиением конечных множеств на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества. При этом решаются две задачи: нахождение числа элементов в каждом подмножестве (деление на части) и нахождение числа таких подмножеств (деление по содержанию) .

В общем виде частное целого неотрицательного числа а и натурального числа b определяется следующим образом:

Определение. Пусть а=n(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества.

Если b - число подмножеств в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число элементов каждого подмножества.

Если b - число элементов каждого подмножества в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число подмножеств в этом разбиении .

Действие, при помощи которого находят частное а:b, называется делением, число а - делимым, b - делителем.

Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия деления, мы обращаемся к умножению. Почему? Очевидно, потому, что действия деления и умножения взаимосвязаны. Но какова эта связь?

Пусть а =n (А) и множество А разбито на b попарно непересекающихся равномощных подмножества А 1 , А 2 ,..., А b . Тогда с = a:b есть число элементов в каждом таком подмножестве, т. е.

с = a:b = n (A 1) = n (A 2) = … = n (A b).

Так как по условию

A=A 1 A 2 ... А b ,

то n(А) = n (A 1 A 2 ... A b).

Но подмножества А 1 , А 2 ,..., А b попарно не пересекаются, значит, по определению суммы

n(A 1 A 2 ... A b) = n(A 1) + n(A 2) +…+ n(A b) = с + с +... + с.

b слагаемых

Согласно определению произведения сумма b слагаемых, каждое из которых равно c, есть произведение с·b.

Таким образом, установлено, что а = с·b, т. е. частным чисел а и b является такое число с, произведение которого и числа b равно а. К такому же выводу мы придем, если частное с = а:b будет числом подмножеств в разбиении множества А.

Таким образом, получаем второе определение частного:

Определение. Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа b называется такое целое неотрицательное число с = а:b, произведение которого и числа b равно а.

Можно показать и наличие обратной связи, т. е. что из второго определения частного вытекает первое:

а:b = с а = с·b

Итак, во втором случае частное определено через произведение. Поэтому говорят, что деление есть действие, обратное умножению.

Всегда ли существует частное натуральных чисел a и b? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Теорема. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы bа.

Доказательство. Пусть частное натуральных чисел a и b существует, т. е. существует такое натуральное число с, что а = с·b. Для любого натурального числа с справедливо утверждение 1с. Умножим обе части этого неравенства на натуральное число b, получим b c·b. Поскольку с·b = а, то b а. Теорема доказана.

Чему равно частное а = 0 и натурального числа b? По определению это такое число а, которое удовлетворяет условию с·b = 0. Так как b ? 0, то равенство c·b = 0 будет выполняться при с = 0. Следовательно, 0:b = 0, если bN.

Теорема. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Рассмотрим теперь вопрос о невозможности деления целого неотрицательного числа на нуль.

Пусть даны числа а? 0 и b = 0. Предположим, что частное чисел а и b существует. Тогда по определению частного существует такое целое неотрицательное число с, что а = с·0, отсюда а = 0. Пришли к противоречию с условием. Следовательно, частное чисел а? 0 и b = 0 не существует.

Если a = 0 и b = 0, то из предложения, что частное таких чисел а и b существует, следует равенство 0 = с·0, истинное при любых значениях с, т. е. частным чисел а = 0 и b = 0 может быть любое число. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль также невозможно.

В начальном курсе математики первоначальные представления о делении формируются на основе практических упражнений, связанных с разбиением, множества на попарно непересекающиеся равномощные подмножества, но без введения соответствующей терминологии и символики. Главным средством раскрытия этого понятия деления является решение простых задач.

Определение деления как действия, обратного умножению, в явном виде не дается. Взаимосвязь деления и умножения устанавливается при изучении темы «Нахождение неизвестного множителя», где, по существу, происходит обобщение двух смыслов частного, имеющих место при его теоретико-множественной трактовке .

1.2 Методика изучения табличных случаев умножения и деления

Тема «Умножение и деление чисел в пределах 100» является одной из основных тем начального курса математики. Изучается она во 2-м и 3-м классе.

Знанию таблицы умножения всегда придавали большое значение. Современная методика требует, чтобы дети не только знали таблицу умножения, но и поняли принципы составления таблицы, дающие возможность находить любое произведение. Поэтому ученик должен не только выучить и запомнить результаты табличного умножения, но и уметь при необходимости вычислять результаты самым кратчайшим способом.

Формирование у учащихся навыков табличного умножения и деления - одна из главных задач обучения математике. Решение этой задачи возможно при усвоении систематической работы по закреплению навыков табличного умножения. В итоге такой работы учащиеся должны научиться находить результаты табличного умножения и деления не только, правильно и осознано, но и быстро, а таблицу умножения знать наизусть .

Поэтому при составлении таблиц и их усвоения нужно стараться развивать у детей умения пользоваться при умножении и делении разнообразно вычислительными случаями, которые являются наиболее подходящими.

Составление таблиц и их усвоение - это сложный и длительный процесс, в котором можно выделить два этапа. Первый этап связан с составлением таблиц, второй - с их усвоением, т. е. прочным запоминанием. Так как в современной начальной школе речь идет о формировании сознательных вычислительных навыков, то составлению таблицы умножения (деления) предшествует изучение теоретических вопросов, являющихся основой тех вычислительных приемов, которыми учащиеся будут пользоваться при составлении этих таблиц .

Вопросы данной темы рассматриваются в следующем порядке: сначала раскрывается конкретный смысл действий умножения и деления и на этой основе вводятся первые приемы умножения и деления, составляется таблица умножения двух и деления на два; затем изучается переместительное свойство умножения, на основе которого составляется таблица умножения на 2; далее изучаются связи между компонентами и результатами действий умножения и деления, на их основе рассматриваются табличные случаи деления с числом 2, приемы умножения и деления с числами 1 и 10, а также остальные таблицы умножения и деления; после этого вводятся приемы умножения и деления с числом нуль.

К табличному умножению и делению относятся случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначное число и соответствующие случаи деления:

5·3 = 15; 15:3 = 5

7·4 = 28; 28:7 = 4 и т. п.

При изучении этого вида умножения и деления необходимо:

1) познакомить детей с новыми для них действиями умножения и деления;

2) изучить таблицу умножения и деления.

Таким образом, табличное умножение и деление, в свою очередь, разбивается на два вопроса:

1) знакомство с действиями умножения и деления;

2) изучение таблицы умножения и деления .

Каждый учитель знает, с каким трудом усваивают дети таблицу умножения и деления. Поэтому следует отметить, что работа по раскрытию смысла этих действий начинается еще в 1 классе.

Ведется счет группами;

Вычисляются суммы нескольких одинаковых слагаемых;

Решаются простые задачи: на нахождение суммы нескольких одинаковых слагаемых, на деление по содержанию, и деление на равные части.

Используются следующие задачи:

1) Сколько ножек у двух столов? А у двух журнальных столиков?

2) Сколько ног у двух гусей? У двух петухов?

3) Я вижу 12 птичьих ног. Сколько воробьев я вижу? .

Данные задачи решаются только практически (устно).

Во 2 классе эта работа получает свое естественное продолжение. Вначале происходит знакомство с действием умножения. Смысл этого действия раскрывается через решение простых задач на нахождение суммы нескольких одинаковых слагаемых.

Предлагаются такие задания как:

1) На каждом конверте по 2 марки. Сколько марок на 5 таких конвертах?.

2) В одной коробке 6 карандашей. Сколько карандашей в 4 таких коробках?.

Подобные задачи (примеры) полезно иллюстрировать предметами или рисунками.

Следует включать упражнения: по данным рисункам составить задачи (примеры) на сложение (рис.3)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решая такие задачи и примеры, учащиеся замечают, что есть суммы с одинаковыми слагаемыми, и считают, сколько таких слагаемых.

Выполняя эту операцию, дети знакомятся с действием умножения, с записью умножения, усваивают роль множителей. Смысл этого действия раскрывается через решение простых задач на нахождение суммы нескольких слагаемых.

Покажем, как это можно сделать.

Учитель предлагает решить задачу: «На каждой тарелке по 3 груши. Сколько груш на 4 тарелках?» .

Выполнив иллюстрации, учащиеся записывают решение: 3+3+3+3=12.

Учитель. Что можно сказать о слагаемых этой суммы?

Дети. Одинаковые.

Учитель. Сколько их?

Учитель. Здесь по 3 взяли 4 раза. Если слагаемые одинаковые, то сумму можно записать иначе: 3·4=12. Читают эту запись так: по 3 взять 4 раза, получится 12. (Дети повторяют.)

Учитель. Умножение обозначают знаком - точкой.

Учитель. Что показывает в этой записи число 3?

Дети. Число 3 берется слагаемым.

Учитель. Что показывает число 4?

Дети. Сколько раз взяли слагаемым число 3.

Затем выполняется несколько упражнений на замену суммы произведением. При этом дети устанавливают, что показывает каждое число в новой записи.

Очень важно, чтобы учащиеся поняли, при каких условиях возможна замена суммы произведением и когда она невозможна. Этому помогает решение примеров с одинаковыми и разными слагаемыми.

На доске пример: 15+15+15.

Учитель. Замените пример на сложение примером на умножение.

Дети. 15·3.

Учитель. Можно ли пример 22+22+28 заменить примером на умножение?

Дети. Нельзя.

Учитель. Почему?

Дети. Слагаемые разные. Слагаемые неодинаковые.

Учитель. Всегда ли можно пример на сложение заменить примером на умножение?

Дети. Не всегда.

Учитель. В каких случаях это сделать можно?

Дети. Когда слагаемые одинаковые.

Далее вводится первый вычислительный прием нахождения произведения, основанный на конкретном случае умножения, - это замена произведения суммой и выполнение сложения. Например, предлагается найти результат: 6·4.

Учитель. Прочитайте пример.

Дети. 6 умножить на 4.

Учитель. Что в этой записи указывает число 6?

Дети. Это число берется слагаемым.

Учитель. Что обозначает число 4?

Дети. Сколько берется слагаемых.

Учитель. Заменим пример на умножение примером на сложение.

Запись: 6+6+6+6=24.

Надо уделить особое внимание закреплению знаний этого приема, так как в дальнейшем он используется при составлении всех таблиц умножения. С этой целью полезно научить детей вести рассуждение при замене произведения суммой по определенному плану: назвать первый множитель и сказать, какое число берется слагаемым; назвать второй множитель и сказать, сколько надо взять таких слагаемых; вычислить сумму. Например, вычисляя произведение 5·3, дети рассуждают: первое число (первый множитель) 3, следовательно, слагаемых будет 3; вычисляем: 5+5+5=15.

Запись: .

При вычислении некоторых сумм одинаковых слагаемых целесообразно ознакомить детей с приемом группировки слагаемых (не вводя этого термина) и использовать этот прием тогда, когда это удобно. Например, вычисляя сумму 2+2+2+2+2 +2+2 , надо обратить внимание детей, что сумма пяти слагаемых равна 10, а к 10 легко прибавить сумму остальных слагаемых: 10+4=14. Этот прием используется в дальнейшем при составлении таблиц умножения .

Закреплению знания конкретного смысла действия умножения и вычислительного приема, основанного на этом знании, помогают такие упражнения.

1) Сравните выражения и поставьте вместо звездочек знак « > », « < » или « = »:

2) Вычисли произведения, заменяя умножение сложением одинаковых слагаемых.

9·2 2·3 1·5 0·4 12·2

3) В каждом столбике найди значение второго выражения, используя значение первого.

9·2 = 18 2·6 = 12 7·4 = 28

9·3 = 2·7 = 7·5 =

4) Объясни, разными способами, на сколько клеток разбит прямоугольник.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2) 4+4+4=4+4+4 =

Размещено на http://www.allbest.ru/

Действие деление рассматривается как обратное действию умножения. Это положение реализуется в ходе подготовительной работы к изучению деления. На примерах из практической жизни показывается необходимость действия деления для решения разнообразных задач .

Конкретный смысл деления раскрывается в процессе решения простых задач двух видов:

1) деление по содержанию;

2) деление на равные части.

Ученик должен научиться выполнять по условию задачи операцию разбиения данного множества на ряд равночисленных подмножеств и связать эту операцию с действием деления, научиться записывать решение задач с помощью этого действия.

На знании конкретного смысла действия деления основывается первый вычислительный прием деления: ученики находят частное, выполняя действия с предметами. Например, чтобы найти частное 8:4, берут 8 кружков (палочек и т. п.), раскладывают их по 4 и считают, сколько раз получилось по 4 кружка, или раскладывают 8 кружков на 4 равные части и считают, сколько кружков получилось в каждой части .

А для более точного усвоения знаний конкретного смысла действия деления и вычислительного приема, основанного на этом знании, используют решение простых задач на деление по содержанию и на равные части, а также решение примеров (задач) на деление с помощью действий с конкретными предметами (кружки, палочки и т. п.).

Задача. «На конверты наклеили 6 марок: по 2 марки на каждый конверт. Сколько получилось конвертов с марками?» .

Для решения этой задачи необходимо выполнение практических действий с предметами, как учителем, так и учащимися. Разговор может быть таким:

Учитель. У меня 6 марок, а вы положите столько же треугольников. Будем наклеивать их на конверты по 2, я у доски, а вы на партах. (Наклеивает по 2 марки на конверты).

Учитель. На сколько конвертов наклеили по 2 марки?

Дети. На 3 конверта.

Учитель. Давайте запишем решение этой задачи. Мы марки наклеивали, делили, и решение будем записывать новым действием - делением. Это записывается так:

Ответ: 3 конверта.

«:» - знак деления.

Аналогично рассматриваются задачи на деления на равные части. При этом также необходима демонстрация с использованием предметной наглядности.

Пример. «6 яблок разложили на 3 тарелки поровну. Сколько яблок положили на каждую тарелку?» .

Здесь нужно показать и принцип деления на равные части. Учитель выставляет три тарелки.

Учитель. Сколько мне нужно взять яблок, чтобы положить на тарелки по 1 яблоку?

Дети. 3 яблока.

Учитель. Сколько мне еще нужно взять яблок, чтобы положить еще по 1 яблоку на тарелки?

Дети. 3 яблока.

Учитель. Для решения задачи надо узнать, сколько раз по 3 содержится в 6. Поэтому задача решается делением:

Ответ: 2 яблока.

В это время ученики знакомятся с названиями компонентов и результатов действий умножения и деления: первый множитель, второй множитель, произведение, позднее - делимое, делитель, частное. Здесь же дети узнают, что термины «произведение» и «частное» обозначают не только результат действия, но и соответствующее выражение, например: 4·3 и 20:5. В связи с введением терминов дается еще один способ чтения примеров на умножение и деление, например 4·3: первый множитель 4, второй множитель 3, найдите произведение; 20:5: делимое 20, делитель 5, найдите частное. Выражение дети читают так: произведение чисел 4 и 3, частное чисел 20 и 5.

Далее изучается переместительное свойство умножения. Это свойство нужно прежде всего для усвоения действия умножения, а кроме того, знание этого свойства дает возможность почти в двое сократить число случаев, которые необходимо запомнить наизусть. Вместо двух случаев (8·3 и 3·8) ученики запоминают только один .

Переместительное свойство умножения учащиеся могут «открыть» сами, используя наглядные пособия в виде рядов клеток (кружков, пуговиц, звездочек и т. п.). Например, дети чертят прямоугольник, разбивают его на квадраты.

Предлагается узнать двумя способами, сколько всего квадратов получилось (4·3=12 и 3·4=12). Сравнив полученные примеры, учащиеся, замечают, что множители одинаковые, только поменялись местами, произведения равны.

После выполнения нескольких аналогичных упражнений учащиеся формулируют свойства: «От перестановки множителей значение произведения не меняется».

С целью закрепления знания переместительного свойства умножения предлагаются такие упражнения:

1) Найдите значение выражения в каждой паре, зная значение первого.

4·5=20 7·4=28 9·3=27

5·4=… 4·7=… 3·9=… .

2) Вставьте вместо звездочек знак «>», «<» или «=»:

8·22·8 .

Сравнив в приведенных упражнениях данные выражения, дети должны заметить, что в произведениях множители переставлены, следовательно, их значения равны.

3) Вставьте пропущенные числа так, чтобы равенства стали верными.

7·2 = 2·… 9·… =7·9 13·5=… ·13

3·5=… ·3 …·6=6·10 …·18=18·2

При выполнении последних упражнений также применяется знание переместительного свойства.

После выполнения достаточного числа упражнений на закрепление, переместительное свойство записывается в общем виде с помощью букв: a·b=b·a.

На основе переместительного свойства умножения составляется таблица умножения на 2. Ученикам предлагается самим составить эту таблицу, пользуясь известной им таблицей умножения двух. Получается запись:

2·4=8 4·2=8 и т.д.

Ученики рассуждают: «2 умножить на 3, получится 6, переставим множители и умножим 3 на 2, получится тоже 6» и т. д. Здесь следует ввести еще один способ чтения таблицы: дважды два - четыре, дважды три - шесть и т. д., пояснив смысл слов «дважды», «трижды» и т. д. (два раза, три раза). Чтобы ученики быстро воспроизводили результаты таблицы умножения на 2, необходимо соответствующие случаи умножения чаще включать в устные упражнения и в письменные работы.

На основе переместительного свойства умножения надо рассмотреть прием перестановки множителей. С этой целью предлагается учащимся найти с помощью сложения значения произведений, отличающихся только порядком множителей, например: 2·6 и 6·2, 3·7 и 7·3 и т. п. Сравнив решения, ученики приходят к выводу, что легче находить результат умножения сложением, когда большее число умножаем на меньшее, так как будет меньше слагаемых. В дальнейшем при составлении таблиц умножения ученики могут, где это удобно, переставлять множители и находить результат нового произведения. Так, случай 3·7 они могут заменить случаем 7·3 и сложить 3 слагаемых, каждое из которых равно 7, вместо того чтобы складывать 7 слагаемых, каждое из которых равно 3 .

При рассмотрении зависимости между компонентами и результатом действия умножения мы подводим детей к выводу: если произведение разделить на первый множитель, получим второй множитель и т. д.

Связь между компонентами и результатом действия раскрывается с помощью наглядных пособий. Учащимся предлагается составить пример на умножение по рисунку .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ученики составляют пример: 3·2=6.

Учитель. Назовите первый множитель.

Учитель. Назовите второй множитель.

Учитель. Назовите произведение.

И как следствие этого, показываем, что для каждого примера на умножение, можно составить два примера на деление.

Получается запись:

Учитель. Сравните примеры на деление с примером на умножение. Как получили второй множитель 2?

Дети. Произведение 6 разделили на первый множитель 3.

Учитель. Как получили первый множитель 3?

Дети. Произведение 6 разделили на второй множитель 2.

После выполнения нескольких аналогичных упражнений ученики делают вывод: если произведение двух чисел разделить на первый множитель, то получим второй множитель, а если произведение двух чисел разделить на второй множитель, то получим первый множитель.

Позднее эти два вывода объединяют в один: если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то получится другой множитель.

Чтобы добиться усвоения учащимися связи между произведением и множителями, предлагается такие упражнения:

1) Вычисли произведение и, используя его, найди частное.

2·3 6·2 2·7 4·2 9·2

2) Вычисли частное и, используя его, найди произведение:

16:8 14:2 18:9 10:5 .

3) Вычисли произведение и в каждой строке, используя его, найди частное.

Размещено на http://www.allbest.ru/

На этом же этапе на основе связи между произведением и множителями рассматриваются табличные случаи деления с числом 2. Ученики записывают по памяти известную им таблицу на 2. Затем, используя знание связи между компонентами и результатом действия умножения, находят результаты соответствующих случаев деления.

Получается запись:

2·3=6 6:2=3 6:3=2

2·4=8 8:2=4 8:4=2 и т. д.

Ученики рассуждают: произведение чисел 2 и 3 равно 6; если произведение 6 разделить на первый множитель 2, то получится второй множитель 3, а если произведение 6 разделить на второй множитель 3, то получится первый множитель 2 и т. д.

Чтобы ученики усвоили рассмотренные случаи деления с числом 2, их надо чаще включать в устные упражнения и в письменные работы.

Аналогичным образом изучаются связи между компонентами и результатом деления: если частное умножить на делитель, то получится делимое, а если делимое разделить на частное, то получится делитель.

При закреплении знания этих связей надо ознакомить учащихся с приемом подбора частного. Например, надо 18 разделить на 6, для этого подбираем такое число (частное), при умножении которого на делитель 6 получается делимое 18; это число 3, так как 6·3=18 .

На основе изученного материала вводятся приемы умножения и деления с числами 1 и 10.

Сначала рассматривается прием умножения единицы.

Учащиеся решают задачу, находят результат сложением: «На 5 лошадей сели по 1 всаднику».

Затем, сравнив в каждом случае результат с множителями, они приходят к выводу: при умножении единицы на любое число получается то число, на которое умножали.

Затем вводится правило умножения на 1: при умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали, например, 4·1=4, 12·1=12, a·1=a. Здесь необходимо использовать прием замены произведения суммой, на этом же основании нельзя опираться и на перестановку множителей. Поэтому надо сообщить детям это правило и в дальнейшем использовать его в вычислениях.

Деление на число, равное делимому (3:3=1), раскрывается на основе конкретного смысла деления: если, например, 3 карандаша разложить в 3 коробки поровну, то в каждой коробке окажется по одному карандашу.

Рассуждая, таким образом, ученики решают несколько аналогичных примеров: 4:4=1, 6:6=1 и т. п. При этом замечают, что при делении на число, равное делимому, в частном получается 1.

Деление на 1 вводятся на основе связи между компонентами и результатом действия умножения: зная, что 1·4=4, найдем, что 4:1=4. Решив, таким образом, ряд примеров и сравнив их между собой, ученики делают вывод: при делении любого числа на единицу в частном получается это же число. Этим выводом они пользуются в дальнейшем при вычислениях.

При умножении 10 на однозначные числа ученики пользуются приемом: чтобы умножить 10 на 2, можно 1 десяток умножить на 2, получится 2 десятка, или 20. Умножая на 10, дети используют переместительное свойство умножения: чтобы 2 умножить на 10, можно 10 умножить на 2, получится 2 десятка, или 20. При делении используется знание связи между компонентами и результатом действия деления: чтобы 20 разделить на 10, надо подобрать такое число, при умножении которого на 10 получится 20; это 2; значит, 20:10=2. Так же находим, что 20:2=10.

Все перечисленные вопросы помогают при рассмотрении следующего вопроса, т. е. при изучении таблицы умножения. Рассматривая их, мы вели подготовку детей к изучению таблицы умножения.

Изучение таблицы умножения и деления - очень важный этап изучения темы. В основных требованиях к знаниям учащихся в программе записано: «Учащиеся должны знать таблицу умножения и соответствующие случаи деления». Изучение таблиц умножения и деления предлагает следующие моменты:

· работа по составлению таблицы;

· работа, обеспечивающая ее запоминание .

При составлении и усвоении таблицы каждый раз обращается внимание не только на правильность полученного результата, но и на то, как получен ответ, какие еще могут быть способы вычисления того же результата, какие из них более рациональны.

Знанию таблицы умножения всегда придавали большое значение. Современная методика требует, чтобы дети не только знали таблицу умножения, но и поняли принципы составления таблицы, дающей возможность находить любое произведение. Поэтому ученик должен не только выучить и запомнить результаты табличного умножения, но и уметь при необходимости вычислить результаты самым кратчайшим способом.

В практике довольно часто можно наблюдать, что некоторые учащиеся механически зазубривают результаты табличного умножения, а, забыв их, не могут прибегнуть к известным приемам вычисления. Поэтому в процессе составления таблиц и их усвоения, нужно стараться развивать у детей умение пользоваться при умножении и делении разнообразными вычислительными приемами и выбирать из них те, которые для данного случая являются наиболее подходящими .

Усвоение смысла действия умножения и умение применять данное значение на практике позволяет учащимся самостоятельно справиться с составлением таблицы умножения.

Переместительное свойство умножения позволяет сократить число табличных случаев, которые нужно заучить на память.

Предполагается, что усвоение табличного случая умножения должно обеспечить знание табличных случаев умножения .

Начинается работа по составлению первых таблиц умножения и деления еще на этапе подготовки. При составлении используются все те примеры, которые были уже усвоены детьми на предыдущих уроках.

Начинается работа по составлению первых таблиц умножения и деления еще на этапе подготовки.

Так после раскрытия смысла действия умножения как сложения одинаковых слагаемых составляется первая таблица умножения числа 2. Здесь важно показать детям принцип получения результата действия.

2·6 2+2+2+2+2+2

2·7 2+2+2+2+2+2+2

2·8 2+2+2+2+2+2+2+2

2·9 2+2+2+2+2+2+2+2+2 .

Однако уже здесь с самого начала (начиная с изучения таблицы умножения двух) полезно использовать для получения результата переместительное свойство произведения. Так, скажем, вместо того чтобы складывать 9 раз по 2, вычисляя произведение 2·9, можно заменить этот пример другим: 9·2 - и найти результат так: 9+9=18. Далее составляется таблица.

Здесь важно показать детям, что если мы знаем соответствующий результат первой таблицы, то во второй вычислять и записывать не надо.

Каждая составляемая впервые таблица умножения того или иного числа должна возникать на глазах у детей, чтобы они уловили и принцип ее составления. Таблица записывается столбиком, затем по отношению к каждому из примеров составляется ему пример, получаемый перестановкой множителей, и два примера на деление. При изучении этого вопроса учащиеся основываются на нахождение неизвестного множителя и показывают принцип составления взаимообратных примеров на умножение и деление:

8·3 3·8 24:8 24:3 .

На этой основе составляются две таблицы на деление с числом 2. Эта работа должна обязательно дублироваться на доске, чтобы в тетрадях оказались правильно записанные таблицы умножения и соответствующие таблицы деления.

Таким образом, уже на подготовительном этапе перед изучением таблицы умножения и деления мы познакомили детей с принципом составления каждой из четырех таблиц и способами их пользования.

Изучение таблицы умножения и деления мы начинаем с повторения и деления с числом 2. Все 4 таблицы, составляемые раннее, мы собираем вместе, вспоминаем принцип составления каждой из них, детально на конкретных примерах разбираем правила ими пользования, ориентируем детей на их запоминание.

Затем переходим к изучению таблиц с другими числами: 3, 4, 5, …, 9. Каждая новая таблица начинается со случая умножения двух одинаковых чисел (например, при изучении умножения четырех: 4·4), так как все предыдущие случаи умножения данного числа являются уже известными - они могут быть получены в рассмотренных ранее таблицах, если переставить множители.

Для каждого из чисел учитель вместе с детьми составляет на одном уроке все 4 таблицы, продолжает формировать у детей умение работать с ними, ведет работу по их запоминанию.

Работа по запоминанию таблицы умножения и деления должна начинаться на том же уроке, где она составлена. При этом предполагается, что заучиваться должна только первая из четырех, а результат в остальных дети будут быстро и уверенно получать на основе результата первой таблицы и соответствующих правил независимостей.

Например, если 3·4=12, то 4·3=12, т.к. от перестановки множителей произведение не меняется. 12:3=4 и 12:4=3, т.к. если произведение 12 разделим на первый множитель 3. то получим второй множитель 4, а если разделим на второй множитель 4, то получим первый множитель 3.

Однако, как показывает практика и результаты проверок, дети достаточно часто успешно усваивают первую таблицу, а результаты остальных, особенно таблиц деления, находят с большим трудом.

Такое положение выдвигает проблему поиска путей совершенствования методики работы по заучиванию табличных случаев умножения и деления.

Целесообразно при работе с таблицей, ориентировать детей на обязательное заучивание первого столбика, учить их как, зная результат первого столбика, получить результаты остальных в данной строчке, и даже практиковать построчное заучивание.

Следует обратить внимание на то, что учитель в процессе работы по заучиванию таблицы должен вести систематический контроль и учет того, как каждый ребенок продвигается в ее усвоении. Для этого практически на каждом уроке должна быть организована работа тренировочного характера. Задания, предлагаемые детям, должны отличаться разнообразием и способствовать включению в работу всех детей класса. Необходимо использовать приемы, формы работы, способствующие поддержанию интереса детей, а также различные средства обратной связи.

При этом учитель должен осуществлять необходимую практическую помощь детям, особенно на первых порах. Некоторые столбики таблицы, большие по количеству случаев для запоминания, трудно заучить в один прием. В этом случае надо заучивать его по частям, причем точно определить, сколько случаев выучить сегодня, сколько - завтра. Нужно давать и практические советы, как заучивать (прочитать, попробовать записать, забыв, - прочитай и запомни, закрой ответы, повтори и т. д.).

Для проверки усвоения таблицы целесообразно использовать и различные формы проверки: фронтальный опрос, математический диктант, перфокарты, карточки с математическими заданиями, игры и др.

По мере усвоения таблицы при проверке следует учитывать и уровень ее запоминания:

Вначале дается время для вычислений;

Затем даются упражнения с ограничением времени (проверяется автоматизм усвоения) .

После изучения всех таблиц умножения рассматриваются случаи умножения и деления с нулем.

Сначала вводится случай умножения нуля на любое число (0·5, 0·2, 0·7). Результат учащиеся находят сложением (0·2=0+0, 0·3=0+0+0=0). Решив ряд аналогичных примеров, ученики замечают, что при умножении нуля на любое число получается нуль. Этим правилом они в дальнейшем и руководствуются.

Если второй множитель равен нулю, то результат нельзя найти сложением, нельзя использовать и перестановку множителей, так как это новая область чисел, в которой переместительное свойство умножения не раскрывалось. Поэтому второе правило: «Произведение любого числа на нуль считают равным нулю» - учитель просто сообщает детям.

Затем оба эти правила применяются при выполнении различных упражнений на вычисления.

Деление нуля на любое число, не равное нулю (0:6), рассматривается на основе связи между компонентами и результатом деления. Ученики рассуждают так: чтобы 0 разделить на 6, надо найти число, при умножении которого на 6 получится 0. Это нуль, так как 0·6=0. Значит, 0:6=0. В результате решения ряда аналогичных примеров ученики замечают, что при делении нуля на любое число, не равное нулю, частное равно нулю. В дальнейшем учащиеся пользуются этим правилом.

Как известно, делить на нуль нельзя. Этот факт сообщается детям и поясняется на примере: нельзя 8 разделить на 0, так как нет такого числа, при умножении которого на 0 получится 8.

Необходимо чаще включать в тренировочные упражнения случаи умножения и деления с числами 0 и 1, сравнивая соответствующие приемы (5·0 и 5·1), чтобы предупредить смешение .

1.3 Задания для индивидуальной самостоятельной работы учащихся по теме

Как правило, учащиеся любого класса различаются по характеру, способностям, интеллектуальному развитию и, естественно, разному темпу работы. При коллективной, групповой работе или работе в парах медлительным детям проще: у них есть возможность поразмыслить в то время, когда другие ученики предлагают свои суждения, доказательства, варианты решения предложенных заданий. Однако при самостоятельной работе или при выполнении заданий, направленных на отработку вычислительного навыка усвоения табличных случаев умножения и соответствующих случаев деления медлительные дети испытывают затруднения и неловкость: когда они еще только осмысливают задание, другие ученики уже сообщают о завершении работы над ним. Поэтому ученика, который работает медленно, учитель постоянно торопит или ребенок спешит сам, услышав или увидев, что другие дети уже закончили работу. Естественно, страдает качество работы. Ученики, которые закончили работу, в лучшем случае получают от учителя дополнительное задание, не связанное с предыдущим, в худшем - просто ждут, когда другие выполнят задания.

Для решения этой проблемы необходимо разрабатывать задания трех уровней, которые позволяют каждому ученику работать в своем режиме и тесно связаны с темой самостоятельная работа.

Все ученики обязательно выполняют задания первого уровня. Задания второго и третьего уровней выполняют по мере возможностей.

Организовать самостоятельную работу на уроке с помощью разноуровневых заданий можно так:

Учитель выполняет на доске запись.

1. Знаешь, как решить решай.

2. Решил, приступай к выполнению задания следующего уровня.

У каждого ученика на парте лежит карточка с заданиями трех уровней и сигнальный кубик. Три грани кубика закрашены в красный, синий и желтый цвет. На других трех гранях записаны цифры 1, 2, 3 (Приложение 1).

Класс не делится на группы. Все ученики находятся на одинаковых условиях. Учитель дает задание решить задание первого уровня. Ученики читают задание. Если ребенок понял, как решить, то он ставит кубик зеленой гранью к учителю, что говорит: «Я могу сам». Кубик, повернутый к учителю красной гранью, говорит: «Я затрудняюсь». Таким образом, учитель получает информацию о деятельности всего класса. Учеников, которые испытывают трудности, учитель приглашает за отдельный стол или к доске, где учитель работает с этими детьми индивидуально. При этом учитель ограничивается минимальными пояснениями и не вмешивается в самостоятельную работу учеников. Одновременно учитель следит за работой остальных учеников. Сигналы желтого цвета говорят об окончании работы над заданием первого уровня.

Использование сигнальных кубиков дает учителю возможность видеть в каждый момент работы всех учащихся и оказывать незамедлительную помощь нуждающимся. Выполнение заданий второго и третьего уровней положительно влияет на развитие умственных способностей учащихся и на формирование умения работать самостоятельно.

Проверка самостоятельной работы проводится в следующей последовательности. После того как ученики повернут к учителю кубик гранью с цифрой 1 (что говорит о выполнении ими задания первого уровня), решение задания проверяется и обсуждается. Далее все ученики читают задание второго уровня, и в классе появляются сигналы с цифрой 2 (их конечно же меньше). Дети, выполнившие это задание, предлагают свои решения, а в их обсуждении принимает участие весь класс. Сигналы с цифрой 2 помогают учителю быстрее сориентироваться при проверке задания и увидеть, сколько учеников выполнили задания второго уровня. Аналогично проверяется выполнение заданий третьего уровня.

Такая организация самостоятельной работы при усвоении табличных случаев умножения и деления способствует повышению познавательного интереса учащихся, выполнивших задание только первого уровня. У учеников возникает естественное желание самостоятельно выполнять все предложенные задания. Выполнение более сложного задания становится целью каждого ученика. .

Задача учителя - организовать процесс обучения таким образом, чтобы у учащихся повышался интерес к знаниям, возрастала потребность в более полном и глубоком их усвоении, развивалась самостоятельность в работе, чтобы каждый ученик принимал самое активное участие, работал с полным напряжением своих сил, чтобы самостоятельная работа способствовала более глубокому усвоению программного материала, выработке более прочных умений и навыков, развитию разносторонних способностей учащихся.

Выводы по I главе

В данной главе мы рассмотрели теоретический анализ основных математических понятий, методику изучения табличных случаев умножения и деления, задания для индивидуальной самостоятельной работы учащихся по теме.

Нами было установлено, что:

а·b = n (A 1 A 2 … A n),

где n(A 1) = n(A 2) = … = n(A n) = а

и множества А 1 , А 2 , …, А n попарно не пересекаются;

А также и то, что деление определяется как операция, обратная умножению, поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь.

С помощью операции деления можно найти любой из неизвестных множителей.

а) чтобы найти неизвестный первый множитель, нужно произведение разделить на второй множитель.

б) чтобы найти неизвестный второй множитель, нужно произведение разделить на первый множитель.

К табличному умножению и делению относятся случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначное число и соответствующие случаи деления.

Формирование у учащихся навыков табличного умножения и деления - одна из главных задач обучения математике. Решение этой задачи возможно при усвоении систематической работы по закреплению навыков табличного умножения на протяжении первого полугодия. В итоге такой работы учащиеся должны научиться находить результаты табличного умножения и деления не только, правильно и осознано, но и быстро, а таблицу умножения знать наизусть .

Поэтому при составлении таблиц и их усвоения нужно стараться развивать у детей умения пользоваться при умножении и делении разнообразными вычислительными случаями, которые являются наиболее подходящими.

Самостоятельная работа учащихся - это такой способ учебной работы, где

учащимся предлагаются учебные задания и руководства для их выполнения;

работа проводится без непосредственного участия учителя, но под его руководством;

выполнение работы требует от учащегося умственного напряжения.

В ходе самостоятельной работы каждый ученик получает конкретное задание, которое предполагает выполнение определенной письменной работы.

Подобные документы

Математические основы изучения табличного умножения и соответствующих случаев деления. Возрастные особенности младших школьников. Методические подходы к изучению темы "Табличное умножение и соответствующие случаи деления". Виды самостоятельной работы.

курсовая работа , добавлен 26.02.2010

Формирование вычислительных навыков у учащихся начальных классов при изучении табличных случаев умножения и деления. Опытно-экспериментальное исследование по формированию прочных навыков табличного умножения и деления на уроках математики в школе.

дипломная работа , добавлен 09.01.2014

Математические основы изучения табличного умножения и деления в начальной школе, формирование вычислительных навыков в традиционной системе обучения. Особенности дидактической системы Л.В. Занкова: полноценный вычислительный навык, качество, задания.

дипломная работа , добавлен 31.08.2011

Метазнания: понятие и содержание метапредметности в современном образовании. Методы и приемы изучения таблицы умножения в начальной школе; исследование и анализ диагностических работ "на входе" и "на выходе", направленных на метапредметные результаты.

дипломная работа , добавлен 17.09.2011

Формирование вычислительных навыков и умений у младших школьников в начальном курсе математики. Методико-математические основы формирования табличных навыков умножения. Характеристика методических приемов, способствующих запоминанию таблицы умножения.

курсовая работа , добавлен 19.03.2016

Устные вычисления, арифметические таблицы, таблицы умножения. Законы арифметических действий. Аксиоматический подход к определению понятий произведения и частного. Педагогические основы формирования вычислительных навыков. Анализ программы и учебника.

курсовая работа , добавлен 10.02.2015

Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования. Понятие и сущность метапредметности в современном образовании. Суть и содержание метапредметных результатов. Особенности усвоения таблицы умножения в начальной школе.

курсовая работа , добавлен 14.11.2011

Особенности изучения математики в начальной школе согласно Федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования. Содержание курса. Анализ основных математических понятий. Сущность индивидуального подхода в дидактике.

курсовая работа , добавлен 29.09.2016

Этапы формирования математических понятий при изучении математике в школе. Типичные ошибки, которые встречаются у учащихся при определении понятий. Методика работы над математическим определением, этапы их изучения. Педагогические приемы введения понятий.

реферат , добавлен 07.03.2010

Общие вопросы методики изучения лексики русского языка в начальной школе. Пути активизации познавательной деятельности учащихся при изучении лексики. Методика лексической работы в начальной школе. Обогащение словаря младших школьников.

Изучение таблицы умножения и деления является центральной задачей обучения математике во 2 и 3 классе. Результаты табличного умножения в соответствии с программными требованиями к знаниям, умениям и навыкам дети должны знать наизусть. Умножение с числом нуль, с числами 1 и 10 относятся к особым случаям.

К табличному умножению относятся случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых).

1. Умножение двух - первый этап в рассмотрении табличных случаев умножения.

Результат 2х2 = □ находят действием сложения, помня, что умножение - это сумма одинаковых слагаемых. Поэтому, 2 + 2 = 4. Следовательно, 2 2 = 4.

Аналогично:

6, 2 + 2 + 2 = 6,

2 + 2 + 2 + 2 = 8,

2 + 2+ 2 + 2 + 2 = 10,

Для остальных случаев используется предыдущий результат:

10 + 2 = 12, следовательно, ,

2 5 = 10, 10 + 4 = 14, следовательно, 2 7 = 14.

2. Умножение на число 2 (таблица составляется на основе переместительного свойства умножения ):

2 х 2 = 4 2 х 3 = 6 2 х 4 = 8 ……….

3 х 2 = 6 4 х 2 = 8 ………

3. Табличное деление рассматривается на основе взаимосвязи умножения и деления следующим образом:

если 3 2 = 6, то 6:2=3 и 6: 3 = 2.

Решение записывают столбиком:

7 2 = 14; 6 2 = 12;

14:2 = 7; 12: 2 = 6;

14: 7 = 2. 12: 6 = 2.

Таким образом, приходим к таблицам умножение числа 2 и умножение на число 2. Затем на основе связи между умножением и делением находятся соответствующие случаи деления:

2 х 2 = 4 2 х 3 = 6 2 х 4 = 8 2 х 5 = 10 2 х 6 = 12 2 х 7 = 14 2 х 8 = 16 2 х 9 = 18

3 х 2 = 6 4 х 2 = 8 5 х 2 = 10 6 х 2 = 12 7 х 2 = 14 8 х 2 = 16 9 х 2 = 18

4: 2 = 2 6: 2 = 3 8: 2 = 4 10: 2 = 5 12: 2 = 6 14: 2 = 7 16: 2 = 8 18: 2 = 9

6: 3 = 2 8: 4 = 2 10: 5 = 2 12: 6 = 2 14: 7 = 2 16: 8 = 2 18: 9 = 2

Таблица умножения каждого числа начинается с умножения этого числа на число, равное ему. Так, таблица умножения числа 4 начинается с умножения 4 х 4, потому что предыдущие случаи 4 х 2 и 4 х 3 уже усвоены, когда изучались таблицы умножения чисел 2 и 3.

Знание таблицы умножения и соответствующих случаев деления доводится до автоматизма.

12. методика изучения свойств умножения. Методика решения задач на деление по содержание и равные части.

Свойства умножения

1. Переместительный (коммуникативный) закон умножения: а · b = b · а.

От перемены мест множителей произведение не меняется.

5. а · 1 = 1 · а = а.