В сущности, вся сложность заключается в том, как правильно разместить промежуточные результаты умножения (частичные произведения. Стремясь облегчить вычисления, люди придумали множество способов умножения чисел. За многовековую историю математики их набралось несколько десятков.

Наследие индусов - способ решётки.

Индусы, с давних времён знавшие десятичную систему счисления, пред почитали устный счёт письменному. Они изобрели несколько способов быстрого умножения. Позже их заимствовали арабы, а от них эти способы перешли к европейцам. Те, однако, ими не ограничились и разработали новые, в частности тот, что изучается в школе, - умножение столбиком. Этот способ известен с начала XV века, в следующем столетии он прочно вошёл в употребление у математиков, а сегодня им пользуются повсеместно. Но является ли умножение столбиком лучшим способом осуществления этого арифметического действия? На самом деле существуют и другие, в наше время забытые способы умножения, ничуть не хуже, например способ решётки.

Этим способом пользовались ещё в древности, в средние века он широко распространился на Востоке, а в эпоху возрождения - в Европе. Способ решётки именовали также индийским, мусульманским или "Умножением в Клеточку". А в Италии его называли "Джелозия", или "решётчатое умножение" (Gelosia в переводе с итальянского - "жалюзи", "решётчатые ставни". Действительно, получавшиеся при умножении фигуры из чисел имели сходство со ставнями - жалюзи, которые закрывали от солнца окна венецианских домов.

Суть этого нехитрого способа умножения поясним на примере: мы вычислим произведение 296 x 73. Начнём с того, что нарисуем таблицу с квадратными клетками, в которой будет три столбца и две строки, - по количеству цифр в множителях. Клетки пополам по диагонали разделим. Над таблицей запишем число 296, а с правой стороны вертикально - число 73. Перемножим каждую цифру первого числа с каждой цифрой второго и запишем произведения в соответствующие клетки, располагая десятки над диагональю, а единицы под ней. Цифры искомого произведения сложением цифр в косых полосах получим. При этом будем двигаться по часовой стрелке, начиная с правой нижней клетки: 8, 2 1 7 и т. д. запишем результаты под таблицей, а также слева от неё. В том случае, если при сложении получится двузначная сумма, укажем только единицы, а десятки прибавим к сумме цифр из следующей полосы. Ответ: 21 608. Итак, 296 x 73 = 21 608.

Способ решётки ни в чём не уступает умножению столбиком. Он даже проще и надёжнее, при том, что количество выполняемых действий в обоих случаях одинаково. Во-первых, работать приходится только с однозначными и двузначными числами, а ими легко оперировать в уме. Во-вторых, не требуется запоминать промежуточные результаты и следить за тем, в каком порядке их записывать. Память разгружается, а внимание сохраняется, поэтому вероятность ошибки уменьшается. К тому же способ решётки позволяет быстрее получить результат. Освоив его, вы сможете убедиться в этом сами.

Почему способ решётки приводит к правильному ответу? В чём заключается его "Механизм"? Разберёмся в этом с помощью таблицы, построенной аналогично первой, только в этом случае множители представлены как суммы 200 90 6 и 70 3.

Как видим, в первой косой полосе стоят единицы, во второй - десятки, в третьей - сотни и т. д. при сложении они дают в ответе соответственно число единиц, десятков, сотен и т. д. дальнейшее очевидно:

10 10 1500. 100. 8 _ 21608.

Иначе говоря, в соответствии с законами арифметики произведение чисел 296 и 73 вычисляется так:

296 x 73 = (200 90 6) x (70 3) = 14 000 6300 420 600 270 18 = 10 000 (4000 6000) (300 400 600 200) (70 20 10) 8 = 21 608.

Палочки непера.

Умножение способом решётки лежит в основе простого и оригинального счётного прибора - палочек непера.

Его изобретатель Джон непер, шотландский барон и любитель математики, наряду с профессионалами занимался усовершенствованием средств и методов вычисления. В истории науки он известен, прежде всего, как один из создателей логарифмов.

Прибор состоит из десяти линеек, на которых размещена таблица умножения. В каждой клетке, разделённой диагональю, записано произведение двух однозначных чисел от 1 до 9: в верхней части указано число десятков, в нижней - число единиц. Одна линейка (левая) неподвижна, остальные можно переставлять с места на место, выкладывая нужную числовую комбинацию. При помощи палочек непера легко умножать многозначные числа, сводя эту операцию к сложению.

Например, чтобы вычислить произведение чисел 296 и 73, нужно умножить 296 на 3 и на 70 (сначала на 7, затем на 10) и сложить полученные числа. Приложим к неподвижной линейке три другие - с цифрами 2, 9 и 6 наверху (они должны образовать число 296. Теперь заглянем в третью строку (номера строк указаны на крайней линейке. Цифры в ней уже знакомый нам набор образуют.

Складывая их, как в способе решётки, получим 296 x 3 = 888. Аналогично, ра? 6

В школе изучают таблицу умножения, а затем учат детей умножать числа в столбик. Разумеется, это не единственный способ умножения. На самом деле, существовало несколько десятков способов умножения и деления многозначных чисел. Приведу здесь, возможно, даже более простой “метод решетки” (см. книгу И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин “За страницами учебника ”). Рассмотрим этот метод на примере.

Пусть нужно умножить 347 на 29 . Начертим таблицу, как на рисунке а), запишем над ней число 347 слева направо, а справа от нее – число 29 сверху вниз. В каждую клеточку запишем произведение цифр, стоящих над этой клеточкой и справа от нее. При этом цифру десятков произведения напишем над косой чертой, а цифру единиц – под ней. А теперь будем складывать цифры в каждой косой полосе, показанные на рисунке, выполняя эту операцию справа налево. Если сумма окажется меньше 10 , то ее пишут под нижней цифрой полосы. Если же она окажется больше 10 , то пишут только цифру единиц суммы, а цифру десятков прибавляют к следующей сумме. В результате получаем нужное произведение, которое равно 10063 .

Этот способ умножения раньше был распространен на Востоке и в Италии. Чтобы понять его смысл, посмотрим на рисунок б). Видим, что в первой полосе стоят единицы, во второй – десятки, в третьей – сотни и т.д. Иными словами, произведение 347\cdot29 вычисляется следующим образом:

Есть еще некоторые правила, помогающие быстрому счету. Так, чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5 , нужно к первой цифре прибавить 1 и умножить полученное число на эту цифру, а потом к полученному результату приписать 25 . Например, возведем в квадрат 35 . Первая цифра этого числа 3 , прибавим 1: 3+1=4 . Умножим 3 на 4 , получим 12 , дальше просто припишем 25 . Итак, ответ: 1225 .

Такое правило следует сразу же из того, что

Разумеется, так можно возводить в квадрат и трехзначные числа, оканчивающиеся на 5, и числа, которые имеют еще больше знаков. Однако в этих случаях придется вычислять произведение a\cdot(a+1) , где в числе a уже несколько десятичных знаков, а это тоже приходится делать, скажем, в столбик, то есть это уже сложнее!

А теперь на видео представлен метод умножения, бурно просматриваемый и обсуждаемый в Интернете, который называют китайским. Забавно и интересно. Кстати сказать, выложены уже некоторые обобщения этого способа, потому что проводить 9 прямых при умножении на 9 как-то долго и неинтересно, а потом еще точки пересечения считать… В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно! Думаю, вы сами сможете объяснить, почему метод работает. Внимание, вопрос: так почему же?

Что такое умножение?

Умножение - это арифметическое действие, в котором первое число повторяется в качестве слагаемого столько раз, сколько показывает второе число.

Число, которое повторяется как слагаемое, называется множимым (оно умножается), число, которое показывает сколько раз повторить слагаемое, называется множителем . Число, полученное в результате умножения, называется произведением .

Например, умножить натуральное число 2 на натуральное число 5 - значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно 2:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

В этом примере мы находим сумму обыкновенным сложением. Но когда число равных слагаемых велико, нахождение суммы посредством сложения всех слагаемых становится слишком утомительным делом.

Умножение обозначается знаком × (косой крест) или знаком · (точка) и читается: умножить на. Знак умножения ставится между множимым и множителем. Множимое записывается слева от знака умножения, а множитель - справа:

Эта запись читается так: произведение 2 и 5 равняется 10 или 2 умножить на 5 равно 10 .

Таким образом, мы видим, что умножение представляет собой просто краткую форму записи сложения одинаковых слагаемых.

Проверка умножения

Для проверки умножения можно произведение разделить на множитель. Если в результате деления получится число, равное множимому, то умножение сделано верно:

Теперь выполним проверку умножения:

Умножение также можно проверить разделив произведение на множимое. Если в результате деления получится число, равное множителю, то умножение сделано верно:

Выполним проверку:

Умножение единицы и на единицу

a верны равенства:

1 · a = a
a · 1 = a

• Если множимое является числом 1, то произведение равно множителю. Например, 1 · 3 = 3, потому что сумма 1 + 1 + 1 равна трём.
• Если множитель единица, то произведение будет равно множимому. Например, 5 · 1 = 5. Если число 5 взять 1 раз, получим 5.

Число 0 в умножении

Для любого натурального числа a верны равенства:

a · 0 = 0
0 · a = 0

Эти равенства означают следующее:

• Если множитель является нулём, то произведение равно нулю. Например, 5 · 0 = 0 (если 5 не брать ни одного раза, то естественно, ничего не получим).
• Если множимое является числом нуль, то и произведение равно нулю. Например, 0 · 3 = 0, потому что сумма 0 + 0 + 0 равна нулю.

Сочетательное свойство умножения указывает нам на равенство двух произведений a·(b·c) и (a·b)·c , где a , b и c – какие угодно натуральные числа. Таким образом, результат умножения трех чисел a , b и c не зависит от способа расстановки скобок. Из-за этого в произведениях a·(b·c) и (a·b)·c скобки часто не ставят, а произведения записывают в виде a·b·c . Выражение a·b·c называют произведением трех чисел a , b и c , числа a , b и c все также называют множителями.

Аналогично, сочетательное свойство умножения позволяет утверждать, что произведения (a·b)·(c·d) , (a·(b·c))·d , ((a·b)·c)·d , a·(b·(c·d)) и a·((b·c)·d) равны. То есть, результат умножения четырех чисел тоже не зависит от распределения скобок. Произведение четырех чисел a , b , c и d записывают как a·b·c·d .

Вообще, результат умножения двух, трех, четырех и так далее чисел не зависит от способа расстановки скобок и в записи таких произведений скобки обычно опускаются.

Теперь разберемся, как вычисляется произведение нескольких чисел, в записи которого не расставлены скобки. В этом случае умножение трех и более чисел сводится к последовательной замене двух соседних множителей их произведением , пока не получим требуемый результат. Иными словами, в записи произведения мы расставляем скобки самостоятельно любым допустимым способом, после чего последовательно выполняем умножение двух чисел.

Рассмотрим пример вычисления произведения пяти натуральных чисел 2 , 1 , 3 , 1 и 8 . Запишем произведение: 2·1·3·1·8 . Покажем два способа решения (всего способов решения больше, чем два).

Первый способ. Будем последовательно заменять два множителя слева их произведением. Так как результатом умножения чисел 2 и 1 является число 2 , то 2·1·3·1·8=2·3·1·8 . Так как 2·3=6 , то 2·3·1·8=6·1·8 . Дальше, так как 6·1=6 , то 6·1·8=6·8 . Наконец, 6·8=48 . Итак, произведение пяти чисел 2 , 1 , 3 , 1 и 8 равно 48 . Это решение соответствует следующему способу расстановки скобок: (((2·1)·3)·1)·8 .

Второй способ. Расставим скобки в произведении так: ((2·1)·3)·(1·8) . Так как 2·1=2 и 1·8=8 , то ((2·1)·3)·(1·8)=(2·3)·8 . Дважды три – это шесть, тогда (2·3)·8=6·8 . Наконец, 6·8=48 . Итак, 2·1·3·1·8=48 .

Заметим, что на результат умножения трех и более чисел не влияет также порядок следования множителей. Другими словами, множители в произведении можно записывать в любом порядке, а также менять их местами. Это утверждение следует из свойств умножения натуральных чисел.

Рассмотрим пример.

Умножим четыре числа 3 , 9 , 2 и 1 . Запишем их произведение: 3·9·2·1 . Если мы заменим множители 3 и 9 их произведением или множители 9 и 2 их произведением, то на следующем этапе нам придется проводить умножение на двузначные числа 27 или 18 (чего мы пока делать не умеем). Можно обойтись без этого, поменяв местами слагаемые и определенным образом расставив скобки. Имеем, 3·9·2·1=3·2·9·1=(3·2)·(9·1)=6·9=54 .

Таким образом, меняя местами множители, мы можем вычислять произведения наиболее удобным способом.

Для полноты картины рассмотрим задачу, решение которой сводится к умножению нескольких чисел.

Пример.

В каждой коробке находится 3 предмета. В каждый ящик уложено 2 коробки. Сколько предметов содержится в 4 ящиках?

Решение.

Так как в одном ящике находятся 2 коробки, в каждой из которых 3 предмета, то в одном ящике находится 3·2=6 предметов. Тогда в четырех ящиках находится 6·4=24 предмета.

Можно рассуждать иначе. Так как в одном ящике находятся 2 коробки, тогда в четырех ящиках находятся 2·4=8 коробок. Так как в каждой коробке лежат 3 предмета, то в 8 коробках лежат 3·8=24 предмета.

Озвученные решения кратко можно записать как (3·2)·4=6·4=24 или 3·(2·4)=3·8=24 .

Таким образом, искомое количество предметов равно произведению чисел 3 , 2 и 4 , то есть, 3·2·4=24 .

Ответ:

Подытожим информацию этого пункта.

Умножение трех и более натуральных чисел представляет собой последовательное умножение двух чисел. Кроме того, в силу переместительного и сочетательного свойств умножения, множители можно менять местами и заменять любые два из умножаемых чисел их произведением.

Умножение суммы на натуральное число и натурального числа на сумму.

Сложение и умножение чисел связаны распределительным свойством умножения . Это свойство позволяет изучать сложение и умножение совместно, что открывает гораздо больше возможностей, чем раздельное изучение этих действий.

Распределительное свойство умножения относительно сложения мы сформулировали для двух слагаемых: (a+b)·c=a·c+b·c , a , b , c – произвольные натуральные числа. Отталкиваясь от этого равенства, можно доказать справедливость равенств (a+b+c)·d=a·d+b·d+c·d , (a+b+c+d)·h=a·h+b·h+c·h+d·h и т.д., a , b , c , d , h – некоторые натуральные числа.

Таким образом, произведение суммы нескольких чисел и данного числа равно сумме произведений каждого из слагаемых и данного числа . Этим правилом можно пользоваться при умножении суммы на данное число.

Для примера, умножим сумму пяти чисел 7 , 2 , 3 , 8 , 8 на число 3 . Воспользуемся полученным правилом: (7+2+3+8+8)·3=7·3+2·3+3·3+8·3+8·3 . Так как 7·3=21 , 2·3=6 , 3·3=9 , 8·3=24 , то 7·3+2·3+3·3+8·3+8·3=21+6+9+24+24 . Осталось вычислить сумму пяти чисел 21+6+9+24+24=84 .

Конечно, можно было сначала вычислить сумму пяти данных чисел, после чего провести умножение. Но в этом случае нам бы пришлось умножать двузначное число 7+2+3+8+8=28 на число 3 , чего мы делать пока не умеем (об умножении таких чисел мы поговорим позже в разделе ).

Переместительное свойство умножения позволяет нам переформулировать правило умножения суммы чисел на данное число следующим образом: произведение данного числа и суммы нескольких чисел равно сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых . Это есть правило умножения данного числа на сумму.

Приведем пример использования правила умножения числа на сумму: 2·(6+1+3)=2·6+2·1+2·3=12+2+6=20 .

Давайте рассмотрим задачу, решение которой сводится к умножению суммы чисел на данное число.

Пример.

В каждой коробке находятся 3 красных, 7 зеленых и 2 синих предмета. Сколько всего предметов находится в четырех коробках?

Решение.

В одной коробке находятся 3+7+2 предметов. Тогда в четырех коробках находятся (3+7+2)·4 предметов. Вычислим произведение суммы на число, используя полученное правило: (3+7+2)·4=3·4+7·4+2·4=12+28+8=48 .

Ответ:

48 предметов.

Умножение натурального числа на 10 , 100 , 1 000 и так далее.

Для начала получим правило умножения произвольного натурального числа на 10 .

Натуральные числа 20 , 30 , …, 90 по своей сути соответствуют 2 десяткам, 3 десяткам, …, 9 десяткам, то есть, 20=10+10 , 30=10+10+10 , … Так как умножению двух натуральных чисел мы придали смысл суммы одинаковых слагаемых, то имеем
2·10=20 , 3·10=30 , ..., 9·10=90 .

Рассуждая аналогично, приходим к следующим равенствам:
2·100=200 , 3·100=300 , ..., 9·100=900 ;
2·1 000=2 000 , 3·1 000=3 000 , ..., 9·1 000=9 000 ;
2·10 000=20 000 , 3·10 000=30 000 , ..., 9·10 000=90 000 ; ...

Так как десяток десятков есть сотня, то 10·10=100 ;
так как десяток сотен есть тысяча, то 100·10=1 000 ;
так как десяток тысяч есть десять тысяч, то 1 000·10=10 000 .
Продолжая эти рассуждения, имеем 10 000·10=100 000 , 100 000·10=1 000 000 , …

Давайте теперь рассмотрим пример, который позволит нам сформулировать правило умножения произвольного натурального числа на десять.

Пример.

Умножим натуральное число 7 032 на 10 .

Решение.

Для этого число 7 032 представим в виде суммы разрядных слагаемых , после чего воспользуемся правилом умножения суммы на число, которое мы получили в предыдущем пункте этой статьи: 7 032·10=(7 000+30+2)·10= 7 000·10+30·10+2·10 .

Так как 7 000=7·1 000 и 30=3·10 , то полученная сумма 7 000·10+30·10+2·10 равна сумме (7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10 , а сочетательное свойство умножения позволяет записать следующее равенство:
(7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10= 7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10 .

В силу результатов, записанных перед этим примером, имеем 7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10= 7·10 000+3·100+2·10= 70 000+300+20 .

Полученная сумма 70 000+300+20 представляет собой разложение по разрядам числа 70 320 .

Ответ:

7 032·10=70 320 .

Выполняя аналогичные действия, мы можем умножить любое натуральное число на десять. При этом не сложно заметить, что в результате мы будем получать числа, запись которых будет отличаться от записи умножаемого числа лишь цифрой 0 , находящейся справа.

Все приведенные рассуждения позволяют нам озвучить правило умножения произвольного натурального числа на десять : если в записи данного натурального числа справа дописать цифру 0 , то полученная запись будет соответствовать числу, которое является результатом умножения данного натурального числа на 10 .

Например, 4·10=40 , 43·10=430 , 501·10=5 010 , 79 020·10=790 200 и т.п.

А теперь на основании правила умножения натурального числа на 10 , мы можем получить правила умножения произвольного натурального числа на 100 , на 1 000 и т.д.

Так как 100=10·10 , то умножение любого натурального числа на 100 сводится к умножению этого числа на 10 10 . Например,
17·100=17·10·10=170·10=1 700 ;
504·100=504·10·10=5 040·10=50 400 ;
100 497·100=100 497·10·10= 1 004 970·10=10 049 700 .

То есть, если справа в записи умножаемого числа приписать справа две цифры 0 , то получим результат умножения этого числа на 100 . Это и есть правило умножения натурального числа на 100 .

Так как 1 000=100·10 , то умножение любого натурального числа на тысячу сводится к умножению этого числа на 100 и последующему умножению полученного результата на 10 . Из этих рассуждений следует правило умножения произвольного натурального числа на 1 000 : если в записи числа справа дописать три цифры 0 , то получим результат умножения этого числа на тысячу.

Аналогично, при умножении натурального числа на 10 000 , 100 000 и так далее нужно дописать справа соответственно четыре цифры 0 , пять цифр 0 и так далее.

Например,
58·1 000=58 000 ;
6 032·1 000 000=6 032 000 000 ;
777·10 000=7 770 000 .

Умножение многозначного и однозначного натуральных чисел.

Теперь мы обладаем всеми навыками, достаточными для выполнения умножения многозначного и однозначного натуральных чисел.

Что же для этого нужно делать?

Давайте сразу разбираться на примере.

Пример.

Умножим трехзначное число 763 на однозначное число 5 , то есть, вычислим произведение 763·5 .

Решение.

Сначала нужно представить многозначное число в виде суммы разрядных слагаемых. В нашем примере 763=700+60+3 , тогда имеем 763·5=(700+60+3)·5 .

Теперь применяем : (700+60+3)·5=700·5+60·5+3·5 .

Так как 700=7·100 и 60=6·10 (об этом мы говорили в предыдущем пункте), то сумму 700·5+60·5+3·5 можно записать как (7·100)·5+(6·10)·5+3·5 .

В силу переместительного и сочетательного свойств умножения справедливо следующее равенство: (7·100)·5+(6·10)·5+3·5= (5·7)·100+(5·6)·10+3·5 .

Так как 5·7=35 , 5·6=30 и 3·5=15 , то (5·7)·100+(5·6)·10+3·5= 35·100+30·10+15 .

Осталось выполнить умножение на 100 и на 10 , после чего выполнить сложение трех слагаемых:
35·100+30·10+15= 3 500+300+15=3 815

Ответ:

Произведение 763 и 5 равно 3 815 .

Понятно, что умножение однозначного числа на многозначное число проводится подобным образом.

Для закрепления материала приведем решение еще одного примера, но в этот раз обойдемся без пояснений.

Пример.

3 и 104 558 .

Решение.

3·104 558= 3·(100 000+4 000+500+50+8)=
=3·100 000+3·4 000+ 3·500+3·50+3·8=
=3·100 000+3·(4·1 000)+ 3·(5·100)+3·(5·10)+3·8=
=3·100 000+(3·4)·1 000+ (3·5)·100+(3·5)·10+3·8=
=3·100 000+12·1 000+ 15·100+15·10+3·8=
=300 000+12 000+ 1 500+150+24=313 674

Ответ:

Результатом умножения чисел 3 и 104 558 является число 313 674 .

Умножение двух многозначных натуральных чисел.

Вот мы и подошли к кульминации – к умножению двух многозначных натуральных чисел. Первым делом нужно один из множителей разложить по разрядам (обычно раскладывается то число, запись которого состоит из большего числа знаков), после этого воспользоваться правилом умножения числа на сумму (или суммы на число). Дальнейшие вычисления не вызовут трудностей, если Вы хорошо усвоили информацию предыдущих разделов этой статьи.

Разберем все этапы умножения двух многозначных натуральных чисел на примере.

Пример.

Вычислите произведение чисел 41 и 3 806 .

Решение.

Разложение натурального числа 3 806 по разрядам имеет вид 3 000+800+6 , поэтому, 41·3 806=41·(3 000+800+6) .

Применим правило умножения числа на сумму: 41·(3 000+800+6)= 41·3 000+41·800+41·6 .

Так как 3 000=3·1 000 и 800=8·100 , то справедливо равенство 41·3 000+41·800+41·6= 41·(3·1 000)+41·(8·100)+41·6 .

Сочетательное свойство умножения позволяет нам переписать последнюю сумму в следующем виде (41·3)·1 000+(41·8)·100+41·6 .