Если очень коротко, то отрицательные числа - это числа, которые меньше нуля. Перед отрицательными числами принято ставить знак "минус". При этом число читают как: "минус [число]". Давайте попытаемся разобраться, что бы могло значить "меньше нуля"?
Мы привыкли, что в жизни окружающие нас объекты имеют какое-то количество, как правило большее, чем ноль. То есть, перед Вами сейчас стоит один (или больше) монитор, с которого Вы читаете эту статью. Рядом с Вами может лежать несколько карандашей, например - три; и можно понять, что же обозначает число "три". А если карандашей рядом с Вами нет, то можно сказать: "рядом с Вами ноль карандашей". И станет понятно, что же обозначает число "ноль" - отсутствие чего-либо. Но как понять "числа меньше нуля"?
Представьте, что Вы должны кому-то отдать три яблока, а у Вас нет ни одного. Вот этот долг в математике и принято обозначать отрицательным числом . Считается, что у Вас "минус три яблока". Когда Вы идете в сад и срываете одно яблоко, кажется, что у Вас теперь есть одно яблоко, но Вы должны его отдать. У Вас по прежнему нет яблок, но долг Ваш теперь равен двум яблокам. Считается, что теперь у Вас "минус два яблока". То есть, изначально у Вас было даже меньше чем "ноль" яблок - так как первые полученные Вами яблоки, Вы должны отдать. Когда Вы сорвете и отдадите третье яблоко, то будет считаться, что Вы теперь не должны никому яблоки отдавать. Но в руках у Вас по прежнему нет яблок. Считается, что только сейчас у Вас стало "ноль" яблок. Теперь, все сорванные Вами яблоки - Ваши и Вы можете нарвать их столько, сколько захотите - два, три, пять, десять и т.д.
На числовой оси отрицательные числа обозначаются слева от начала отсчета (в противоположном увеличению чисел направлении):
То есть число "ноль" разделяет положительные и отрицательные числа. Само число "ноль" не относится ни к положительным, ни к отрицательным. Вот такое вот оно особенное. Можно только сказать, что оно целое число.
Обратите внимание, что чем ближе к нулю, тем значение отрицательного числа (часть, что стоит после знака "минус") меньше.
В окружающем нас мире отрицательные числа проще всего найти на термометре: его шкала имеет и положительную область, и отрицательную. Это из-за того, что за "ноль" приянта температура замерзания воды, а зимой на улице может быть еще холоднее, то есть температура ниже, и ее тоже как-то нужно обозначать.
Отрицательные числа имеют свойства, отличные от свойств чисел положительных. Так, знаки сравнения, кроме равенства, меняются:
-5 = -5
-2 < -1
-15 > -100.
Сравните с
2 > 1
15 < 100.
В предыдущем примере мы по сути рассмотрели операцию сложения отрицательного числа с положительным (числа, которые больше нуля) - так, каждый раз "срывая яблоко", мы по сути прибавяли к нашему отрицательному числу - долгу - число один. На числовой прямой это полностью соответствует операции сложения:
Вообще, для каждого положительного числа существует, причем только одно, такое отрицательное число, что их сумма дает ноль. Причем, отличаться они будут только знаком - отрицательное число будет иметь знак "минус". Если обозначить любое положительное число как n , то предыдущую мысль можно записать математически:
-n + n = 0
Подобные числа называются противоположными .
При вычитании большего числа из меньшего, в ответе получают отрицательное число. Например: вычислим на числовой оси 3-5 . Засекаем на числовой оси число "три" и перемещаемся влево на пять отрезков:
Оказываемся в точке "минус два". Таким образом, получаем
3 - 5 = -2 .
Вообще, сложение положительного и отрицательного числа можно представить как вычитание из положительного числа противоположного отрицательному числу числа (о как завернул! Чтобы понять такое наверное придется прочитать несколько раз). То есть, сумму "пять" и "минус три" можно заменить на разность "пяти" и трех", так как числа "минус три" и "три" являются противоположными :
5 + (-3) = 5 - 3.
Обратная операция тоже разрешена. Обратите внимание, в левой части равенства отрицательно число взято в скобки - это для того, чтобы отделить знак самого числа от знака математической операции.
Гораздо интереснее другой случай - а если мы захотим сложить или вычесть два отрицательных числа?! Не пугайтесь, мудрая математика знает ответ и на этот вопрос: в таком случае каждое слагаемое записывается в скобках, между которыми записываются знаки сложения или вычитания; далее раскрывают скобки и получают обычное математическое выражение.
Мы разобрались, как в памяти компьютера представлены , то есть числа без знака. Но ведь числа бывают и отрицательными, то есть числа со знаком минус. Чтобы применять те же самые байты и слова для представления отрицательных чисел, существует специальная операция, которая называется дополнение до двух . Но прежде чем рассмотреть эту операцию, покажем, как отрицательное число отличить от положительного.
Для того чтобы указать знак числа, достаточно одного разряда (бита). Обычно знаковый бит занимает старший разряд числа. Если старший бит числа равен 0, то число считается положительным. Если старший разряд числа равен 1, то число считается отрицательным. Пример байта со знаком приведён на рис. 2.3.
| Разряды | Число | |||||||
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | -110 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | +110 |
Рис. 2.3. Отрицательное число в памяти компьютера.
Как вы успели заметить, для представления числа со знаком требуется использовать старший бит для определения знака числа. Это означает, что этот старший бит уже нельзя использовать для записи самого числа, то есть максимальное значение, которое мы сможем записать в байт, будет уже не 255, а всего 127. Диапазоны возможных значений чисел со знаком приведены в таблице 2.5.
Таблица 2.5. Диапазоны возможных значений чисел со знаком.
А теперь разберёмся с загадочной операцией дополнение до двух . Для изменения знака числа выполняется инверсия , то есть для числа в двоичном представлении все нули заменяются единицами, а все единицы – нулями. Затем к полученному результату прибавляют 1. Возьмём, например, десятичное число 110 (в двоичной системе это число 01101110). Тогда
Как видим, после выполнения этих преобразований в старшем разряде у нас 1, то есть число отрицательное. А теперь проверим, что это число действительно отрицательное. Как это сделать? Вспомним, что (–110 + 110 = 0). То есть сложение полученных нами двоичных чисел тоже должно дать в результате ноль. Итак
01101110 + 10010010 = 100000000 То есть у нас получилось девятиразрядное число 100000000 (десятичное 256). Однако мы работаем с байтом, а в байте, как известно, только 8 бит (от 0 до 7). То есть единица у нас перешла в 8-й бит, которого в байте попросту нет. То есть для байта это эквивалентно числу 0.
В некоторых источниках дополнение до двух носит название двоичный дополнительный код .
Подведём итоги
Преобразования положительного десятичного числа со знаком в двоичное число выполняется также как и для чисел без знака.
Преобразования отрицательного десятичного числа со знаком в отрицательное двоичное число выполняется при помощи операции дополнение до двух (с использованием двоичного дополнительного кода). То есть сначала число преобразовывается в двоичное, а потом используется двоичный дополнительный код.
Преобразования положительного двоичного числа со знаком (в старшем бите 0) в десятичное число выполняется также как и для чисел без знака.
Преобразование отрицательного двоичного числа (в старшем бите 1) в десятичное число выполняется путём нахождения его дополнительного кода. То есть для двоичного числа 10010010 операция будет следующей:
В итоге получаем число 110, но поскольку в исходном числе старший бит был равен 1, то это отрицательное число, то есть –110.
Закладки
ДИАЛЕКТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ ПРЕДИСЛОВИЕ ВВЕДЕНИЕ (ОБЩЕЕ РАЗДЕЛЕНИЕ НАУК О ЧИСЛЕ) ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЛА - - - I. ОТГРАНИЧЕНИЯ (УСТАНОВКА ЧИСЛОВОГО ПЕРВО–ПРИНЦИПА) II. ФУНДАМЕНТАЛbНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛА (ЧИСЛО КАК ЧИСТОЕ ПОНЯТИЕ) III. ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ ЧИСЛА (ЧИСЛО КАК СУЖДЕНИЕ) IV. ФУНКЦИЯ И СОСЕДНИЕ КАТЕГОРИИ (ЧИСЛО КАК СУЖДЕНИЕ, УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ, ДОКАЗАТЕЛbСТВО И ВЫРАЖЕНИЕ) V. ПЕРЕХОД К СПЕЦИАЛbНОЙ ТЕОРИИ ЧИСЛА О МЕТОДЕ БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ В ЛОГИКЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 1. ВСТУПЛЕНИЕ 2. ВЕЩb - АРГУМЕНТ И ОТРАЖЕНИЕ-ФУНКЦИЯ 3. ИЗМЕНЕНИЯ ЭТИХ АРГУМЕНТА И ФУНКЦИИ И ОТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ЭТИМИ ИЗМЕНЕНИЯМИ 4. ЗНАЧЕНИЕ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ ДЛЯ ЛОГИКИ 5. ЛЕНИН О ПРЕДЕЛЕ, ОБ ОБЩЕМ И О ЗАКОНЕ 6. ПРИМЕРЫ ИЗ НАУК 7. ДАЛbНЕЙШИЕ КАТЕГОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЛОГИКЕ 8. ПРОИЗВОДНАЯ В ЛОГИКЕ 9. ПРЕИМУЩЕСТВА ИНФИНИТЕЗИМАЛbНОГО УЧЕНИЯ О ПОНЯТИИ В СРАВНЕНИИ С ТРАДИЦИОННЫМ ФОРМАЛbНО–ЛОГИЧЕСКИМ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ В ЛОГИКЕ 11. ИНТЕГРАЛ В ЛОГИКЕ 12. ПРОИЗВОДНАЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛ И ИНТЕГРАЛ НА ФОНЕ ОБЩЕГО УЧЕНИЯ О ЧИСЛЕ 13. ТРИ АСПЕКТА ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНО–МАЛЫХ В ПРИМЕНЕНИИ К ЛОГИКЕ 14. ЖИЗНЕННО–ЛОГИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 15. ИНФИНИТЕЗИМАЛbНО–ЛОГИЧЕСКИЙ СЛОВАРb 16. ЗАКЛЮЧИТЕЛbНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РАЗМЫШЛЕНИЯ К ВОПРОСУ О ЛОГИЧЕСКИХ ОСНОВАХ ИСЧИСЛЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ I. ЛОГИКА ИСЧИСЛЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО–МАЛЫХ КАК ОТРАЖЕНИЕ СОЦИАЛbНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛbНОСТИ II. ИСЧИСЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО–МАЛЫХ И ЕГО ОСНОВНЫЕ КАТЕГОРИИ III. ДИФФЕРЕНЦИАЛbНОЕ И ИНТЕГРАЛbНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ИХ ЛОГИЧЕСКИЙ СОСТАВ МАТЕМАТИКА И ДИАЛЕКТИКА. МЕТАМАТЕМАТИКА АЛЕКСЕЯ ЛОСЕВА ПРИМЕЧАНИЯ
3. В этом пункте, однако, легко сбиться с диалектического пути и спутать весь логический анализ типов числа. Именно, то утверждение числа в идее, которое полагается отрицанием, очевидно, опять–таки не есть абсолютное его утверждение в идее. Если бы это было так, то данная диалектическая стадия числа ничем бы не отличалась от того <…> чистого понятия числа, которое мы имели раньше, и отрицательного и даже положительного числа. Это было число само по себе, число просто, и никакой новости оно в себе не содержало бы, несмотря на наличие уже двух новых больших категорий - утверждения и отрицания. Очевидно, что как само отрицание числа в отрицательном числе мыслилось не абсолютно, но относительно, так и порождаемое этим отрицанием новое идеальное утверждение числа (вернее, утверждение, тождественное с этим отрицанием) обладает опять–таки не абсолютным, но относительным характером, т. е. в нем как–то сохраняется и указание на стихию действительности числа, на факт и субстанцию числа. Чистая идея числа не положительна и не отрицательна; и, <…> понятием чистого числа, ровно ничего нельзя определить и понять в отрицательном числе. Точно так же надо сказать, что и чистый факт числа, свидетельствуя о его положительности, т. е. положенности, ровно ничего не говорит об идее числа, не переходит, само в себе взятое, в идею числа и, следовательно, тоже ничем не помогает при анализе понятия отрицательного числа. - Итак, отрицание, данное в отрицательном числе, не только есть некое утверждение этого числа в его идее, но это утверждение есть еще и относительное, а не абсолютное утверждение, т. е. такое идеальное утверждение, которое сохраняет связь с утверждением в действительности, на факте.
4. Остается, следовательно, проанализировать характер самой связи этой идеальной утвержденности, или смысловой положенности, с фактической утвержденно–стью, или положенностью, связи, осуществленной при помощи отрицания факта. Что это за связь? Совершенно ясно, что отрицательное число не есть ни число просто, ни отсутствие числа. В первом случае оно не отличалось бы от абсолютного числа, во втором - оно не отличалось бы от нуля. Это есть такое полагание числа, которое указывает на его отрицание, и такое отрицание, которое указывает на его полагание. Отрицательное число есть идея числа (и в этом смысле оно отрицание числа как факта), но это есть идея не просто числа, но идея небытия числа (и этим самым сюда сводится момент, указывающий на какое–то отношение к бытию). Отрицательное число есть идея небытия числа. Мысль здесь развивается как бы в таком направлении: это число должно было бы быть, но его нет; или - число есть, но оно не принимается, не воспринимается; число есть, но мысль отстраняет его, отбрасывает его от себя или отталкивается от него. Отрицательное число есть отрицание положительного числа, отодвигание его в сторону (не уничтожение или разрушение), отбрасывание в сторону и помещение на его место только одной простой идеи его. В этом силовом, динамическом моменте и заключается весь секрет отрицательного числа. В отрицательном числе мы не уничтожаем число (повторяю, это значило бы, что всякое отрицательное число равно нулю), а только отстраняем его с поля зрения, сдвигаем с плана фиксируемого.
Когда мы производили утверждение числа, мы ведь тоже затрачивали некое мысленное усилие, и осуществлялся некий смысловой акт, некая смысловая теория числа. Число как идея и число как факт есть разное; чтобы получить число как факт, надо как бы насильно эту идеальную природу числа притянуть к стадии материи, как бы положить отпечаток числа на ней, затратить своеобразную «мускульную» силу, чтобы придавить эту смысловую печать к материи. Такую же «силу» надо затратить и для получения отрицательного числа. Только в первом случае мы, утверждая число как факт, припечатывали бытийную стадию материи и отталкивали всякое инобытие, вернее, сами отталкивались от него, оттесняли инобытийную стадию материи, чтобы осуществить число как бытие, или, что то же, чтобы осуществить материю как бытие. Во втором же случае, утверждая число как отрицание числа, отрицая число, получая отрицательное число, мы, наоборот, снимаем смысловую печать с материи, и она уходит, расплывается из–под нашей печати, теряя очертания этой печати, этого числа, оттесняем от этого числа его бытие, отталкиваем это бытие, как бы насильно расталкиваем его руками в разные стороны, оставляя на его месте полную пустоту и отсутствие бытия. Отрицательное число, таким образом, есть, как идея небытия числа, энергийное отстранение положительного числа; это энергия небытия числа, становление числового инобытия, становление инобытия числа.
5. Следует помнить, что все высказанные нами только что детали понятия отрицательного числа есть не что иное, как самые обыкновенные детали всякого диалектического момента, именуемого как антитезис. Не только в применении к отрицательному числу как антитезис [у] положительного числа, но решительно везде в диалектике, где мы только встречаем антитезис, наличны эти моменты относительного отрицания, относительного утверждения, относительного бытия и относительного небытия и, наконец, активного становления бытия инобытием и небытия - бытием. Это и есть та энергий–ная взаимосоотнесенность бытия с небытием, идеи с фактом, которая является основой диалектического метода и, в частности, диалектической триады. Всякое инобытие есть 1) относительное отрицание бытия, 2) относительное полагание бытия в идее и 3) активное становление инобытия, отталкивающее от себя и как бы расталкивающее в стороны всю бытийную стадию действительности.
6. Поэтому будет вполне точно и достаточно, если бы определили отрицательное число как просто антитезис положительного числа.
Отрицательное число есть число как инобытие в сфере чисто числовой, активно становящееся отрицание числа- в сфере чистого же числа.
Можно было бы и не тратить тех немногих слов, которые мы употребили для характеристики отрицательного числа как антитезиса. Однако обычное сухое, формальное и безжизненное понимание и трактование диалектического антитезиса могло бы затушевать подлинный смысл отрицательного числа. Поэтому, определяя последнее как антитезис положительного числа, необходимо твердо <…> все существенные и живые смысловые токи, пронизывающие всякое инобытие и всякий антитезис.
§ 93. с) Нуль.
1. Что является синтезом положительного и отрицательного числа? Ведь этот синтез так же элементарно необходим и так же явственно <...>, как и наличие положительного и отрицательного числа. Не может не быть такого единства, и мы должны пересмотреть всю сферу математики с целью найти такой тип числа, который бы адекватно соответствовал этому синтезу. Конечно, нужно и здесь понимать этот синтез не сухо и скучно, как неизбежное зло, насильно навязанное извне. Надо его понять как подлинно жизненную и мыслительную потребность, как логику внутренней основы самого бытия. Тогда и соответствующая числовая структура забьется как живое существо диалектической мысли, и выявятся те ее тайны, которые не известны ни философу, подходящему к ней антидиалектически, ни математику, подходящему к ней технически–вычислительно.
2. а) Попробуем ясно представить себе этот синтез как таковой - сначала без применения к числу. Тут тоже совершенно простая и элементарная диалектическая категория, которую, однако, приходится растолковывать ввиду обычной неясности и формализма, вносимых сюда людьми, которым чужда диалектика как подлинный и внутренно живой метод философии. Что такое синтез вообще? Синтезом в диалектике вообще называется категория, в которой совпадают и сливаются до полной неузнаваемости тезис и антитезис. Тезис и антитезис настолько проникают друг друга, настолько объединяются, что получается полное и абсолютное их тождество, тождество, в котором уже нельзя различить тезиса и антитезиса, хотя они продолжают в этом синтезе содержаться. Для всякой пары тезиса и антитезиса надо поискать такое слово, которое бы, обозначая искомый синтез, совместило бы в своем значении и смысл тезиса, и смысл антитезиса. Если иметь в виду идею и факт (или факт и идею) как тезис и антитезис, то ближайшим и простейшим синтезом этих двух категорий, синтезом не вообще, но именно диалектическим синтезом, будет категория границы. Не стоит, конечно, об этом распространяться здесь подробно; для полного и точного уяснения диалектического смысла этой категории необходимо обратиться к более общим трудам по диалектике. Здесь мы напомним только самое существенное, без чего эта категория потеряла бы всякое значение.
b) Почему граница есть синтез идеи и ее инобытия, или идеи и факта, или, выражаясь в самой общей форме, бытия и небытия. Бытие, осуществляясь, отличается, отталкивается от небытия; и как только это отличение заканчивается, бытие получает определенность, т. е. сформулированность, при помощи предела, границы. Определить для диалектики всегда значит ограничить, ибо без точного проведения границы со всем бытием, не относящимся к определяемому бытию, т. е. с инобытием, с небытием, не может состояться и фиксация того, что входит в определяемое бытие, т. е. не может состояться само определение. Итак, граница, определенность есть первый и ближайший законченный результат синтезирования бытия и небытия. Но если это так, то совершенно бесполезно ставить вопрос о том, к чему относится граница-к бытию или к небытию. Часто затрудняются вопросом о том, к чему относится граница, т. е. окружность круга, - к самому ли кругу или к окружающему его фону. Тут может быть только диалектическое решение вопроса. 1) Граница бытия есть только потому граница бытия, что она есть момент самого бытия. Иначе бытие окажется лишенным границы и, следовательно, потеряет определенность. 2) Граница бытия относится к небытию, потому что создающее эту границу есть именно небытие, и без наличия небытия не было бы ничего, от чего бытие отличалось бы, т. е. не было бы самой границы. 3) Граница бытия не относится к бытию, потому что бытие есть само еще только то, что нуждается в определении и ограничении, и внесение границы бытия в состав самого бытия потребовало бы наличия еще новой границы для определения бытия, которая уже не входила бы в состав самого бытия. 4) Граница бытия не относится к инобытию, или небытию, и не составляет его части, потому что, составляя часть инобытия, она и оставалась бы в недрах инобытия, и не выходила бы для встречи с бытием и для его ограничения. Следовательно, граница бытия есть и бытие, и небытие и не есть ни бытие, ни небытие, и все это - при совершенно однозначном употреблении всех этих терминов. Граница потому и есть синтез бытия и небытия, что она одновременно есть и то, и это и ни то, ни это. Такова природа и всякого диалектического синтеза - в отношении соответствующих тезиса и антитезиса.
Мы знаем, что если сложить два или несколько натуральных чисел, то в результате получим натуральное число. Если перемножать натуральные числа между собой, то в результате всегда получаются натуральные числа. А какие числа будут в результате, если из одного натурального числа вычесть другое натуральное число? Если из большего натурального числа вычесть меньшее, то результат тоже будет натуральным числом. А какое число будет, если из меньшего числа вычесть большее? Например, если из 5 вычесть 7. Результат такого действия уже не будет натуральным числом, а будет числом меньше нуля, которое мы напишем как натуральное, но со знаком «минус», так называемым, отрицательным натуральным числом. На этом уроке мы познакомимся с отрицательными числами. Поэтому мы расширяем множество натуральных чисел, добавляя к нему «0» и целые отрицательные числа. Новое расширенное множество будет состоять из чисел:
…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…
Эти числа называются целыми. Следовательно, результат нашего примера 5 -7 = -2 будет целым числом.
Определение. Целые числа – это натуральные, отрицательные натуральные и число «0».
Изображение этого множества мы видим на градуснике для измерения температуры на улице.
Температура может быть с «минусом», т.е. отрицательной, может быть с «плюсом» т.е. положительной. Температура 0 градусов не положительная не отрицательная, число 0 – граница, которая отделяет положительные числа от отрицательных.
Изобразим целые числа на числовой оси.
Рисунок оси
Мы видим, что на числовой оси существует бесконечное множество чисел. Положительные и отрицательные числа разделены между собой нулем. Отрицательные целые числа, например -1, читаются как «минус единица» или «отрицательная единица».
Положительные целые числа, например «+3» читается как положительная 3 или просто «три», то есть у положительных (натуральных) чисел знак «+» не пишется и слово «положительное» не произносится.
Примеры: отметь на числовой оси +5, +6, -7, -3, -1, 0 и т.д.
При движении вправо по числовой оси числа увеличиваются, а при движении влево - уменьшаются. Если мы хотим увеличить число на 2, мы движемся вправо по координатной оси на 2 единицы. Пример: 0+2=2; 2+2=4; 4+2=6 и т. д. И наоборот, если мы хотим уменьшить число на 3 мы будем двигаться влево на 3 единицы. Например: 6-3=3; 3-3=0; 0-3=-3; и т.д.
1. Попробуй увеличить число (-4) за 3 шага, увеличивая каждый раз на 2 единицы.
Двигаясь по числовой оси, как показано на рисунке, мы получим в результате 2.
2. Уменьши число 6 за шесть шагов, уменьшая его за каждый шаг на 2 единицы.
3. Увеличь число (-1) за три шага, увеличивая его на 4 единицы на каждом шаге.
С помощью координатной прямой легко сравнивать целые числа: из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее, а меньше то, что стоит левее.
4. Сравни числа, поставив знак > или < , для удобства сравнения изобрази их на координатной прямой:
3 и 2; 0 и -5; -34 и -67; -72 и 0 и т.д.
5. Вспомни, как мы отмечали на координатном луче точки с натуральными координатами. Точки принято называть заглавными латинскими буквами. Нарисуй координатную прямую, и взяв удобный единичный отрезок, изобрази точки с координатами:
А) А(10),В(20),С(30),М(-10),N(-20)
Б) С(100),В(200),К(300),F(-100)
В) U(1000),Е(2000),R(-3000)
6. Запиши все целые числа, расположенные между -8 и 5, между -15 и -7, между -1 и 1.
Сравнивая числа, мы должны уметь ответить на сколько единиц одно число больше или меньше другого.
Нарисуем координатную прямую. Изобразим на ней точки с координатами от -5 до 5. Число 3 на две единицы меньше 5, на единицу меньше 4, на 3 единица больше нуля. Число -1 на единицу меньше нуля, на 2 единицы больше -3.
7. Ответь, на сколько единиц:
3 меньше 4; -2 меньше 3; -5 меньше -4; 2 больше -1; 0 больше -5; 4 больше -1
8. Нарисуй координатную прямую. Выпиши 7 чисел, каждое из которых на 2 единицы меньше предыдущего, начиная с 6. Какое у этого ряда последнее число? Сколько может быть всего таких чисел, если количество выписываемых чисел не ограничивать?
9. Выпиши 10 чисел, каждое из которых на 3 единицы больше предыдущего начиная с (-6). Сколько таких чисел может существовать, если ряд не ограничивать десятью?
Противоположные числа.
На числовой оси для каждого положительного числа (или натурального) существует отрицательное число, расположенное слева от нуля на таком же расстоянии. Например: 3 и -3; 7 и -7; 11 и -11.
Говорят, что число -3 является противоположным числу 3, и наоборот, -3 противоположно 3.
Определение: Два числа, которые отличаются друг от друга только знаком называются противоположными.
Мы знаем, что если умножить число на +1, то число не изменится. А если число умножить на (-1), что будет? У такого числа поменяется знак. Например, если 7 умножить на (-1) или отрицательную единицу, то результат будет (-7), число становится отрицательным. Если (-10) умножить на (-1), то получим (+10), т. е. получаем уже положительное число. Таким образом, мы видим, что противоположные числа получаются простым умножением исходного числа на (-1). Мы видим на числовой оси, что у каждого числа существует только одно противоположное число. Например, у (4) противоположное будет (-4), у числа (-10) – противоположное будет (+10). Попробуем найти противоположное число у нуля. Его нет. Т.е. 0 – противоположен самому себе.
А теперь посмотрим на числовой оси, что получится, если сложить 2 противоположных числа. Мы получаем, что сумма противоположных чисел равна 0.
1. Игра: пусть игровое поле разделено пополам на два поля: левое и правое. Между ними проходит разделительная черта. На поле находятся числа. Переход через черту означает умножение на (-1), иначе при переходе через разделительную черту число становится противоположным.
Пусть в левом поле находится число (5). В какое число превратится (5), если пятерка перейдет разделительную полосу 1 раз? 2 раза? 3 раза?
2. Заполни следующую таблицу:
3. Из множества пар выбери пары противоположных. Сколько таких пар ты получил?
9 ; -100; 1009; -63; -7; -9; 3; -33; 25; -1009; -2; 1; 0; 100; 27; 345; -56; -345; 33; 7.
Сложение и вычитание целых чисел.
Сложение (или знак «+») означает движение вправо на числовой оси.
- 1+3 = 4
- -1 + 4 = 3
- -3 + 2 = -1
Вычитание(или знак»-«) означает движение влево на числовой оси
- 3 – 2 = 1
- 2 – 4 = -2
- 3 – 6 = -3
- -3 + 5 = 2
- -2 – 5 = -7
- -1 + 6 = 5
- 1 – 4 = -3
Реши следующие примеры с помощью числовой оси:
- -3+1=
- 2)-4-1=
- -5-1=
- -2-7=
- -1+3=
- -1-4=
- -6+7=
В Древнем Китае при составлении уравнений коэффициенты уменьшаемых и вычитаемых записывались цифрами разного цвета. Прибыль –обозначали красной краской, а убытки – синей. Пример, продали 3 быка и купили 2 лошади. Рассмотрим другой пример: хозяйка принесла на рынок картошку и продала ее за 300 рублей, эти деньги мы прибавим к имуществу хозяйки и напишем их как +300(красное), а затем она потратила 100 рублей (эти деньги мы запишем как(-100)(синие). Таким образом, получилось, что хозяйка вернулась с рынка с прибылью в 200рублей(или +200). Иначе, числа, записанные красной краской всегда складывали, а записанные синей краской вычитали. По аналогии, будем синей краской обозначать отрицательные числа.
Таким образом, мы можем все положительные числа считать выигрышем, а отрицательные проигрышем или долгом или потерей.
Пример: -4 + 9 = +5 результат (+5) можно рассматривать как выигрыш в какой-либо игре; после того, как сначала было проиграно 4 очка, а затем выиграно 9 очков, то в результате останется выигрыш в 5 очков. Реши следующие задачи:
11. В игре в лото Петя сначала выиграл 6 очков, затем проиграл 3 очка, затем опять выиграл 2 очка, затем проиграл 5 очков. Каков результат игры у Пети?
12 (*). Мама пожила конфеты в вазочку. Маша съела 4 конфеты, Миша съел 5 конфет, Оля съела 3 конфеты. Мама положила еще в вазочку 10 конфет, и в вазочке стало 12конфет. Сколько конфет было сначала в вазочке?
13. В доме одна лестница ведет из подвала на второй этаж. Лестница состоит из двух пролетов по 15 ступенек каждый (один из подвала на первый этаж, а второй с первого этажа на второй). Петя был на первом этаже. Сначала он поднялся по лестнице на 7ступенек вверх, а затем спустился на 13 ступенек вниз. Где оказался Петя?
14. Кузнечик прыгает вдоль числовой оси. Один прыжок кузнечика составляет 3 деления на оси. Кузнечик сначала делает 3 прыжка вправо, а затем 5 прыжков влево. Где окажется кузнечик после этих прыжков, если первоначально он находился в 1)«+1»;2) «-6»;3) «0»;4) «+5»;5) «-2»;6) «+3»;7) «-1».
До сих пор мы привыкли к тому, что рассматриваемые числа отвечали на вопрос «сколько». Но отрицательные числа не могут быть ответом на вопрос «сколько». В житейском смысле отрицательные числа связаны с долгом, проигрышем, с такими действиями, как недолил, недопрыгнул, недовесил и т.д. Во всех этих случаях мы просто вычитаем долг, проигрыш, недовес. Например,
- На вопрос « Сколько будет «тысяча без 100»?», мы из 1000 должны вычесть 100 и получим 900.
- Выражение «3 часа без четверти» – означает, что мы должны вычесть 15 мин из 3 часов. Получим, таким образом, 2часа 45 мин.
А теперь реши следующие задачи:
15. Саша покупал 200гр. масла, но недобросовестный продавец недовесил 5 гр. Какую массу масла купил Саша?
16.На беговой дистанции в 5 км. Володя сошел с дистанции, не добежав до финиша 200м. Какое расстояние Володя пробежал?
17. Заполняя трехлитровую банку соком мама не долила 100мл сока. Сколько сока получилось в банке?
18. Кино должно начаться без двадцати минут восемь. сколько минут Во сколько часов и во сколько минут должно начаться кино?
19.У Тани было 200руб. и она должна Пете 50 руб. После того, как она отдала долг, сколько денег осталось у Тани?
20. Петя с Ваней пошли в магазин. Петя захотел купить книгу за 5 рублей. Но у него оказалось только 3 рубля, и он занял у Вани 2 рубля и купил книгу. Сколько денег оказалось после покупки у Пети?
3 - 5= -2 (из того, что у него было до покупки вычтем стоимость покупки, получим -2 рубля, то есть два рубля долга).
21. Днем температура воздуха была 3°тепла или +3°, а ночью 4° мороза или -4°. На сколько градусов понизилась температура? И на сколько градусов ночная температура меньше, чем дневная?
22. Таня договорилась встретиться с Володей без четверти семь. Во сколько часов и во сколько минут они договорились встретиться?
23. Тима с приятелем пошел в магазин покупать книгу, которая стоила 97 рублей. Но когда они пришли в магазин, то выяснилось, что книга подорожала, и стала стоить 105 рублей. Тима занял приятеля недостающую сумму, и все-таки купил книгу. Сколько денег Тима стал должен приятелю?
