При использовании дискретной номинальной ставки наращенная сумма определяется по формуле:

При переходе к непрерывным процентам получим:

Множитель наращения при непрерывной капитализации процентов.

Обозначая силу роста через, получим:

т.к. дискретные и непрерывные ставки функционально связаны друг с другом, то можно записать равенство множителей наращения

На первоначальный капитал 500 тыс. руб. начислили сложные проценты - 8% годовых в течении 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок

В формуле (4.21) можно определить современную величину

Непрерывная процентная ставка, используемая при дисконтировании называется силой дисконта. Она равна силе роста, т.е. используется для дисконтирования силы дисконта или силы роста приводят к одному и тому же результату.

Определить современную стоимость платежа при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12% и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера.

Переменная сила роста

С помощью этой характеристики моделируются процессы наращения денежных сумм с изменяющейся процентной ставкой. Если сила роста описывается некоторой непрерывной функцией времени, то справедливы формулы.

Для наращенной суммы:

Современная стоимость:

1) Пусть сила роста изменяется дискретно и принимает значения: в интервалы времени, тогда по истечению срока ссуды наращенная сумма составит:

Если срок наращения равен n, а средняя величина роста: , то

Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течение 5 лет. Если сила роста изменяется дискретно и соответствует: 1 год -7%, 2 и 3 - 8%, последние 2 года - 10%.

2) Сила роста непрерывно изменяется во времени и описывается уравнением:

где - начальная сила роста (при)

а - годовой прирост или снижение.

Вычислим степень множителя наращения:

Начальное значение силы роста 8%, процентная ставка непрерывная и линейно изменяется.

Прирост за год -2%, срок наращения - 5 лет. Найти множитель наращения.

3) Сила роста изменяется в геометрической прогрессии, тогда

В практических финансово-кредитных операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при обосновании и выборе инвестиционных решений.

Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле

S =P (1+j /m ) mn ,

где j – номинальная ставка процентов, а m – число периодов начисления процентов в году.

Чем больше m , тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. Увеличение частоты начисления процентов (m ) при фиксированном значении номинальной процентной ставки j приводит к росту множителя наращения, который при непрерывном начислении процентов (m ) достигает своего предельного значения

Известно, что

где е – основание натуральных логарифмов.

Используя этот предел в выражении (2.5), окончательно получаем, что наращенная сумма по ставке j равна

S =Pe jn .

Непрерывную ставку процентов называют силой роста и обозначают символом  . Тогда

S =Pe  n . (2.6)

Сила роста  представляет собой номинальную ставку процентов при m .

Закон наращения при непрерывном начислении процентов (2.6) совпадает по форме с (2.2) с той разницей, что в (2.2) время изменяется дискретно с шагом 1/m , а в (2.6) – непрерывно.

Легко показать, что дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости. Из равенства множителей наращения можно получить формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим:

(1+i ) n =e  n ,

откуда следует:

=ln(1+i ), i =e  -1.

Пример 20 . Сумма, на которую начисляются непрерывные проценты в течение 5 лет, равна 2000 ден. ед., сила роста 10%. Наращенная сумма составит S =2000·e 0,1·5 =2000·1,6487=3297,44 ден. ед.

Непрерывное наращение по ставке 10% равнозначно наращению за тот же срок сложных дискретных процентов по годовой ставке i . Находим:

i =e 0,1 -1=1,10517-1=0,10517.

В итоге получим S =2000·(1+0,10517) 5 =3297,44 ден. ед.

Дисконтирование на основе силы роста осуществляется по формуле

P =Se -  n

Пример 21. Определим современную стоимость платежа из примера 17 при условии, что дисконтирование производится по силе роста 15%.

Решение. Полученная за долг сумма (современная величина) равна

P =5000·е -0,15·5 =5000·0,472366=2361,83 ден. ед.

При применении дискретной сложной учетной ставки такого же размера получили величину (см. пример 17) P =2218,53 ден. ед.

2.5. Расчет срока ссуды и размера процентных ставок

В ряде практических задач начальная (P) и конечная (S) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения и дисконтирования (для простых процентов эти задачи рассмотрены в п. 1.8.).

Срок ссуды. Рассмотрим задачу расчета n для различных условий наращения процентов и дисконтирования.

i из исходной формулы наращения (2.1) следует, что

где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется и в числителе, и в знаменателе.

j m

d f m

;

При наращении по постоянной силе роста, исходя из формулы (2.6) получаем:

Пример 22. За какой срок в годах сумма, равная 75 тыс. ден. ед., достигнет 200 тыс. ден. ед. при начислении процентов по сложной ставке 12% раз в году и поквартально?

Решение. По формулам для вычисления срока при наращении по сложным ставкам наращения получим:

n =(log(200/75)/log(1+0,12))=3,578 года;

n =(log(200/75)/(4·log(1+0,12/4))=3,429 года;

Расчет процентных ставок. Из тех же исходных формул, что и выше, получим формулы для расчета ставок при различных условиях наращения процентов и дисконтирования.

При наращении по сложной годовой ставке i из исходной формулы наращения (2.1) следует, что

i =(S /P ) 1/ n –1=
.

При наращении по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы (2.2) получаем:

j =m ((S /P ) 1/ mn –1)=
.

При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f m раз в году из формул (2.3) и (2.4) соответственно получаем:

d =1– (P /S ) 1/ n =
;

f = m (1– (P /S ) 1/ mn =
.

При наращении по постоянной силе роста, исходя из формулы (2.6), получаем:

Пример 23. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. ден. ед., его выкупная сумма – 160 тыс. ден. ед., срок 2,5 года. Каков уровень доходности инвестиции в виде годовой ставки сложных процентов?

Решение. Воспользовавшись полученной формулой для годовой ставки i , получим: i =(160/100) 1/2,5 –1=1,2068–1=0,20684, т.е. 20,684%.

Пример 24. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30%. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?

Решение. По данным задачи P /S =0,7. Тогда d =1–
=0,16334, т.е. 16,334%.

Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками, поскольку сила роста – универсальный показатель. Однако наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции).

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно , за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

k н = (1 + j / m ) m = (1 + j / 365) 365

Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e j :

где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

FV = PV e j n = P e δ n

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ , в отличие от ставки дискретных процентов (j ).

Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

а) один раз в год;

б) ежедневно;

в) непрерывно.

Решение:

Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:

начисление один раз в год

FV = 100"000 (1 + 0,08) 3 = 125"971,2 долларов;

ежедневное начисление процентов

FV = 100"000 (1 + 0,08 / 365) 365 3 = 127"121,6 долларов

непрерывное начисление процентов

FV = 100"000 e 0,08 3 = 127"124,9 долларов.

12. Расчет срока кредита:

В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (PV ), наращенная или будущая величина (FV ), процентная ставка (i ) и время (n ).

Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки.

Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.

Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов.

Если срок определяется в годах, то

n = (FV - PV ) : (PV i ),

а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя:

t = [(FV - PV ) : (PV i )] T .

Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:

срок ссуды:

n = / = / ;

ставка сложных процентов:

Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годовых будет более выгодно.

13. Расчет срока кредита:

14. Расчет процентной ставки:

- при наращении по сложной годовой ставке %,

- при наращении по номинальной ставке % m раз в году,

- при наращении по постоянной силе роста.

15. Расчет процентной ставки:

- при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке,

- при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году.

1. Постоянная сила роста

При использовании дискретной номинальной ставки наращенная сумма определяется по формуле:

При переходе к непрерывным процентам получим:

Множитель наращения при непрерывной капитализации процентов.

Обозначая силу роста через, получим:

На первоначальный капитал 500 тыс. руб. начислили сложные проценты - 8% годовых в течении 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок

В формуле (4.21) можно определить современную величину

Определить современную стоимость платежа при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12% и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера.

Анализ финансовых результатов деятельности предприятия ООО "СМР"

Резервы роста прибыли - это количественно измеримые возможности ее увеличения за объема продукции рассчитывается по формуле: , (1.22) где: - резерв роста прибыли за счет увеличения объема продукции; структуры производственной системы...

Анализ финансовых результатов деятельности предприятия СХПК "Родина"

Государственные финансовые ресурсы России, возможности их роста в современных условиях

Второе звено финансовых ресурсов -- внебюджетные специальные фонды. Внебюджетные фонды имеют строго целевое назначение -- расширить социальные услуги населению, стимулировать развитие отсталых отраслей инфраструктуры...

Действия с непрерывными процентами

Детерминанты стоимости компании

Итак, как показало проведенное исследование, детерминанты стоимости компании могут быть различного рода, и от их сочетания и развитости, а так же внешних факторов очень многое зависит. Но, нельзя забывать...

Инфляция

В настоящее время инфляция - одна из самых острых тем не только в России, но и за рубежом. Но в то время как мировое сообщество переживает спад инфляции, в России этот показатель до сих пор составляет двузначное число. Более того...

Оценка финансового состояния и эффективности функционирования предприятия ООО "Актор"

Для анализа деловой активности используем «золотое правило экономического роста»: Тбп>Твр>Твб>100%. В нашем случае: Таблица 11 Темпы прироста, % БП 110,47 ВР 98,7 ВБ 101,2 Как видим...

Политика управления заемными источниками финансирования

Модель устойчивого экономического роста (МУЭР) позволяет определить возможный прирост продаж (выручки) без нарушения финансовой устойчивости. МУЭР определяется по формуле:...

Применение различных методик по оценке налоговой нагрузки для хозяйствующих субъектов

Дополнительная формулировка: «Несоответствие темпов роста расходов по сравнению с темпом роста доходов по данным налоговой отчетности с темпами роста расходов по сравнению с темпом роста доходов, отраженными в финансовой отчетности»...

Разработка финансового плана предприятия (на примере ОАО "Ракитянский арматурный завод")

Экономический рост предприятия показывает максимум роста продаж, который может достичь предприятие, не изменяя прочие оперативные показатели. Эк. рост = коэф. реинв.*эффект фин. рычага * коэф...

Финансовый анализ деятельности компании ОАО "Промсвязьбанк"

· себестоимости и объема продаж · постоянных затрат и объема продаж · активов и объема продаж: Таблица 6 Показатели На начало периода На конец периода Темп прироста Выручка от продажи 43 754 131 49 343 607 12...

Финансовый менеджмент

Модель SGR: где g - потенциально возможный рост объема продаж, %; b - доля чистой прибыли...

Формирование финансовой политики и стратегии устойчивого роста ПАО "Фабрика №5"

Сформируем бухгалтерский баланс и отчет о прибылях и убытках организации на конец отчетного периода на основании данных таблиц А.3. Таблица 3.1 - Бухгалтерский баланс, руб...

Формирование финансовых результатов предприятия на примере ЗАО "ДС-Контролз"

Б.И. Герасимов считает, результаты факторного анализа прибыли и рентабельности позволяют выявить резервы их роста. Резервы роста прибыли - это количественно измеримые возможности ее увеличения за счет роста объема реализации продукции...

Эффект финансового рычага

В ходе масштабного исследования возможностей отечественного бизнеса по управлению структурой капитала на первом этапе исследовался вопрос, управляют ли российские компании структурой своего капитала и осознают ли...

Переменная сила роста

2.5. Расчет срока ссуды и размера процентных ставок

1. Постоянная сила роста

Читайте также