Расчетное время ожидания в очереди

Перед выходом на передачу любой, исходящий из процессора ЭВМ, блок должен некоторое время ожидать в очереди. В общем случае при использовании относительных приоритетов обработка сообщений организуется по схеме рис. 11

Сообщениям типа Z 1 ,…,Z n присвоены относительные приоритеты 1,…,n соответственно. Сообщение Z p , поступившее в систему, и ожидающее передачи, заносится в очередь О р, в которой хранятся сообщения приоритета Р. В очереди О р сообщения упорядочены по времени их поступления. Когда процессор Пр заканчивает передачу ранее обслуживаемого сообщения, то управление передается программе "ДИСПЕТЧЕР”. Программа выбирает для очередной передачи сообщение с наивысшим приоритетом - сообщение Z i , если очереди более старших приоритетов О 1 ,..,О i-1 не содержат сообщений (т.е. оказываются пустыми). Выбранное для передачи сообщение захватывает исходящий канал на все время передачи. Если в систему поступает n простейших потоков сообщений с интенсивностями, а длительность передачи сообщений каждого типа имеют средние значения и вторые начальные моменты, соответственно, то среднее время ожидания сообщений, имеющих приоритет k, определится соотношением

Используя понятие коэффициента вариации

где - среднеквадратическое отклонение времен передачи сообщений i-го типа, получим соотношение:

В рассматриваемом нами конкретном случае анализа сети имеются всего два типа передаваемых блоков сообщений: исходящие интерактивные блоки, имеющие более высокий приоритет, и исходящие почтовые блоки, имеющие более низкий относительный приоритет.

Следовательно,

Для сообщений первого приоритета

Для сообщений второго приоритета

Следовательно, для интерактивных блоков:


Для почтовых блоков:


Для вычисления значений коэффициентов вариации длин блоков необходимо учесть следующее:

При каждом успешном опросе, ЦДП передает абоненту случайное число N исходящих блоков. Будем считать, что случайная величина N распределена по экспоненциальному закону.

Это означает, что коэффициент вариации (34)

Поскольку почтовые сообщения имеют постоянную длину, (35)

Расчет показывает, что при малой загрузке, время ожидания в очереди блоков почтовых сообщений незначительно превышает время ожидания блоков интерактивных сообщении (сообщений мало и они не мешают друг другу при передаче). С увеличением нагрузок ранним возрастает за счет того, что интерактивные блоки сообщений "выясняют" почтовые.

Время ожидания в очередях в узлах коммутации

Блоки сообщений, попадающие в центры коммутации, анализируются и направляются в соответствии с указанным в них адресом получателя через другие центры коммутации к абоненту или к ЭВМ. Прежде, чем центр коммутации (ЦК) прочтет адрес для направления блока, необходимо, чтобы вся управляющая часть блока (в у = 19 байт), содержащая адресную информацию, была полностью принята УК. Затрачиваемое на это время

Затем, спустя некоторое время реакции УК (рцк =1 мс), если очередь сообщений в УК отсутствует, рассматриваемый блок направится дальше к следующему центру коммутации.

Одновременно с приемом блоков УК ведет передачу выходящих из него блоков.

(37)

является полным временем, необходимым дня обслуживания передачи блока сообщений в УК.

Интерактивные и почтовые блоки сообщений поступают в УК вперемешку. При этом в него попадают как исходящие от ЭВМ ЦДП, так и предназначенные для нее блоки. Поэтому при рассмотрении времени ожидания очереди на передачу сообщения УК- необходимо учитывать полную загрузку сети

Учитывая, что является величиной постоянной (= 0), для определения значения времени tцк следует воспользоваться соотношением

Ввиду малой нагрузки эта величина получилась весьма незначительной, однако, при возрастании суммарной загрузки в 2 раза значение увеличивается, а при дальнейшем повышении нагрузки центры коммутации могут оказаться «узким местом» сети.

Значение эквивалентного времени ожидания в очередях центров коммутации определяется соотношением

аналогично тому, как это делалось при определении эквивалентной задержки в центре коммутации. Если принять, например, что для рассматриваемой сети каждый блок проходит один раз через 3,5 узла коммутации, то

Указанная задержка и должна учитываться при определении времени ответа для интерактивных и почтовых сообщений.

Рассмотрим n - канальную систему массового обслуживания с ожиданием.

Интенсивность потока обслуживания равна μ. Длительность обслуживания – случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий.

Размер очереди допускает нахождение в ней m заявок.

Для нахождения предельных вероятностей можно использовать следующие выражения.

(0‑1)

где.

Вероятность отказа в обслуживании заявки (отказ произойдет в случае, если все каналы заняты и в очереди находятся m заявок):

(0‑2)

Относительная пропускная способность .

(0‑3)

Абсолютная пропускная способность .

(0‑4)

Среднее число занятых каналов.

Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает (в отличие от СМО с отказами) со средним числом заявок в системе. Отличие равно числу заявок, ожидающих в очереди.

Обозначим среднее число занятых каналов. Каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени, а СМО в целом – А заявок в единицу времени. Разделив А на μ получим

(0‑5)

Среднее число находящихся в очереди заявок.

Для нахождения среднего числа ожидающих в очереди заявок в случае, если χ≠1, можно использовать выражение:

(0‑6)

(0‑7)

где = .

Среднее число находящихся в системе заявок.

(0‑8)

Среднее время ожидания заявки в очереди .

Среднее время ожидания заявки в очереди можно найти из выражения (χ≠1).

(0‑9)

Среднее время пребывания заявки в системе.

Так же как и в случае с одноканальной СМО имеем:

(0‑10)

Содержание работы .

Подготовка инструментария эксперимента .

Выполняется в соответствии с общими правилами.

Расчет на аналитической модели .

1. В приложение Microsoft Excel подготовьте таблицу следующего вида.

Параметры
СМО

Аналитическая
модель

Имитационная
модель

n

m

T a

Ts

ρ

χ

P0

P1

p2

Pотк

W

nож

q

A

Pотк

W

q

A

2. В столбцах для параметров СМО таблицы запишите свои исходные данные, которые определяются по правилу:

n =1,2,3

m=1,3,5

Для каждой комбинации { n ,m} необходимо найти теоретические и экспериментальные значения показателей СМО для таких пар значений:

= <порядковый номер в списке группы>

3. В столбцы с показателями аналитической модели впишите соответствующие формулы.

Эксперимент на имитационной модели .

1. Установите режим запусков с экспоненциально распределенным временем обслуживания, задав значение соответствующего параметра равным 1.

2. Для каждой комбинации n, m, и осуществите запуск модели.

Результаты запусков внесите в таблицу.

3. Внесите в соответствующие столбцы таблицы формулы для расчета среднего значения показателя Pотк, q и А.

Анализ результатов .

1. Проанализируйте результаты, полученные теоретическим и экспериментальным способами, сравнив результаты между собой.

2. Для одной из комбинаций {n,m} постройте на одной диаграмме графики зависимости Pотк от на теоретически и экспериментально полученных данных.

Оптимизация параметров СМО .

Решите задачу оптимизации размера числа мест в очереди m для двух приборов со средним временем обслуживания = с точки зрения получения максимальной прибыли. В качестве условий задачи возьмите:

- доход от обслуживания одной заявки равным 80у.е./час,

- стоимость содержания одного прибора - 1у.е./час,

- стоимость содержания одного места в очереди – 0.2у.е./час.

1. Для расчетов целесообразно создать таблицу:

Первый столбец заполняется значениями числа приборов n =1.

Второй столбец заполняется значениями чисел натурального ряда (1,2,3…).

Все клетки третьего и четвертого столбцов заполняются значениями.

В клетки столбцов с пятого по четырнадцатый переносятся формулы для столбцов таблицы раздела 0.

В столбцы с исходными данными разделов Доход, Расход, Прибыль внесите значения (см. выше).

В столбцах с вычисляемыми значениями разделов Доход, Расход, Прибыль запишите расчетные формулы:

- число заявок в единицу времени

N r =A

- суммарный доход в единицу времени

I S = I r *N r

- суммарный расход в единицу времени

E S =E s *n + E q *m

- прибыль в единицу времени

P = I S - E S

где

I r - доход от одной заявки ,

E s - расход на один прибор ,

E q - расход на одно место в очереди

2. Заполните строки таблицы для n=2 и n=3.


Найдите m опт для n =1 ,2,3.

3. Постройте на одной диаграмме графики зависимости C(m) для n=1,2,3.

Отчет по работе :

Отчет по работе должен включать:

- исходные данные,

- результаты расчетов и экспериментов с программной моделью,

Графики для P отк ,

- таблицу с данными для нахождения наилучшего m и значение m опт,

- графики зависимости прибыли в единицу времени от m для n=1,2,3.

Контрольные вопросы :

1) Дайте краткое описание многоканальной модели СМО с ограниченной очередью.

2) Какими показателями характеризуется функционирование многоканальной СМО с ограниченной очередью?

3) Как рассчитываются предельные вероятности многоканальной СМО с ограниченной очередью?

4) Как найти вероятность отказа обслуживания заявки?

5) Как найти относительную пропускную способность?

6) Чему равна абсолютная пропускная способность?

7) Как подсчитывается среднее число заявок в системе?

8) Приведите примеры многоканальной СМО с ограниченной очередью.

Задачи .

1) На автозаправочной станции установлены 3 колонки и площадка на 3 автомобиля для ожидания заправки. В среднем на станцию прибывает одна машина каждые 4 минуты. Среднее время обслуживания одной машины - 2,8 мин. Определить характеристики работы автозаправочной станции.

2) На станцию технического осмотра автомобилей, имеющего 3 смотровых поста, в среднем поступает 1 автомобиль за 0,4 часа. Стоянка во дворе вмещает 3 машины. Среднее время работы одного поста - 0,5 часа. Определить характеристики работы СТО.

3) В магазин осуществляется завоз товаров автомобилями. В течение дня прибывают в среднем 6 машин. Подсобные помещения для подготовки товаров к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя машинами. В магазине работают посменно три фасовщика товаров, каждый из которых в среднем может обрабатывать товар одной машины в течение 5 часов. Продолжительность рабочего дня фасовщиков составляет 12 часов. Определить характеристики работы магазина, а также, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была больше 0,96.

4) В магазине работают три кассы. Среднее время обслуживания одного покупателя - 3 мин. Интенсивность потока покупателей - 7 человек в минуту. Число покупателей, стоящих в очереди к кассе, не может превышать 5 человек. Покупатель, пришедший в магазин, в котором в каждой очереди в кассу 5 человек, не ждет, а уходит из магазина. Определить характеристики работы магазина.

5) Оптовый склад производит отпуск товаров клиентам. Погрузку автомашины осуществляют три бригады грузчиков, каждая из которых состоит из 4 человек. Склад одновременно вмещает 5 автомашин и, если в это время прибывает новая автомашина, то она не обслуживается. Интенсивность входящего потока составляет 5 автомашин в час. Интенсивность по грузки составляет 2 автомашины в час. Дайте оценку работы склада и вариант его реорганизации.

6) Таможня располагает тремя терминалами. Интенсивность потока автомашин, перевозящих грузы и подлежащих прохождению таможенного контроля, составляет 30 шт. в сутки. Среднее время таможенной обработки на терминале одной автомашины составляет 3 часа. Если в очереди на прохождение таможенного контроля стоят 5 автомашин, то приезжающие автомашины уезжают на другую таможню. Найти показатели эффективности работы таможни.

7) На строительную площадку в среднем через 40 мин прибывают автомашины со строительным материалом. Среднее время разгрузки одной автомашины составляет 1,8 часа. В разгрузке принимают участие две бригады грузчиков. На территории строительной площадки может находиться в очереди на разгрузку не более 5 автомашин. Определить показатели эффективности работы строительной площадки.

8) На мойку, имеющую три рабочих места, в среднем в час приезжает 12 автомашин. Если в очереди уже находится 6 автомашин, вновь приезжающие автомобили не встают в очередь, а покидают мойку. Среднее время мойки автомашины составляет 20 мин, средняя стоимость услуг мойки - 150 руб. Определить показатели эффективности работы мойки и среднюю величину потери выручки в течение рабочего дня (с 9 до 19 часов).

9) Интенсивность потока автомашин, перевозящих грузы и подлежащих прохождению таможенного контроля, составляет 50 шт. в сутки. Среднее время таможенной обработки на терминале одной автомашины составляет 2,8 часа. Максимальная очередь на прохождение таможенного контроля должна быть не более 8 автомашин. Определить, какое количество терминалов надо открыть на таможне, чтобы вероятность простоя автомашин была минимальна.


1. Одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди. На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; кассир, выдающий зарплату). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место: именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем.

Рассмотрим одноканальную СМО, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ . Предположим, что поток обслуживаний также простейший с интенсивностью μ . Это означает, что непрерывно занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени. Заявка, поступившая в СМО в момент, когда канал занят, в отличие от СМО с отказами, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает обслуживания.

Далее предполагаем, что в данной системе имеется ограничение на длину очереди, под которой понимается максимальное число мест в очереди, а именно, предполагаем, что в очереди могут находиться максимум m ≥1 заявок. Поэтому заявка, пришедшая на вход СМО, в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, получает отказ и покидает систему необслуженной.

Таким образом, рассматриваемая СМО относится к системам смешанного типа с ограничением на длину очереди.

Пронумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе, т.е. под обслуживанием и в очереди:

S 0 – канал свободен (следовательно, очереди нет);

S 1 – канал занят и очереди нет, т.е. в СМО находится (под обслуживанием) одна заявка;

S 2 – канал занят и в очереди стоит одна заявка;

……………………………………………………..

S m +1 – канал занят и в очереди m заявок.

Граф состояний данной СМО представлен на рис. 6 и совпадает с графом, описывающим процесс гибели и размножения, с тем отличием, что при наличии только одного канала обслуживания все интенсивности потоков обслуживаний равны μ .

Рис. 6. Схема состояний в одноканальной системе с очередью

Для описания предельного режима работы СМО можно воспользоваться изложенными правилами и формулами. Запишем сразу выражения, определяющие предельные вероятности состояний:

где ρ = λ/μ – интенсивность нагрузки канала.

Если λ = μ , то получаем .

Пусть теперь
. Выражение дляp 0 можно в данном случае записать проще, пользуясь тем, что в знаменателе стоит сумма m + 2 членов геометрической прогрессии со знаменателем ρ :

.

Заметим, что при m = 0 мы переходим к уже рассмотренной одноканальной СМО с отказами. В этом случае .

Определим основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием: относительную и абсолютную пропускные способности, вероятность отказа, а также среднюю длину очереди и среднее время ожидания заявки в очереди.

Поступившая на вход СМО заявка получает отказ тогда и только тогда, когда канал занят и в очереди ожидают m заявок, т.е. когда система находится в состоянии S m +1 . Поэтому вероятность отказа определяется вероятностью появления состояния S m +1 :

Относительная пропускная способность, или доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени, определяется выражением:

Заметим, что относительная пропускная способность Q совпадает со средней долей принятых (т.е. не получивших отказ) в систему заявок среди всех поступивших, поскольку заявка, попавшая в очередь, непременно будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность системы

.

Среднее число заявок L оч , стоящих в очереди на обслуживание, определяется как математическое ожидание дискретной случайной величины k – числа заявок, стоящих в очереди:

.

Случайная величина k принимает значения 0, 1, 2, … , m , вероятности которых определяются вероятностями состояний системы p k . Таким образом, закон распределения дискретной случайной величины k имеет следующий вид:

Поэтому по определению математического ожидания дискретной случайной величины (с учетом формул для вероятностей состояний) получаем:

(16)

Предположим, что ρ ≠ 1 . Очевидно, имеем:

Но сумма представляет собой сумму первых m членов геометрической прогрессии

. (17)

Подставив выражение (17) в (16), найдем:

или, используя равенство
(полученное приρ ≠ 1 ), имеем

Если же ρ = 1 , то из равенства (16)
а учитывая, что в этом случае
и
(суммаm членов арифметической прогрессии), окончательно получаем


.

Тогда среднее число заявок в очереди

(18)

Важной характеристикой СМО с ожиданием является среднее время ожидания заявки в очереди
. Пусть T оч – непрерывная случайная величина, представляющая собой время ожидания заявки в очереди. Среднее время ожидания заявки в очереди вычислим как математическое ожидание этой случайной величины:

.

Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой полного математического ожидания: если об условиях опыта можно сделать n (попарно) несовместных гипотез
то полное математическое ожидание случайной величиныX может быть вычислено по формуле

где M (X | H k ) – условное математическое ожидание величины X при гипотезе H k .

Рассмотрим m + 2 несовместных гипотез H k , k = 0,1,..., m + 1 , состоящих в том, что СМО находится соответственно в состояниях S k , k = 0,1,..., m + 1 . Вероятности этих гипотез p (H k ) = p k , k = 0,1,..., m +1 .

Если заявка поступает в СМО при гипотезе H 0 S 0 , в котором канал свободен, то заявке не придется стоять в очереди и, следовательно, условное математическое ожидание M (
 | H 0 ) случайной величины
при гипотезе H 0 ,совпадающее со средним временем ожидания заявки в очереди при гипотезе H 0 , равно нулю.

Для заявки, поступившей в СМО при гипотезе H 1 , т.е. когда СМО находится в состоянии S 1 , в котором канал занят, но очереди нет, условное математическое ожидание M (
| H 1 ) случайной величины
при гипотезе H 1 , совпадающее со средним временем ожидания заявки в очереди при гипотезе H 1 , будет равно среднему времени обслуживания одной заявки
.

Условное математическое ожидание M (
| H 2 ) случайной величины
при гипотезе H 2 , т.е. при условии, что заявка поступила в СМО, находящуюся в состоянии S 2 , в котором канал занят и в очереди уже ждет одна заявка, равно 2/ μ (удвоенному среднему времени обслуживания, поскольку нужно обслужить две заявки: ту, которая находится в канале обслуживания, и ту, которая ждет в очереди). И так далее.

Если заявка поступит в систему при гипотезе H m , т.е. когда канал занят и в очереди ждут m − 1 заявок, то M (
| H m ).

Наконец, заявка, пришедшая в СМО при гипотезе H m +1 , т.е. когда канал занят, m заявок стоят в очереди, и свободных мест в очереди больше нет, получает отказ и покидает систему. Поэтому в этом случае M (
| H m +1 ) = 0.

Следовательно, по формуле полного математического ожидания среднее время ожидания заявки в очереди

Подставляя сюда выражения для вероятностей p k (k =1,2,...,m ), получаем:
(19)

Если интенсивность нагрузки канала ρ ≠ 1 , то из равенства (19) с учетом формул (17), (18), а также выражения для p 0 находим:

Если же ρ = 1 , то, подставляя в равенство (19) выражение p 0 = 1/(m +2), значение суммы
, используя формулу (18) приρ = 1 и учитывая, что в данном случае μ = λ , будем иметь

Итак, для любого ρ получаем формулу для среднего времени пребывания заявки в очереди, которая называется формулой Литтла:
т.е. среднее время ожидания заявки в очереди
равно среднему числу заявок в очереди L оч , деленному на интенсивность λ входящего потока заявок.

Пример. На автозаправочной станции (АЗС) имеется одна колонка. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более трех машин одновременно, если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю АЗС. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин. Определить основные характеристики системы.

Решение. Математической моделью данной АЗС является одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди (m = 3). Предполагается, что поток машин, подъезжающих к АЗС для заправки, и поток обслуживаний – простейшие.

Поскольку машины прибывают в среднем через каждые 2 мин, то интенсивность входящего потока равна λ =1/2 = 0,5 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины
= 2,5 мин, следовательно, интенсивность потока обслуживаний μ =1/2,5 = 0,4 (машины в минуту).

Определяем интенсивность нагрузки канала: ρ = λ/μ = 0,5/0,4 = 1,25.

Вычисляем вероятность отказа
откуда относительная пропускная способность и абсолютная пропускная способность A = λ Q ≈ 0,5⋅0,703 ≈ 0,352.

Среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку

Среднее время ожидания машины в очереди находим по формуле Литтла
= L оч /λ ≈1,559/0,5 = 3,118.

Таким образом, из анализа работы СМО следует, что из каждых 100 подъезжающих машин 30 получают отказ (P отк ≈ 29,7%), т.е. обслуживаются 2/3 заявок. Поэтому необходимо либо сократить время обслуживания одной машины (увеличить интенсивность потока обслуживаний), либо увеличить число колонок, либо увеличить площадку для ожидания.

Пери Куклин (Perry Kuklin)

Каждый владелец бизнеса со всеми своими менеджерами хотел бы ежедневно и еженощно видеть не только растущие прибыли, но и счастливых, полностью удовлетворённых покупателей. Один из путей достижения этой цели - создание в грядущем 2014 году лучших условий для ожидающих в очереди клиентов. Вот пять простых способов:

1. Развлеките посетителей

Скопившихся в очереди покупателей надо чем-то отвлечь. А поскольку сегодняшняя культура настроена на все виды экранного действа, занятие ваших очередей созерцанием дисплеев займёт всё внимание посетителей и в их памяти не отложатся связанные с ожиданием отрицательные эмоции.

2. Вперёд, в виртуальность

Электронная очередь – вот на чём всё ещё спотыкаются многие компании. Как такая «куча мала» может сработать в вашу пользу, если вы всё время были зависимы от классической очереди типа «кто последний, я за вами»?

Никогда не забывайте, что большинство людей высоко ценят своё время и свободу действий. Создание электронной очереди глушит в посетителях чувство потери времени и дискомфорт от вынужденного выстраивания в ряд. При наличии электронной очереди клиенты могут присесть, заняться чем-то, кроме утомительного ожидания, да просто насладиться возможностью делать что угодно, без необходимости топтаться в очереди.

3. Следите за очередями

Разрешение проблемы очередей не только в создании более комфортных условий для покупателей; рассмотрите вопрос с точки зрения менеджмента – в конечном итоге это принесёт выгоду вам и удовлетворение покупателям.

Отслеживание движения очереди в реальном времени позволяет ответственным за это менеджерам в любое мгновение держать руку на пульсе каждой из очередей. Для информирования менеджера торгового зала о том, что где-то произошёл сбой, можно настроить любую форму извещения (текстовое сообщение, электронное письмо и пр.). Так он сразу узнает, что персонал компании тормозит, очереди движутся слишком медленно и т.д.

Отслеживание очередей позволяет также фиксировать рекордные показатели скорости их движения, что является бесценной информацией для менеджеров. На её основе они могут прогнозировать периоды пиков и спадов нагрузки, соответственно маневрируя персоналом и количеством работающих кассовых терминалов.

4. Добавьте немного мобильности

Общайтесь с покупателями в очереди самым доступным сегодня способом – через смартфоны. В электронную очередь можно привнести элемент мобильности, позволяющий клиентам через телефон регистрировать своё место в очереди и общаться с персоналом в текстовом режиме, когда их очередь уже подходит.

Развлекательному элементу, описанному выше, тоже не лишне придать мобильности. На экраны смартфонов можно выводить информацию о том, как клиентам улучшить свой покупательский опыт (подписка на купоны, дисконтные карты, грядущие промо-акции и, разумеется, оставшееся время ожидания в очереди).

5. Совместите трансляцию на смартфоны с мерчендайзингом

В розничной торговле решение проблемы очередей воистину элементарно. Клиенты могут увидеть товар и отметить его преимущества самостоятельно, но если представить им изделие в действии, то можно укрепить их стремление к покупке, которое до этого момента могло быть не слишком уверенным. Подумайте вот о чём: в интернет-торговле для увеличения конверсии и уровней продаж широко используются видеоматериалы. Что мешает применять эту технику в оффлайн торговле?

Воспользуйтесь тем, что у покупателя в руках дивайс, который может служить вашей витриной. Предложите клиенту посмотреть видеоролик с хорошо распродающимся товаром, рассказывающий о его особенностях; или даже видеозапись одобрительных высказываний о нём довольных покупателей. Доводя до томящихся в очереди людей такого рода информацию, да ещё с одновременной её прокруткой на больших дисплеях в зоне видимости, вы заботитесь об удовлетворении двух крайне важных потребностей: развлечение клиентов и увеличение продаж компании.

Ожидание в очереди становится последним впечатлением покупателя о вашем бизнесе (представьте себе розничный магазин), а последние слова разговора запоминаются лучше всего – это аксиома. В ряде случаев это вообще основа клиентского опыта (представьте себе аэропорт). Всегда найдутся пути улучшить взаимодействие с людьми, которые пользуются услугами вашего бизнеса, при этом одна из лучших точек для старта – изменение организации очередей.

Перевод Леонида Пеленицына

Изучим работу n-канальной (n > 1) СМО с ожиданием, на вход которой поступает простейший поток заявок П вх с интенсивностью. Поток обслуживании каждым каналом также предполагается простейшим с интенсивностью µ. На длину очереди никаких ограничений не налагается, но время ожидания каждой заявки в очереди ограничено случайным сроком Т ож со средним значением, после которого заявка покидает систему необслуженной. Временной интервал Т ож является непрерывной случайной величиной, которая может принимать любое положительное значение и математическое ожидание которой.

Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет Марковским.

Такие системы часто встречаются на практике. Их иногда называют системами с «нетерпеливыми» заявками.

Занумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе, как под обслуживанием, так и стоящих в очереди: S k (k = 0,1,…n) - k заявок под обслуживанием (k каналов заняты, очереди нет), S n+r (r = 1,2,…) - п заявок под обслуживанием (все п каналов заняты) и r заявок в очереди.

Таким образом, СМО может пребывать в одном из бесконечного множества состояний.

Размеченный граф состояний указан на рис. 1.


Рис. 1.

Из состояния в состояние слева направо СМО переходит под воздействием одного и того же входящего потока заявок П вх с интенсивностью. Следовательно, плотности вероятностей этих переходов

k-1,k = , k = 1,2,… (1)

Переход СМО из состояния без очереди S k , k = 1,…,n , в соседнее слева состояние S k-1 , (k = 1,…,n) (в котором также не будет очереди) происходит под действием суммарного потока, слагающегося из к потоков обслуживания занятых каналов, интенсивность которого, представляющая собой сумму интенсивностей слагаемых потоков обслуживании, равна kµ . Поэтому под стрелками налево от состояния s n до состояния s 0 проставлены плотности вероятностей переходов

k,k-1 =kµ, k = 1,…,n (2)

На систему в состоянии с очередью S n+r , r = 1,2,… , действует суммарный поток - результат наложения n потоков обслуживании и r потоков уходов. Поэтому интенсивность суммарного потока равна сумме интенсивностей слагаемых потоков nµ+rщ . Этот суммарный поток порождает переход СМО справа налево из состояния S n+r ,(r = 1,2,…) в среднее S n+r-1 ,(r = 1,2,…) и, таким образом,

k,k-1 =nµ+(k-n)щ, k =n+1,n+2,… (3)

Итак, плотности вероятностей переходов системы справа налево, учитывая (2) и (3), можно записать в объединённой форме

Структура графа говорит о том, что процесс, протекающий в СМО, является процессом гибели и размножения.

Подставим (1) и (4) для k=1,…,n+m в формулу


Введем в рассмотрение величину, которую можно назвать приведенной интенсивностью потока уходов, и которая показывает среднее число уходов из очереди не обслуженных заявок за среднее время обслуживания одной заявки. Подставляя в (5) и получим:

Так как в рассматриваемой СМО нет ограничений на длину очереди, то заявка, поступившая во входящем потоке, будет принят; в систему, т.е. отказ со стороны системы заявка не получает. Поэтому для СМО с «нетерпеливыми» заявками вероятность принятия в систему p сист =1, а вероятность отказа принятия в систему p отк =0 . Понятие «отказа принятия в систему» не следует смешивать с понятием «отказа в обслуживании», поскольку, в силу «нетерпеливости», не каждая поступившая (принятая) в систему заявка, будет обслужена. Таким образом, имеет смысл говорить о вероятности ухода заявки из очереди p ху и вероятности того, что заявка будет обслужена, p об . При этом, вероятность p об представляет собой относительную пропускную способность Q и p ху =1- p об .

Подсчитаем среднее число заявок в очереди. Для этого рассмотрим дискретную случайную величину N оч представляющую собой число заявок в очереди. Случайная величина N оч может принять любое целое неотрицательное значение, а ее закон распределения имеет вид

N оч

p n+1

p n+2

p n+r

где p= p 0 + p 1 +…+ p n . Следовательно,

или подставляя сюда (7), получим

На каждую заявку в очереди действует поток «уходов» Пух с интенсивностью щ. На среднюю очередь, состоящую из заявок, будет действовать суммарный поток, складывающийся из потоков «уходов», и имеющий интенсивность. Значит, из среднего числа заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, заявок в единицу времени, а оставшиеся заявки будут обслужены. Следовательно, среднее число заявок, обслуженных за единицу времени, т.е. абсолютная пропускная способность СМО

Тогда по определению относительной пропускной способности,

Q = A/ = (-)/ = 1 - (щ/),

где щ/ = показывает среднее число уходов из очереди не обслуженных заявок за среднее время между поступлениями двух соседних заявок во входящем потоке П вх .

Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, находящихся под обслуживанием) можно получить как отношение абсолютной пропускной способности А к производительности одного канала µ. Воспользовавшись равенством (11), будем иметь:

Среднее число занятых каналов можно подсчитать и независимо от среднего числа заявок в очереди, а именно как математическое ожидание дискретной случайной величины К, представляющей собой число занятых каналов, закон распределения которой имеет вид

p 0

p 1

p 2

p n-1

где p = p n + p n+1 +…+ p n+1 + …. Но так как событие, состоящее в том, что все n каналов заняты, противоположно событию, состоящему в том, что не все n каналов заняты, а вероятность последнего события равна

p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n-1 , то p = 1 - (p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n-1) .

Но тогда из (11) получим:

Используя формулы (11) и (13), получим формулу для среднего числа заявок, находящихся в системе:

Выведем формулу для среднего времени ожидания заявки в очереди. Оно будет зависеть от данного среднего времени ограничивающего продолжительность пребывания заявки в очереди, для которого либо

либо найдется натуральное число i > 2 такое, что

Умножая неравенства (14) и (15) на, получим соответственно неравенства

Рассмотрим случай (14) и несовместные гипотезы состоящие в том, что система находится в состоянии. Вероятности этих гипотез

Если заявка поступит в СМО при гипотезет.е. когда система пребывает в одном из состояний в каждом из которых не все каналы заняты, то заявке не придется ожидать в очереди -она сейчас же попадет под обслуживание свободного канала. Поэтому условное математическое ожиданиеслучайной величинывремени ожидания заявки в очереди при гипотезе, представляющее собой среднее время ожидания заявки в очереди при гипотезеравно нулю:

Если заявка поступит в систему при гипотезет.е. когда СМО находится в одном из состоянийв котором все п к-п заявок (при к = п в очереди заявок нет), то среднее время освобождения одного из п занятых каналов равно, а среднее время обслуживания к-п заявок, стоящих в очереди перед поступившей в систему заявкой, равно Поэтому среднее время, необходимое для того, чтобы подошла очередь на обслуживание поступившей заявки, равно.Так как, то в силу правого неравенства (14),

Таким образом, среднее время, необходимое для того, чтобы поступившая в систему заявка была принята к обслуживанию, больше времени, ограничивающего пребывание заявки в очереди. Поэтому поступившая заявка задержится в очереди на среднее времяи покинет систему не обслуженной. Следовательно, условное математическое ожидание величиныпри гипотезе


Теперь рассмотрим те же гипотезыв случае (15). В этом случае также справедливы равенства (16).

Если заявка поступит в систему при одной из гипотез т.е., когда СМО находится в одном из состояний в котором все п каналов заняты и в очереди перед поступившей заявкой уже стоят к-п заявок (при к - n в очереди заявок нет), то так же, как и в случае (14), среднее время, необходимое для того, чтобы подошла очередь этой заявки на обслуживание, равно ограничивающим пребывание заявки. Так както, в силу левого неравенства (15),

Таким образом, среднее время, необходимое для того, чтобы пришедшая в систему заявка была принята к обслуживанию, не больше среднего времени, ограничивающего пребывание заявки в очереди. Поэтому поступившая заявка не уйдет из очереди и дождется приема на обслуживание, потратив на ожидание в очереди среднее время Следовательно, условное математическое ожидание случайной величины Т оч при гипотезе

Пусть теперь заявка поступила в систему при одной из гипотез Н ю к = n+i- т.е., когда СМО находилась в одном из состояний..., в котором все п каналов заняты и в очереди уже стоят к-п заявок. Так как то из неравенства (15):

а потому пришедшая заявка задержится в очереди на среднее время Следовательно, условное математическое ожидание случайной величины Т оч при гипотезе

По формуле полного математического ожидания получим:

В случае (15) поступившая заявка будет принята к обслуживанию, если только в момент её поступления СМО находится в одном из состояний тогда вероятность того, что заявка будет обслужена

При / = 1 формула (25) превращается в (24), поэтому для вероятности обслуживания можно записать одну формулу:

Зная вероятность обслуживания, можно вычислить вероятность ухода заявки из очереди не обслуженной:

Среднее время пребывания заявки в системе можно вычислить по формуле

где- среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и ушедшим из очереди, которое можно подсчитать па формуле

6. Построение и анализ модели систем массового обслуживания

Рассмотрим практическую задачу на использование СМО без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания в очереди.

С целью увеличения дальности беспосадочного полета производится дозаправка самолетов горючим в воздухе. В районе дозаправки постоянно дежурят два самолета-дозаправщика. Дозаправка одного самолета длится в среднем около 10 минут. Если оба самолета-дозаправщика заняты, то самолет, нуждающийся в дозаправке, некоторое время может «ожидать» (совершать полет по кругу в районе дозаправки). Среднее время ожидания - 20 минут. Самолет, не дождавшийся дозаправки, вынужден садиться на запасной аэропорт. Интенсивность полетов такова, что в среднем за 1 час в район дозаправки прибывает 12 самолетов. Определить:

Вероятность того, что самолет будет дозаправлен.

Среднее число занятых дозаправщиков.

Среднее число самолетов в очереди.

Среднее число самолетов под обслуживанием.

Необходимо вычислить основные характеристики эффективности данной СМО, при условии, что заданы следующие входные параметры:

  • · количество каналов обслуживания;
  • · интенсивность входящего потока заявок;
  • · интенсивность потока обслуживания;
  • · среднее время, ограничивающее пребывание заявок в очереди.

Рассматриваемая СМО является многоканальной системой массового обслуживания без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания. Количество каналов, интенсивность входящего потока заявок, интенсивность потока обслуживания и количество мест в очереди заданы.

В данной СМО каждый канал обслуживает в каждый момент времени одну заявку. Если в момент поступления новой заявки свободен хотя бы один канал, то пришедшая заявка поступает на обслуживание, если же заявки отсутствуют, то система простаивает.

Определим, что происходит, когда к моменту поступления заявки все каналы заняты - она становится в очередь и ожидает освобождения одного из каналов. Если в момент поступления заявки все места в очереди заняты, то эта заявка покидает систему.

Критерии эффективности функционирования СМО:

  • · Вероятность простоя системы;
  • · Вероятность отказа системы;
  • · Относительная пропускная способность.
  • · Среднее время пребывания заявки в очереди.

Данная система моделируется многоканальной СМО с «нетерпеливыми» заявками.

Параметры системы:

число каналов обслуживания n = 2 ;

интенсивность входящего поток заявок = 12 (самолетов в час);

интенсивность потока обслуживания µ = 6 (самолетов в час);

среднее время, ограничивающее пребывание заявки в очереди, следовательно, интенсивность потока уходов щ = 1/= 3 (самолета) в час.

Расчеты произведены с помощью разработанной в Turbo Pascal программе. Язык Turbo-Pascal - один из самых распространенных языков программирования компьютеров. К важным достоинствам языка Turbo-Pascal относится небольшой размер компилятора, высокая скорость трансляции программ, компиляции и их компоновки. Кроме того, удобство и высокое качество дизайна диалоговой оболочки, делают написание и отладку программ наиболее удобным в сравнении с альтернативными языками нового поколения.

Для анализа работы СМО необходимо исследовать поведение данной системы при различных входных параметрах.

В первом варианте л=12, µ=6, щ=3, число каналов n=2.

Во втором варианте л=12, µ=6, щ=3, число каналов n=3.

В третьем варианте л=12, µ=6, щ=4, число каналов n=2.

Все результаты расчетов приведены в Приложение 2.

В результате анализа полученных данных (Приложение 2), были сделаны следующие выводы.

С увеличением числа каналов увеличивается вероятность простоя системы и вероятность дозаправки на 50%.

При изменение же только времени пребывания заявки в очереди, не увеличивая кол-во каналов, изменилась интенсивность потока уходов, в результате уменьшилось число обслуживаемых самолетов и число самолетов в очереди.

По-моему мнению, необходимо набрать и обучить дополнительный обслуживающий персонал, чтобы увеличить интенсивность потока уходов, тогда будет меньше затрачиваться времени на простой дозаправщиков и не возникнет необходимости в дополнительном канале.

Хотя, выбирая наиболее оптимальные параметры, при которых работа СМО будет наиболее эффективной, нужно еще учитывать технический и экономический фактор, так как приобретение дополнительного канала обслуживания или изменение интенсивности потока уходов, требует определенных материальных затрат и затрат на подготовку кадров.



Читайте также