Инструкция

Линейный тренд выражает собой функцию: y=ax+b, гдеa – значение, на которое будет увеличено следующее значение во временном ряду;x – номер периода в определенном временном ряду (к примеру, номер месяца, дня или квартала);y – последовательность анализируемых значений (это могут быть продажи за месяц);b – точка пересечения, которая на графике будет с осью y (минимальный уровень).При этом, если значение a является больше нуля, то роста будет положительной. В свою очередь, если а меньше нуля, то динамика линейного тренда будет отрицательной.

Используйте линейный тренд для прогнозирования отдельных временных рядов, у которых данные увеличиваются или снижаются с постоянной скоростью. При построении линейного тренда можете использовать программу Excel. Например, если вам необходим линейный тренд для построения прогноза продаж по месяцам, тогда сделайте 2 переменных во временном ряду (время - месяцы и объем продаж).

Уравнение линейного тренда у вас будет же: y=ax+b, где y - объемы продаж, x - это месяцы.Постройте график в Excel. По оси x у вас получится ваш временной промежуток (1, 2, 3 - по месяцам: январь, февраль и т.д.), по оси y изменения объема продаж. После этого добавьте на графике линию тренда .

Продлите линию тренда для прогнозирования и определите ее значения. При этом вам должны быть известны только значения времени по оси X, а прогнозные значения вам необходимо рассчитать с помощью ранее указанной формулы.

Сопоставьте полученные прогнозные значения линейного тренда с фактическими данными. Таким образом вы сможете определить рост объема продаж в процентном соотношении.

Можете скорректировать прогнозируемые значения линейного тренда в том случае, если вас не устраивает рост, т.е. вы понимаете, что есть компоненты, которые на него могут повлиять. Если вы измените значение «a» в линейном тренде y=ax+b, тогда вы сможете увеличить наклон тренда . Так вы можете изменять наклон тренда , уровень тренда , или одновременно эти два показателя.

Источники:

• уравнение линейного тренда

Числовая последовательность представлена функцией вида an=f(n), которая задана на множестве натуральных чисел. В большинстве случаев в числовых последовательностях f(n) заменяется на an. Числа a1, a2, …, an – члены последовательности, причем a1 – первый, a2 – второй, аk – k-ый. На основании данных функции числовой последовательности строится график.

Вам понадобится

• - справочник по математике;
• - линейка;
• - тетрадь;
• - простой карандаш;
• - исходные данные.

Инструкция

Прежде чем приступать к построению , определите, функцией является числовая последовательность. Различают невозрастающую или неубывающую последовательность (an), для которой при любом значении n справедливым является неравенство вида: an≥an+1 или an≤an+1. При условии, что an>an+1 или an

При построении числовой последовательности обратите внимание на то, что последовательность (an) может быть ограничена снизу или сверху: для этого должно существовать

Покажем пример подробного расчета параметров уравнения тренда на основе следующих данных (см. таблицу) с использованием калькулятора .

Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b.
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов .
Система уравнений МНК:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t

t	y	t 2	y 2	t y	y(t)	(y-y cp) 2	(y-y(t)) 2	(t-t p) 2	(y-y(t)) : y
1	17.4	1	302.76	17.4	12.26	895.01	26.47	30.25	0.3
2	26.9	4	723.61	53.8	18.63	416.84	68.39	20.25	0.31
3	23	9	529	69	25	591.3	4.02	12.25	0.0872
4	23.7	16	561.69	94.8	31.38	557.75	58.98	6.25	0.32
5	27.2	25	739.84	136	37.75	404.68	111.4	2.25	0.39
6	34.5	36	1190.25	207	44.13	164.27	92.72	0.25	0.28
7	50.7	49	2570.49	354.9	50.5	11.45	0.0383	0.25	0.0039
8	61.4	64	3769.96	491.2	56.88	198.34	20.44	2.25	0.0736
9	69.3	81	4802.49	623.7	63.25	483.27	36.56	6.25	0.0872
10	94.4	100	8911.36	944	69.63	2216.84	613.62	12.25	0.26
11	61.1	121	3733.21	672.1	76	189.98	222.11	20.25	0.24
12	78.2	144	6115.24	938.4	82.38	953.78	17.46	30.25	0.0534
78	567.8	650	33949.9	4602.3	567.8	7083.5	1272.21	143	2.41

Для наших данных система уравнений имеет вид:
12a 0 + 78a 1 = 567.8
78a 0 + 650a 1 = 4602.3
Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
Получаем a 0 = 6.37, a 1 = 5.88

Примечание: значения столбца №6 y(t) рассчитываются на основе полученного уравнения тренда. Например, t = 1: y(1) = 6.37*1 + 5.88 = 12.26

Уравнение тренда

y = 6.37 t + 5.88

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда.

Средние значения:

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент эластичности


Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

Коэффициент детерминации

т.е. в 82.04 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда .
Дисперсия ошибки уравнения.

где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.

Стандартная ошибка уравнения.

3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда .
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
По таблице Стьюдента находим Tтабл
T табл (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228

>
Статистическая значимость коэффициента a 0 подтверждается. Оценка параметра a 0 является значимой и тренд у временного ряда существует..


Статистическая значимость коэффициента a 1 не подтверждается.

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда .
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими:
(a 1 - t набл S a 1 ;a 1 + t набл S a 1)
(6.375 - 2.228*0.943; 6.375 + 2.228*0.943)
(4.27;8.48)
(a 0 - t набл S a 0 ;a 0 + t набл S a 0)
(5.88 - 2.228*6.942; 5.88 + 2.228*6.942)
(-9.59;21.35)
Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента a 0 статистически незначима.
2) F-статистика. Критерий Фишера.


Fkp = 4.84
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим

Проверка на наличие автокорреляции остатков .
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция , нежели отрицательная автокорреляция . В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию , можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности : выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.

Обнаружение автокорреляции
1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения e i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения e i (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости e i от e i-1
Критерий Дарбина-Уотсона .
Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.
При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин e i .

y	y(x)	e i = y-y(x)	e 2	(e i - e i-1) 2
17.4	12.26	5.14	26.47	0
26.9	18.63	8.27	68.39	9.77
23	25	-2	4.02	105.57
23.7	31.38	-7.68	58.98	32.2
27.2	37.75	-10.55	111.4	8.26
34.5	44.13	-9.63	92.72	0.86
50.7	50.5	0.2	0.0384	96.53
61.4	56.88	4.52	20.44	18.71
69.3	63.25	6.05	36.56	2.33
94.4	69.63	24.77	613.62	350.63
61.1	76	-14.9	222.11	1574.09
78.2	82.38	-4.18	17.46	115.03
			1272.21	2313.98

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона :


Критические значения d 1 и d 2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 12 и количества объясняющих переменных m=1.
Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:
d 1 < DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.82 < 2.5, то автокорреляция остатков отсутствует .
Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
По таблице Дарбина-Уотсона для n=12 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d 1 = 1.08; d 2 = 1.36.
Поскольку 1.08 < 1.82 и 1.36 < 1.82 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков отсутствует .

Проверка наличия гетероскедастичности .
1) Методом графического анализа остатков .
В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X, а по оси ординат либо отклонения e i , либо их квадраты e 2 i .
Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.
2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена .
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена .
Присвоим ранги признаку Y и фактору X. Найдем сумму разности квадратов d 2 .
По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

t табл (n-m-1;α/2) = (10;0.05/2) = 2.228
Поскольку Tнабл < tтабл, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим.
Проверим гипотезу H 0: гетероскедастичность отсутствует.
Поскольку 2.228 > 0.45, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

t	e i	ранг X, d x	ранг e i , d y	(d x - d y) 2
1	-5.14	1	4	9
2	-8.27	2	2	0
3	2	3	7	16
4	7.68	4	9	25
5	10.55	5	11	36
6	9.63	6	10	16
7	-0.2	7	6	1
8	-4.52	8	5	9

Лекция 4. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ТЕНДЕНЦИЙ И УРАВНЕНИЙ ТРЕНДА

В главе 2 было рассмотрено понятие о тенденции временного ряда, т.е. тенденции динамики развития изучаемого показате-ля. Задача данной главы состоит в том, чтобы рассмотреть ос-новные типы таких тенденций, их свойства, отражаемые с большей или меньшей степенью полноты уравнением линии тренда. Укажем при этом, что в отличие от простых систем ме-ханики тенденции изменения показателей сложных социальных, экономических, биологических и технических систем только с некоторым приближением отражаются тем или иным уравне-нием, линией тренда.

В данной главе рассматриваются далеко не все известные в математике линии и их уравнения, а лишь набор их сравнитель-но простых форм, который мы считаем достаточным для ото-бражения и анализа большинства встречающихся на практике тенденций временных рядов. При этом желательно всегда вы-бирать из нескольких типов линий, достаточно близко выра-жающих тенденцию, более простую линию. Этот «принцип простоты» обоснован тем, что чем сложнее уравнение линии тренда, чем большее число параметров оно содержит, тем при равной степени приближения труднее дать надежную оценку этих параметров по ограниченному числу уровней ряда и тем больше ошибка оценки этих параметров, ошибки прогнозиру-емых уровней.

4.1. Прямолинейный тренд и его свойства

Самым простым типом линии тренда является прямая ли-ния, описываемая линейным (т.е. первой степени) уравнением тренда:

Где - выровненные, т.е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номером i;

а - свободный член уравнения, численно равный среднему выровненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета, т.е. для

t = 0;

b - средняя величина изменения уровней ряда за единицу из-менения времени;

ti - номера моментов или периодов времени, к которым от-носятся уровни временного ряда (год, квартал, месяц, дата).

Среднее изменение уровней ряда за единицу времени - глав-ный параметр и константа прямолинейного тренда. Следова-тельно, этот тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерных изменений уровней: равных в среднем абсолютных приростов или абсолютных сокращений уровней за равные промежутки времени. Практика показывает, что та-кой характер динамики встречается достаточно часто. Причи-на близких к равномерному абсолютных изменений уровней ряда состоит в следующем: многие явления, как, например, урожай-ность сельскохозяйственных культур, численность населения региона, города, сумма дохода населения, среднее потребление какого-либо продовольственного товара и др., зависят от боль-шого числа различных факторов. Одни из них влияют в сторо-ну ускоренного роста изучаемого явления, другие - в сторону замедленного роста, третьи - в направлении сокращения уров-ней и т.д. Влияние разнонаправленных и разноускоренных (за-медленных) сил факторов взаимно усредняется, частично взаимно погашается, а равнодействующая их влияний приобре-тает характер, близкий к равномерной тенденции. Итак, равно-мерная тенденция динамики (или застоя) - это результат сложения влияния большого количества факторов на изменение изучаемого показателя.

Графическое изображение прямолинейного тренда - прямая линия в системе прямоугольных координат с линейным (ариф-метическим) масштабом на обеих осях. Пример линейного тренда дан на рис. 4.1.

Абсолютные изменения уровней в разные годы не были точно одинаковыми, но общая тенденция сокращения численности занятых в народном хозяйстве очень хорошо отражает-ся прямолинейным трендом. Его параметры вычислены в гл. 5 (табл. 5.3).

Основные свойства тренда в форме прямой линии таковы:

Равные изменения за равные промежутки времени;

Если средний абсолютный прирост - положительная вели-чина, то относительные приросты или темпы прироста посте-пенно уменьшаются;

Если среднее абсолютное изменение - отрицательная вели-чина, то относительные изменения или темпы сокращения по-степенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;

Если тенденция к сокращению уровней, а изучаемая вели-чина является по определению положительной, то среднее изме-нение b не может быть больше среднего уровня а;

При линейном тренде ускорение, т.е. разность абсолютных изменений за последовательные периоды, равно нулю.

Свойства линейного тренда иллюстрирует табл. 4.1. Урав-нение тренда: = 100 +20 *ti.

Показатели динамики при наличии тенденции сокращения уровней приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.1

Показатели динамики при линейном тренде к увеличению уровней = 100 +20 *ti.

Номер периода ti	Уровень		Темпы (цеп-ные), %	Ускоре-ние
1	120	+20	120,0	-
2	140	+20	116,7	0
3	160	+20	114,3	0
4	180	+20	112,5	0
5	200	+20	111,1	0
6	220	+20	110,0	0

Таблица 4.2

Показатели динамики при линейном тренде сокращения уровней: = 200 -20 *ti.

Номер периода ti	Уровень	Абсолютное изме-нение к предыду-щему периоду	Темп к предыдущему периоду, %	Ускоре-ние
1	180	-20	90,0	-
2	160	-20	88,9	0
3	140	-20	87,5	0
4	120	-20	85,7	0
5	100	-20	83,3	0
6	80	-20	80,0	0

^ 4.2. Параболический тренд и его свойства

Под названием параболического будем иметь в виду тренд, выраженный параболой II порядка с уравнением

=a+b*t+c*t 2 .

Параболы III порядка и более высоких порядков редко приме-нимы для выражения тенденции динамики и слишком сложны для получения надежных оценок параметров при ограничен-ной длине временного ряда. Прямую линию, с точки зрения ма-тематики, можно также считать одним из видов парабол - параболой I порядка, которая уже рассмотрена ранее.

Значения (смысл, сущность) параметров параболы II поряд-ка таковы: свободный член а - это средний (выровненный) уро-вень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. t = 0; b - это средний за весь период среднегодовой прирост, который уже не является константой, а изменяется рав-номерно со средним ускорением, равным 2 с, которое и служит константой, главным параметром параболы II порядка.

Следовательно, тренд в форме параболы II порядка при-меняется для отображения таких тенденций динамики, кото-рым свойственно примерно постоянное ускорение абсолютных изменений уровней. Процессы такого рода встречаются на практике гораздо реже, чем процессы с равномерным измене-нием, но, с другой стороны, любое отклонение процесса от строго равномерного прироста (или сокращения) уровней можно интерпретировать как наличие ускорения. Более того, существует строгое математическое правило: чем выше поря-док параболы, тем ближе линия тренда к уровням исходного временного ряда. Если это правило довести до крайнего пре-дела, то любой ряд из п уровней может быть точно отображен параболой (п -1)-го порядка! (Через любые две точки прохо-дит одна прямая, через три точки - одна парабола II порядка и т.д.) Такое «приближение» линии тренда к эмпирическому ряду, содержащему как тенденцию, так и колебания, нельзя считать достижением научного анализа. Напротив, применяя параболу более высокого порядка там, где сущность процес-са этого не требует, а только ради уменьшения остаточной суммы отклонений (или их квадратов) отдельных уровней от тренда, исследователь уходит от цели, смешивая тренд с коле-баниями.

ПараболаII порядка, как уравнение тренда, применяется к различным процессам, которые на некотором, как правило не-продолжительном, этапе развития имеют примерно постоян-ное ускорение абсолютного прироста уровней. Такими бывают рост населения отдельных городов или регионов, ускоренное увеличение объема продукции в фазе циклического подъема, как, например, динамика экспорта Японии в 1988-1995 гг. на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Динамика экспорта Японии

Расчет уравнения этой параболы приведен в гл. 5. Основные свойства тренда в форме параболы II порядка та-ковы:

1) неравные, но равномерно возрастающие или равномерно убывающие абсолютные изменения за равные промежутки вре-мени;

2) парабола, рассматриваемая относительно ее математи-ческой формы, имеет две ветви: восходящую с увеличением уровней признака и нисходящую с их уменьшением. Но отно-сительно статистики по содержанию изучаемого процесса из-менений трендом, выражающим определенную тенденцию развития, чаще всего можно считать только одну из ветвей:

Либо восходящую, либо нисходящую. В особых, более конк-ретных, ситуациях мы не отрицаем возможности объединения обеих ветвей в единый тренд;

3) так как свободный член уравнения а как значение показа-теля в начальный момент (период) отсчета времени, как правило, величина положительная, то характер тренда определяется знаками параметров b и с:

А) при b >0 и с>0 имеем восходящую ветвь, т.е. тенденцию к ускоренному росту уровней;

Б) при b <0 и с<0 имеем нисходящую ветвь - тенденцию к ускоренному сокращению уровней;

В) при b > 0 и с<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляю-щимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, восходящую и нисходящую, если их по существу можно считать единым про-цессом;

Г) при b <0 и с>0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляю-щимся сокращением уровней, либо обе ветви - нисходящую и восходящую, если их можно считать единой тенденцией;

4) при параболической форме тренда, в зависимости от со-отношений между его параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время возрастать, но при достаточно длительном периоде рано или поздно темпы роста обязательно начинают уменьшаться, а темпы сокращения уровней при b <0 и с<0 обязательно начинают возрастать (по абсолютной величине относительного изменения).

Ввиду ограниченного объема учебника рассмотрим не все четыре случая параболических трендов, а лишь два первых (табл. 4.3 и 4.4).

Таблица 4.3

Показатели динамики при параболическом тренде,

Номер периода ti	Уровень	Абсолютное изменение		Ускоре-ние
1	122	+22	122,0	-
2	148	+26	121,3	+4
3	178	+30	120,3	+4
4	212	+34	119,1	+4
5	250	+38	117,9	+4
6	292	+42	116,8	+4

^ Таблица 4.4

Показатели динамики при параболическомтренде,

Номер перио-да	Уро-вень	Абсо-лютные измене-ния	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Уско-рение	Цепное относи-тельное измене-ние, % к преды-дущему периоду
1	178	-22	89,0	-	-11,0
2	152	-26	85,4	-4	-14,6
3	122	-30	80,3	-4	-19,7
4	88	-34	72,1	-4	-27,9
5	50	-38	56,8	-4	-43,2
6	8	-42	16,0	-4	-84,0

В тех случаях, когда по существу изучаемого процесса до-пустимо считать единым трендом обе ветви параболы, пред-ставляет большой интерес решение задачи о нахождении того периода или момента времени, когда уровень тренда достигает максимума (когда b >0, с<0) или минимума (если b <0, с>0). Эк-стремальная точка параболы = а + bt + ct 2 достигается при ну-левом значении первой производной:

^ 4.3. Экспоненциальный тренд и его свойства

Экспоненциальным трендом называют тренд, выраженный уравнением: . Свобод-ный член экспоненты а равен выровненному уровню, т.е. уров-ню тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. при t = 0. Основной параметр экспоненциального тренда k является постоянным темпом изменения уровней (цен-ным). Если k > 1, имеем тренд с возрастающими уровнями, при-чем это возрастание не просто ускоренное, а с возрастающим ускорением и возрастающими производными всех более высо-ких порядков. Если k < 1, то имеем тренд, выражающий тенден-цию постоянного, но замедляющегося сокращения уровней, причем замедление непрерывно усиливается. Экстремума экс-понента не имеет и при
стремится либо к
при k > 1, либо к 0 при k < 1.

Экспоненциальный тренд характерен для процессов, разви-вающихся в среде, не создающей никаких ограничений для рос-та уровня. Из этого следует, что на практике он может развиваться только на ограниченном промежутке времени, так как любая среда рано или поздно создает ограничения, любые ресурсы со временем исчерпаемы. Однако практика показала что, например, численность населения Земли на протяжении 1950-1985 гг. возрастала примерно по экспоненте со среднего-довым темпом роста k = 1,018 и за это время возросла вдвое - с 2,5 до 5 млрд. чел. (рис. 4.3). В настоящее время темп роста насе-ления постепенно уменьшается.

Экспоненциальный рост объема реализации и производства происходит при возникновении новых видов продукции и их освоении промышленностью: при появлении цветных телеви-зоров, видеомагнитофонов, пейджеров и т.п., но когда произ-водство начинает наполнять рынок, приближаться к спросу, экспоненциальный рост прекращается.

Рис. 4.3. Рост народонаселения Земли

Расчет экспоненциального тренда дан в гл. 5. Основные свойства экспоненциального тренда:

1. Абсолютные изменения уровней тренда пропорциональ-ны самим уровням.

2. Экспонента экстремумов не имеет: при k > 1 тренд стремит-ся к +, при k < 1 тренд стремится к нулю.

3. Уровни тренда представляют собой геометрическую про-грессию: уровень периода с номером t = т есть a * k m .

4. При k > 1 тренд отражает ускоряющийся неравномерно рост уровней, при k < 1 тренд отражает замедляющееся неравномерно уменьшение уровней. Поведение основных показателей дина-мики в этих случаях рассмотрено в табл. 4.5 и 4.6.

В табл. 4.5 и 4.6 в последней графе приведены редко приме-няемые показатели динамики III порядка: ускорение (или при-рост) ускорения и замедление ускорения. Эти абсолютные показатели даны для наглядного пояснения главного отличия экспоненциального тренда от парабол любого порядка: экспо-нента не имеет постоянных производных любого порядка по времени. Постоянен только цепной темп изменения.

Номер периода	Уровень	Абсолютные изменения (цепные)	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Ускорение	Прирост ускорения к предыдущему периоду
1	120,00	+20,00	120	-	-
2	144,00	+24,00	120	+4,00	-
3	172,80	+28,80	120	+4,80	+0,80
4	207,36	+34,56	120	+4,76	+0,96
5	248,83	+41,47	120	+6,81	+1,15
6	298,60	+49,77	120	+8,30	+1,39

Номер периода	Уровень	Абсолютные изменения (цепные)	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Ускорение	Замедление ускорения
1	160,00	40,00	80	-	-
2	128,0	-32,00	80	+8,00	-
3	102,40	-25,60	80	+6,40	-1,60
4	81,92	-20,48	80	+5,12	-1,28
5	65,54	-16,38	80	+4,10	-1,02
6	52,43	-13,11	80	+3,27	-0,83

Читатель может заинтересоваться и таким вопросом: как на-звать тенденцию динамики, при которой и темп изменения был бы непостоянен, а имел постоянное абсолютное или относи-тельное изменение, например, уравнение типа или и т.д. Подобные «гиперэкспоненты» не применяют-ся статистикой, ибо любой, сколь угодно быстрый, сколь угодно ускоряющийся рост может быть отображен обычной экспонентой - стоит лишь уменьшить период, за который происходит возрастание (или сокращение) уровней в k раз. По своему суще-ству экспоненциальное развитие процесса и есть предельно воз-можное, предельно благоприятное по условиям развития, так как оно осуществляется в среде, не ограничивающей развитие данного процесса. Но следует помнить, что это происходит толь-ко до определенного времени, так как каждая среда, каждый ре-сурс в природе ограничен. Единственный спорный в науке процесс, по которому до сих пор нет доказательства ограничен-ности его во времени, - это экспоненциальное замедляющееся расширение Вселенной. Ограничено ли оно и сменится ли со временем сжатием или будет продолжаться бесконечно, зави-сит от значения средней плотности вещества и излучения во Вселенной, которую пока науке установить не удалось, ибо не все формы существования вещества и полей науке извест-ны. Зато интересно знать, что самый фундаментальный про-цесс, охватывающий всю известную Вселенную, уже, по крайней мере, 12-15 млрд. лет развивается по экспоненте.

^ 4.4. Гиперболический тренд и его свойства

Из различных форм гипербол рассмотрим только наиболее простую:

Если основной параметр гиперболы b >0, то этот тренд вы-ражает тенденцию замедляющегося снижения уровней и при .. Таким образом, свободный член гиперболы - это предел, к которому стремится уровень тренда.

Такая тенденция наблюдается, например (рис. 4.4), при изу-чении процесса снижения затрат любого ресурса (труда, мате-риалов, энергии) на единицу данного вида продукции или ее себестоимости в целом. Затраты ресурса не могут стремиться к нулю, значит, экспонента не соответствует сущности процесса; нужно применить гиперболическую формулу тренда.

Если параметр b <0, то с возрастанием t , т.е. с течением вре-мени, уровни тренда возрастают и стремятся к величине а при .

Такой характер динамики присущ, например, показателям КПД двигателей или иных преобразователей энергии (трансфор-матор тока, фотоэлемент и т.п.). По мере развития научно-тех-нического прогресса эти КПД постепенно повышаются, но никогда не могут превысить определенного предела для каждо-го типа двигателя и не могут превысить 100% в принципе для любого преобразователя энергии. При расчете гиперболического тренда нельзя нумеровать года от середины ряда, так как значения 1/ti должны быть всегда положительными.

Основные свойства гиперболического тренда:

1. Абсолютный прирост или сокращение уровней, ускоре-ние абсолютных изменений, темп изменения - все эти показате-ли не являются постоянными. При b >0 уровни замедленно уменьшаются, отрицательные абсолютные изменения, а также положительные ускорения тоже уменьшаются, цепные темпы из-менения растут и стремятся к 100%.

Рис. 4.4. Динамика расхода условного топлива на производство электроэнергии (г на 1 кВт-ч) на электростанциях региона

2. При b <0 уровни замедленно возрастают, положительные абсолютные изменения, а также отрицательные ускорения и цеп-ные темпы роста замедленно уменьшаются, стремясь к 100%.

Как видим, гиперболический тренд описывает в любом слу-чае тенденцию такого процесса, показатели которого со време-нем затухают, т.е. происходит переход от движения к застою. Иллюстрацией этих свойств может служить табл. 4.7.

Таблица 4.7

Показатели динамики при гиперболическом тренде:

Номер периода	Уровень	Абсолютные изменения (цепные)	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Ускорение
1	200,0	-	-	-
2	150,0	-50,0	75,0	-
3	133,0	-16,7	88,9	+33,3
4	125,0	-8,3	93,8	+8,4
5	120,0	-5,0	96,0	+3,3
6	116,7	-3,3	97,2	+1,7

^ 4.5. Логарифмический тренд и его свойства

Если изучаемый процесс приводит к замедлению роста ка-кого-то показателя, но при этом рост не прекращается, не стремится к какому-либо ограниченному пределу, то гипербо-лическая форма тренда уже не подходит. Тем более не подходит парабола с отрицательным ускорением, по которой замедляю-щийся рост перейдет со временем в снижение уровней. В указан-ном случае тенденция изменения лучше всего отображается логарифмической формой тренда: = a + b ln .

Логарифмы возрастают значительно медленнее, чем сами числа (номера периодов ), но рост логарифмов неограничен. Подбирая начало отсчета периодов (моментов) времени, мож-но найти такую скорость снижения абсолютных изменений, ко-торая наилучшим образом отвечает фактическому временному ряду.

Примером тенденций, соответствующих логарифмическому тренду, может служить динамика рекордных достижений в спорте: известно, что увеличение на 1 см рекорда прыжка в вы-соту или снижение на 0,1 с времени бега на 200 или 400 м требует все больших и больших затрат времени, каждый рекорд дается все большим и большим трудом. В то же время нет и «вечных» рекордов, все спортивные достижения улучшаются, но медлен-нее и медленнее, т.е. по логарифмическому тренду. Нередко та-кой же характер динамики присущ на отдельных этапах развития динамике урожайности или валового сбора какой-то культуры в данном регионе, пока новое агротехническое достижение не при-даст снова тенденции ускорения, что иллюстрирует рис. 4.5.

Конечно, характер тенденции маскируется колебаниями, но видно, что рост валового сбора замедляется. Это показывают и средние уровни сбора чая:

За 1978-1983 гг. средний сбор равен 333 тыс. т;

За 1984-1989 гг. средний сбор равен 483 тыс. т, рост на 150 тыс.т;

За 1990-1994 гг. средний сбор равен 566 тыс. т, рост на 83 тыс.т.

На рис. 4.5 для убедительности нанесен и логарифмический тренд, расчет

Рис. 4.5. Динамика валового сбора чая в Китае

Которого дан в гл. 5. Заметны также 5-6-летние циклические колебания валового сбора чая.

Основные свойства логарифмического тренда:

1. Если b >0, то уровни возрастают, но с замедлением, а если b <0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением.

2. Абсолютные изменения уровней по модулю всегда умень-шаются со временем.

3. Ускорения абсолютных изменений имеют знак, противо-положный самим абсолютным изменениям, а по модулю посте-пенно уменьшаются.

4. Темпы изменения (цепные) постепенно приближаются к 100% при .

Можно сделать общий вывод о том, что логарифмический тренд отражает, так же как и гиперболический тренд, посте-пенно затухающий процесс изменений. Различие состоит в том, что затухание по гиперболе происходит быстро при приближе-нии к конечному пределу, а при логарифмическом тренде зату-хающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее.

^ 4.6. Логистический тренд и его свойства

Логистическая форма тренда подходит для описания такого процесса, при котором изучаемый показатель проходит полный цикл развития, начиная, как правило, от нулевого уровня, сна-чала медленно, но с ускорением возрастая, затем ускорение ста-новится нулевым в середине цикла, т.е. рост происходит по линейному тренду, затем, в завершающей части цикла, рост за-медляется по гиперболе по мере приближения к предельному значению показателя.

Примером такого цикла динамики может служить измене-ние доли грамотного населения в стране, например в России, с 1800 г. до наших дней, или изменение доли семей, имеющих те-левизоры, примерно с 1945 до 2000 г. в России, доли жилищ в городах, имеющих горячее водоснабжение или центральное ото-пление (процесс, еще не законченный). В некоторых зарубеж-ных программах для компьютеров логистическая кривая называется S-образной кривой.

Можно, конечно, логистическую тенденцию считать объе-динением трех разных по типу тенденций: параболической с ускоряющимся ростом на первом этапе, линейной - на втором и гиперболической с замедляющимся ростом - на третьем этапе. Но есть доводы и в пользу рассмотрения всего цикла развития как особого единого типа тенденции со сложными, переменными свойствами, но постоянным направлением из-менений в сторону увеличения уровней в рассмотренных нами примерах или уменьшения уровней, если взять противополож-ный процесс - сокращение доли неграмотных среди населе-ния, доли жилищ, не оборудованных газоснабжением или центральным отоплением, и т.д.

Рассмотрение таких временных рядов, как проявление еди-ной логистической тенденции, позволяет уже на первом этапе рассчитать всю траекторию развития, определить сроки пере-хода от ускоренного роста к замедленному, что чрезвычайно важно при планировании производства или реализации нового вида товара, спрос на который будет проходить все этапы логи-стической тенденции вплоть до насыщения рынка. Так, напри-мер, обеспеченность населения в России автомобилями в конце 1980-х годов находилась на начальном этапе логистической кри-вой, и это означало, что предстоит еще ряд лет или даже десяти-летий ускоренного роста спроса. В то же время обеспеченность фотоаппаратами уже достигла этапа замедления роста, и это означало, что расширять производство или импорт прежних типов фотоаппаратов не следует. Расширение их рынка возмож-но было только для принципиально новых типов фотоаппара-тов, насыщенность которыми еще находится в самом начале первого этапа.

В вышеописанном диапазоне изменения уровней, т.е. от нуля до единицы, уравнение логистического тренда имеет вид:

должно быть примерно равно -10. Чем больше , тем быст-рее будут снижаться уровни, например, при = -10; = 1, уже при = 20 уровни снизятся почти до нуля.

Если же диапазон изменения уровней ограничен не нулем и единицей, а любыми значениями, определяемыми исходя из су-щества задачи, обозначаемыми то формула логис-тического тренда принимает вид:

Как видно из табл. 4.8, абсолютные изменения нарастают до середины периода, затем уменьшаются. Все они положитель-ны. Ускорения сначала возрастают, а после середины периода снижаются, становятся отрицательными, но уменьшаются по мо-дулю. Сумма положительных и отрицательных ускорений при-ближенно равна нулю (если ряд продлить от - до +, то сумма их точно равна нулю). Темпы роста возрастают до конца пер-вой половины ряда, затем снижаются. Если ряд достаточно длин-ный, то темпы начинаются со 100 % и завершаются на 100%.

Таблица 4.8

Показатели динамики при логистическом тренде:

Номер периода	Уровень	Абсолютные изме-нения к предыдуще-му периоду	Ускоре-ние	Темп роста к предыдущему периоду, %
0	51,0	-	-	-
1	54,4	+3,4	-	106,7
2	67,9	+13,5	+10,1	124,8
3	106,6	+38,7	+25,2	157,0
4	159,7	+53,1	+14,4	149,8
5	188,6	+28,8	-24,2	118,1
6	197,3	+8,7	-20,2	104,6
7	199,4	+2,1	-6,6	101,1

При логистическом тренде со снижающимися уровнями по-казатели динамики изменяются в следующем порядке: отрица-тельные абсолютные изменения по модулю возрастают до середины ряда и снижаются к концу, стремясь к нулю при . Ускорения в первой половине периода отрицательные и по мо-дулю возрастающие; во второй половине периода ускорения положительные и уменьшающиеся в пределе до нуля. Темпы изменений все меньше 100%, в конце первой половины периода наименьшие, во второй половине возрастающие с замедлением до 100% в пределе. Графическое изображение логистического тренда приведено на рис. 5.2.

Тренд - это закономерность описывающая подъем или падение показателя в динамике. Если изобразить любой динамический ряд (статистические данные, представляющие собой список зафиксированных значений изменяемого показателя во времени) на графике, часто выделяется определенный угол – кривая либо постепенно идет на увеличение или на уменьшение, в таких случаях принято говорить, что ряд динамики имеет тенденцию (к росту или падению соответственно).

Тренд как модель

Если же построить модель, описывающую это явление, то получается довольно простой и очень удобный инструмент для прогнозирования не требующий каких-либо сложных вычислений или временных затрат на проверку значимости или адекватности влияющих факторов.

Итак, что же собой представляет тренд как модель? Это совокупность расчетных коэффициентов уравнения, которые выражают регрессионную зависимость показателя (Y) от изменения времени (t). То есть, это точно такая же регрессия, как и те, что мы рассматривали ранее, только влияющим фактором здесь выступает именно показатель времени.

Важно!

В расчетах под t обычно подразумевается не год, номер месяца или недели, а именно порядковый номер периода в изучаемой статистической совокупности – динамическом ряде. К примеру, если динамический ряд изучается за несколько лет, а данные фиксировались ежемесячно, то использовать обнуляющуюся нумерацию месяцев, с 1 по 12 и опять сначала, в корне неверно. Также неверно в случае, если изучение ряда начинается, к примеру, с марта месяца в качестве значения t использовать 3 (третий месяц в году), если это первое значение в изучаемой совокупности, то его порядковый номер должен быть 1.

Модель линейного тренда

Как и любая другая регрессия, тренд может быть как линейным (степень влияющего фактора t равна 1) так и нелинейным (степень больше или меньше единицы). Так как линейная регрессия является самой простейшей, хотя далеко не всегда самой точной, то рассмотрим более детально именно этот тип тренда.

Общий вид уравнения линейного тренда:

Y(t) = a 0 + a 1 *t + Ɛ

Где a 0 – это нулевой коэффициент регрессии, то есть, то каким будет Y в случае, если влияющий фактор будет равен нулю, a 1 – коэффициент регрессии, который выражает степень зависимости исследуемого показателя Y от влияющего фактора t, Ɛ – случайная компонента или стандартная ошибка, по сути являет собой разницу между реально существующими значениями Y и расчетными. t – это единственный влияющий фактор – время.

Чем более выраженная тенденция роста показателя или его падения, тем будет больше коэффициент a 1 . Соответственно, предполагается, что константа a 0 совместно со случайной компонентой Ɛ отражают остальные регрессионные влияния, помимо времени, то есть всех прочих возможных влияющих факторов.

Рассчитать коэффициенты модели можно стандартным Методом наименьших квадратов (МНК). Со всеми этими расчетами Microsoft Excel справляется на ура самостоятельно, при чем, чтобы получить модель линейного тренда либо готовый прогноз существует целых пять способов, которые мы по отдельности разберем ниже.

Графический способ получения линейного тренда

В этом и во всех дальнейших примерах будем использовать один и тот же динамический ряд – уровень ВВП, который вычисляется и фиксируется ежегодно, в нашем случае исследование будет проходить на периоде с 2004-го по 2012-й гг.

Добавим к исходным данным еще один столбец, который назовем t и пометим цифрами по возрастающей порядковые номера всех зафиксированных значений ВВП за указанный период с 2004-го по 2012-й гг. – 9 лет или 9 периодов .

Эксель добавит пустое поле – разметку под будущий график, выделяем этот график и активируем появившуюся вкладку в панели меню – Конструктор , ищем кнопку Выбрать данные , в отрывшемся окне жмем кнопочку Добавить . Всплывшее окошко предложит выбрать данные для построения диаграммы. В качестве значения поля Имя ряда выбираем ячейку, которая содержит текст, наиболее полно отвечающий названию графика. В поле Значения X указываем интервал ячеек стобца t – влияющего фактора. В поле Значения Y указываем интервал ячеек столбца с известными значениями ВВП (Y) – исследуемого показателя.

Заполнив указанные поля, несколько раз нажимаем кнопку ОК и получаем готовый график динамики. Теперь выделяем правой кнопкой мыши саму линию графика и из появившегося контекстного меню выбираем пункт Добавить линию тренда

Откроется окошко для настройки параметров построения линии тренда, где среди типов моделей выбираем Линейная , ставим галочки напротив пунктов Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R2 , этого будет достаточно чтобы на графике отобразилась уже построенная линия тренда, а также математический вариант отображения модели в виде готового уравнения и показатель качества модели R 2 . Если вас интересует отображение на графике прогноза, чтобы визуально оценить отрыв исследуемого показателя укажите в поле Прогноз вперед на количество интересующих периодов.

Собственно это все, что касается этого способа, можно конечно добавить, что отображаемое уравнение линейного тренда это и есть непосредственно сама модель, которую можно использовать, в качестве формулы, чтобы получить расчетные значения по модели и соответственно точные значения прогноза (прогноз отображаемый на графике, оценить можно лишь приблизительно), что мы и сделали в приложенному к статье примере.

Построение линейного тренда с помощью формулы ЛИНЕЙН

Суть этого метода сводится к поиску коэффициентов линейного тренда с помощью функции ЛИНЕЙН , затем, подставляя эти влияющие коэффициенты в уравнение, получим прогнозную модель.

Нам потребуется выделить две рядом стоящие ячейки (на скриншоте это ячейки A38 и B38), далее в строке формул вверху (выделено красным на скриншоте выше) вызываем функцию, написав «=ЛИНЕЙН(», после чего эксель выведет подсказки того, что требуется для этой функции, а именно:

1. выделяем диапазон с известными значениями описываемого показателя Y (в нашем случае ВВП, на скриншоте диапазон выделен синим) и ставим точку с запятой
2. указываем диапазон влияющих факторов X (в нашем случае это показатель t, порядковый номер периодов, на скриншоте выделено зеленым) и ставим точку с запятой
3. следующий по порядку требуемый параметр для функции – это определение того нужно ли рассчитывать константу, так как мы изначально рассматриваем модель с константой (коэффициент a 0 ), то ставим либо «ИСТИНА» либо «1» и точку с запятой
4. далее нужно указать требуется ли расчет параметров статистики (в случае, если бы мы рассматривали этот вариант, то изначально пришлось бы выделить диапазон «под формулу» на несколько строк ниже). Указывать необходимость расчета параметров статистики, а именно стандартного значение ошибки для коэффициентов, коэффициента детерминированности, стандартной ошибки для Y, критерия Фишера, степеней свободы и пр. , есть смысл только тогда, когда вы понимаете, что они означают, в этом случае ставим либо «ИСТИНА», либо «1». В случае упрощенного моделирования, которому мы пытаемся научиться, на этом этапе прописывания формулы, ставим «ЛОЖЬ» либо «0» и добавляем после закрывающую скобочку «)»
5. чтобы «оживить» формулу, то есть заставить ее работать после прописывания всех необходимых параметров, не достаточно нажать кнопку Enter, необходимо последовательно зажать три клавиши: Ctrl, Shift, Enter

Как видим на скриншоте выше, выделенные нами под формулу ячейки заполнились расчетными значениями коэффициентов регрессии для линейного тренда, в ячейке B38 находится коэффициент a 0 , а в ячейке A38 - коэффициент зависимости от параметра t (или x ), то есть a 1 . Подставляем полученные значения в уравнение линейной функции и получаем готовую модель в математическом выражении – y = 169 572,2+138 454,3*t

Чтобы получить расчетные значения Y по модели и, соответственно, чтобы получить прогноз, нужно просто подставить формулу в ячейку экселя, а вместо t указать ссылку на ячейку с требуемым номером периода (смотрите на скриншоте ячейку D25 ).

Для сравнения полученной модели с реальными данными, можно построить два графика, где в качестве Х указать порядковый номер периода, а в качестве Y в одном случае – реальный ВВП, а, в другом – расчетный (на скриншоте диаграмма справа).

Построение линейного тренда с помощью инструмента Регрессия в Пакете анализа

В статье , по сути, полностью описан этот метод, единственная же разница в том, что в наших исходных данных только один влияющий фактор Х (номер периода – t ).

Как видно на рисунке выше, диапазон данных с известными значениями ВВП выделен как входной интервал Y , а соответствующий ему диапазон с номерами периодов t – как входной интервал Х . Итоги расчетов Пакетом анализа выносятся на отдельный лист и выглядит как набор таблиц (см. рисунок ниже) на котором нас интересуют ячейки, которые были закрашены мною в желтый и зеленый цвета. По аналогии с порядком, расписанным в указанной выше статье, из полученных коэффициентов собирается модель линейного тренда y=169 572,2+138 454,3*t , на основе которой и делаются прогнозы.

Прогнозирование с помощью линейного тренда через функцию ТЕНДЕНЦИЯ

Этот метод отличается от предыдущих тем, что он пропускает необходимые ранее этапы расчета параметров модели и подстановки полученных коэффициентов вручную в качестве формулы в ячейку, чтобы получить прогноз, эта функция как раз и выдает уже готовое рассчитанное прогнозное значение на основе известных исходных данных.

В целевую ячейку (ту ячейку, где хотим видеть результат) ставим знак равно и вызываем волшебную функцию, прописав «ТЕНДЕНЦИЯ(», далее необходимо выделить , то есть , после ставим точку с запятой и выделяем диапазон с известными значениями Х, то есть с номерами периодов t , которые соответствуют столбцу с известными значениями ВВП, опять ставим точку с запятой и выделяем ячейку с номером периода, для которого мы делаем прогноз (правда, в нашем случае, номер периода можно указать не ссылкой на ячейку, а просто цифрой прямо в формуле), далее ставим еще одну точку с запятой и указываем ИСТИНА или 1 , в качестве подтверждения для расчета коэффициента a 0 , наконец, ставим закрывающую скобочку и нажимаем клавишу Enter .

Минус данного метода в том, что он не показывает ни уравнения модели, ни его коэффициентов, из-за чего нельзя сказать, что на основе такой-то модели мы получили такой-то прогноз, также как и нет какого-либо отражения параметров качества модели, того таки коэффициента детерминации, по которому можно было бы сказать имеет ли смысл брать во внимание полученный прогноз или нет.

Прогнозирование с помощью линейного тренда через функцию ПРЕДСКАЗ

Суть данной функции целиком и полностью идентична предыдущей, разница лишь в порядке прописывания исходных данных в формуле и в том, что нет настройки для наличия или отсутствия коэффициента a 0 (то есть функция подразумевает, что этот коэффициент, в любом случае, есть)

Как видно с рисунка выше, в целевую ячейку прописываем «=ПРЕДСКАЗ(» и затем указываем ячейку с номером периода , для которого необходимо просчитать значение по линейному тренду, то есть прогноз, после ставим точку с запятой, далее выделяем диапазон известных значений Y , то есть столбец с известными значениями ВВП , после ставим точку с запятой и выделяем диапазон с известными значениями Х , то есть с номерами периодов t , которые соответствуют столбцу с известными значениями ВВП и, наконец, ставим закрывающую скобочку и жмем клавишу Enter .

Полученные результаты, как и в методе выше, это лишь готовый результат расчета прогнозного значения по линейной трендовой модели, он не выдает ни погрешностей, ни самой модели в математическом выражении.

Подводя итог к статье

Можно сказать, что каждый из методов может быть наиболее приемлемым среди прочих в зависимости от текущей цели, которую мы ставим перед собой. Первые три метода пересекаются между собой как по смыслу, так и по результату, и годятся для любой более или менее серьезной работы, где необходимо описание модели и ее качества. В свою очередь, последние два метода также идентичны между собой и максимально быстро вам дадут ответ, например, на вопрос: «Какой прогноз продаж на следующий год?».

При использовании полиномов разных степеней оценка параметров уравнения тренда производится методом наименьших квадратов (МНК) точно так же, как оценки параметров уравнения регрессии на основе пространственных данных. В качестве зависимой переменной рассматриваются уровни динамического ряда, а в качестве независимой переменной – фактор времени t, который обычно выражается рядом натуральных чисел 1, 2, ..., п.

Оценка параметров нелинейных функций проводится МНК после линеаризации, т.е. приведения их к линейному виду. Рассмотрим применение МНК для некоторых нелинейных функций, которые не излагались подробно в главе, посвященной регрессии.

Для оценки параметров показательной кривой у = ab 1 или экспоненты у = е а+ы (либо у = ае ы) путем логарифмирования функции приводятся к линейному виду lny = ln a + t ln b или экспоненты: lny = a + bt. Далее строится система нормальных уравнений

Пример 5.1

Число зарегистрированных ДТП (на 100 000 человек населения) по Новгородской области за 2000–2008 гг. характеризуется данными:

Исходя из графика была выбрана показательная кривая / Для построения системы нормальных уравнений были рассчитаны вспомогательные величины

Система нормальных уравнений составила

Решая ее, получим значения

Соответственно имеем экспоненту или показательную кривую

За период с 2000 по 2008 г. число дорожно-транспортных происшествий возрастало в среднем ежегодно на 13,5%. Экспонента достаточно хорошо описывает тенденцию исходного временного ряда: коэффициент детерминации составил 0,9202. Следовательно, данный тренд объясняет 92% колеблемости уровней ряда и лишь 8% ее связаны со случайными факторами.

Некоторую специфику имеет оценка параметров кривых с насыщением: модификационной экспоненты, логистической кривой, кривой Гомперца, гиперболы вида По этим функциям должна быть сначала определена асимптота. Если она может быть задана исследователем на основе анализа временного ряда, то другие параметры могут быть оценены по МНК. В этих случаях данные функции приводятся к линейному виду. Рассмотрим оценку параметров этих кривых на отдельных примерах, начиная с модифицированной экспоненты.

Пример 5.2

Уровень механизации труда (в %) характеризуется динамическим рядом (табл. 5.2)

Таблица 5.2. Расчет параметров модифицированной экспоненты у = с ab" t

		У = с-у

Так как уровень механизации труда не может превышать 100%, то имеется объективно заданная верхняя асимптота с = 100. Для оценки параметров а и b приведем рассматриваемую функцию к линейному виду ; обозначим (с-у) через Y и прологарифмируем:

Для нашего примера, исходя из данных итоговой строки табл. 3, имеем систему уравнений

Решив ее, получим ln а = 3,06311; ln b = -0,19744. Соответственно потенцируя, получим: т.е. уравнение .

Если перейти от Y к исходным уровням ряда, уравнение модифицированной экспоненты составит , где параметр показывает средний коэффициент снижения уровня использования ручного труда за 1998–2005 гг. Расчетные значения у, т.е. могут быть найдены путем подстановки в уравнение 0,8208" соответствующих значений t. Либо на основе уравнения In 7= 3,06311 – 0,19744 г при компьютерной обработке определяется In У и далее 100 – е 1пу. Так, при t = 8 In Y = = 1,48363 и 100 – e1"48363 = 100 – 4,40892 = 95,59108 = 95,6 (см. последнюю графу таблицы). Ввиду некоторой смещенности оценок (так как МНК применяется к логарифмам) Ху, Ф Ху, хотя в примере эти величины достаточно близки друг другу.

Если асимптота с не задана, то оценка параметров модифицированной экспоненты усложняется. В этих случаях могут использоваться разные методы оценивания: метод трех сумм, метод трех точек , с помощью регрессии , метод Брианта . Рассмотрим применение метода регрессии для оценки параметров модифицированной экспоненты вида у = с – ab c.

Пример 5.3

В таблице представлены данные о расходах предприятия на рекламу за 10 мес. года.

Таблица 5.3. Данные о расходах предприятия на рекламу за 10 мес. года (в тыс. руб.)

Найдем по нашему ряду цепные абсолютные приростыг и представим их через параметры нашей функции, T.e.z = c-ab" – с + ab"~ l = ab" 1 (1 – b). Известно, что для модифицированной экспоненты логарифм абсолютных приростов линейно зависит от фактора времени t. Следовательно, можно записать, что lnz = Ιηα + (f – 1) lnb + ln(l – b). Обозначим Ιηα + ln(l – b) через d. Тогда lnz = d + (t- 1) lnb, т.е. линейное в логарифмах уравнение. Применяя МНК, получим оценки параметров d, lnb, а соответственно и параметра Ь. В рассматриваемом примере на основании граф табл. 5.3 lnz и (t – 1) было найдено уравнение регрессии: lnz = 4,519641 – 0,20882 (t – 1). Исходя из него получаем lnb = -0,20882; b = 0,811538. 4,519641 = In a + In (1 – b) = In [α (1 – b)]. Тогда α (1 – b) = e4,519641, откуда параметра =91,80264/(1-0,811538) = 487,1145.

Далее можно найти оценку параметра с как среднее значение из величин с = у + ab", найденных для каждого месяца (см. последнюю графу табл. 5.3). Предельная величина расходов на рекламу составит 516,4 тыс. руб. Искомое уравнение тренда примет вид

Рассмотренный метод применим, если абсолютные приросты – величины положительные. Если же некоторые приросты окажутся меньше нуля, то нужно проводить сглаживание уровней временного ряда методом скользящей средней.

Для логистической кривой Перла – Рида аналогично параметры а и b могут быть найдены МНК, если асимптота с задана. Тогда данная функция преобразовывается в линейную из логарифмов обозначим через Y и прологарифмируем, т.е. ). Далее параметры а и b определяются МНК, как и в примере по табл. 5.3.

Для логистической кривой вида параметры а и b могут быть оценены МНК, если асимптота с задана, так как в этом случае функция линеаризуема: ; обозначим через Y величину и прологарифмируем: Далее, применяя МНК, оцениваем параметры а и b.

При практических расчетах значение верхней асимптоты логистической кривой может быть определено исходя из существа развития явления, различного рода ограничений для его роста (нормативы потребления, законодательные акты), а также графически.

Если верхняя асимптота не задана, то для оценки параметров могут использоваться разные методы: Фишера, Юла, Родса, Нейра и др. Сравнительная оценка и обзор этих методов изложены в работе E. М. Четыркина .

Покажем на примере расчет параметров логистической кривой по методу Фишера.

Пример 5.4

Производство продукции характеризуется данными, представленными в табл. 5.4.

Таблица 5.4. Расчет параметров логистической кривой

Метод Фишера основан на определении производной для логистической кривой. Дифференцируя данную функцию по t, получим уравнение

Обозначим темп прироста логистической кривой через . Тогда , т.е. для z, имеем линейную функцию с параметрами а и . Чтобы найти решение, необходимо оценить z,. Предполагая, что интервалы между уровнями в ряду динамики равны, Фишер предложил приближенно оценивать в виде уравнения , где п - 1. Для нашего примера значения z, представлены в графе 3 табл. 5.4. Далее применяем МНК к уравнению: , т.е. строим регрессию z(оту(, беря данные от t = 2 до f = 8. Уравнение регрессии запишется в виде Исходя из него находим параметры а и с для логистической кривой. Параметр а = 0,806. Данное уравнение статистически значимо: F-критерий равен 689,6; R 2 = 0,996. Соответственно для него значимы и параметры: f-критерий для параметра а равен 47,2 и для параметра – равен -26,2. Так как , то и т.е. верхняя асимптота производства продукции составляет 403 ед.

После того, как найдены параметры а и с, находим параметр b . Для этого функциюпредставим как Обозначим через Y выражение в левой части равенства, т.е..-Тогда имеем уравнение Прологарифмируем его:. В этом уравнении свободным членом является In Ь. Его можно определить из первого уравнения системы нормальных уравнений, а именно Для нашего примера имеем уравнение . Соответственно Таким образом, логистическая кривая запишется в виде

Теоретические значения данной функции представлены в графе 6 табл. 5.4 (найдены путем подстановки соответствующих значений t). Они достаточно близко подходят к исходным данным: коэффициент корреляции между ними равен 0,999; ввиду того, что в расчетах использовались логарифмы. Если предположить, что предельное значение объема производства продукции равно 400 ед., т.е. применить МНК к уравнению , то получим и b = =67,5; параметр а при компьютерной обработке определяется как -а = -0,8. Соответственно уравнение тренда запишется в виде . Результаты двух уравнений достаточно близки.

Параметры кривой Гомперца также могут быть оценены МНК, если асимптота с задана, так как в этом случае данная функция сводима к линейному виду Прологарифмировав ее, получим уравнение .

Вторично прологарифмировав, получим уравнение , Обозначив через у*, lgb через В и Ig(lga) через А, запишем кривую Гомперца в линейном виде , для оценки параметров которой применим МНК.

При практическом применении кривой Гомперца могут возникнуть некоторые сложности по динамическому ряду с повышающейся тенденцией. В этом случае задается верхняя асимптота с и логарифмы При повторном логарифмировании в расчетах используются лишь положительные значения Продемонстрируем возможность оценки параметров кривой Гомперца с верхней асимптотой на примере динамики по предприятию товарных запасов на начало каждого месяца (тыс. долл.).

Таблица 5.5. Расчет параметров кривой Гомперца