Оценка значимости параметров уравнения регрессии
Оценка значимости параметров уравнения линейной регрессии производится с помощью критерия Стьюдента:
если t расч. > t кр, то принимается основная гипотеза (H o ), свидетельствующая о статистической значимости параметров регрессии;
если t расч. < t кр, то принимается альтернативная гипотеза (H 1 ), свидетельствующая о статистической незначимости параметров регрессии.
где m a , m b – стандартные ошибки параметров a и b:
(2.19)
(2.20)
Критическое (табличное) значение критерия находится с помощью статистических таблиц распределения Стьюдента (приложение Б) или по таблицам Excel (раздел мастера функций «Статистические»):
t кр = СТЬЮДРАСПОБР(α=1-P; k=n-2 ), (2.21)
где k=n-2 также представляет собой число степенейсвободы.
Оценка статистической значимости может быть применена и к линейному коэффициенту корреляции
где m r – стандартная ошибка определения значений коэффициента корреляции r yx
(2.23)
Ниже представлены варианты заданий для практических и лабораторных работ по тематике второго раздела.
Вопросы для самопроверки по 2 разделу
1. Укажите основные составляющие эконометрической модели и их сущность.
2. Основное содержание этапов эконометрического исследования.
3. Сущность подходов по определению параметров линейной регрессии.
4. Сущность и особенность применения метода наименьших квадратов при определении параметров уравнения регрессии.
5. Какие показатели используются для оценки тесноты взаимосвязи исследуемых факторов?
6. Сущность линейного коэффициента корреляции.
7. Сущность коэффициента детерминации.
8. Сущность и основные особенности процедур оценки адекватности (статистической значимости) регрессионных моделей.
9. Оценка адекватности линейных регрессионных моделей по коэффициенту аппроксимации.
10. Сущность подхода оценки адекватности регрессионных моделей по критерию Фишера. Определение эмпирических и критических значений критерия.
11. Сущность понятия «дисперсионный анализ» применительно к эконометрическим исследованиям.
12. Сущность и основные особенности процедуры оценки значимости параметров линейного уравнения регрессии.
13. Особенности применения распределения Стьюдента при оценке значимости параметров линейного уравнения регрессии.
14. В чем состоит задача прогноза единичных значений исследуемого социально-экономического явления?
1. Построить поле корреляции и сформулировать предположение о форме уравнения взаимосвязи исследуемых факторов;
2. Записать основные уравнения метода наименьших квадратов, произвести необходимые преобразования, составить таблицу для промежуточных расчетов и определить параметры линейного уравнения регрессии;
3. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.
4. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.
1. Расчет значения линейного коэффициента корреляции;
2. Построение таблицы дисперсионного анализа;
3. Оценка коэффициента детерминации;
4. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.
5. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.
4. Провести общую оценку адекватности выбранного уравнения регрессии;
1. Оценка адекватности уравнения по значениям коэффициента аппроксимации;
2. Оценка адекватности уравнения по значениям коэффициента детерминации;
3. Оценка адекватности уравнения по критерию Фишера;
4. Провести общую оценку адекватности параметров уравнения регрессии;
5. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.
6. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.
1. Использование стандартных процедур мастера функций электронных таблиц Excel (из разделов «Математические» и «Статистические»);
2. Подготовка данных и особенности применения функции «ЛИНЕЙН»;
3. Подготовка данных и особенности применения функции «ПРЕДСКАЗ».
1. Использование стандартных процедур пакета анализа данных электронных таблиц Excel;
2. Подготовка данных и особенности применения процедуры «РЕГРЕССИЯ»;
3. Интерпретация и обобщение данных таблицы регрессионного анализа;
4. Интерпретация и обобщение данных таблицы дисперсионного анализа;
5. Интерпретация и обобщение данных таблицы оценки значимости параметров уравнения регрессии;
При выполнении лабораторной работы по данным одного из вариантов необходимо выполнить следующие частные задания:
1. Осуществить выбор формы уравнения взаимосвязи исследуемых факторов;
2. Определить параметры уравнения регрессии;
3. Провести оценку тесноты взаимосвязи исследуемых факторов;
4. Провести оценку адекватности выбранного уравнения регрессии;
5. Провести оценку статистической значимости параметров уравнения регрессии.
6. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.
7. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.
Задания для практических и лабораторных работ по теме «Парная линейная регрессия и корреляция в эконометрических исследованиях».
| Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 | Вариант 5 | |||||
| x | y | x | y | x | y | x | y | x | y |
| Вариант 6 | Вариант 7 | Вариант 8 | Вариант 9 | Вариант 10 | |||||
| x | y | x | y | x | y | x | y | x | y |
После оценки индивидуальной статистической значимости каждого из коэффициентов регрессии обычно анализируется совокупная значимость коэффициентов, т.е. всего уравнения в целом. Такой анализ осуществляется на основе проверки гипотезы об общей значимости гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:
H 0: b 1 = b 2 = ... = b m = 0.
Если данная гипотеза не отклоняется, то делается вывод о том, что совокупное влияние всех m объясняющих переменных Х 1 , Х 2 , ..., Х m модели на зависимую переменную Y можно считать статистически несущественным, а общее качество уравнения регрессии – невысоким.
Проверка данной гипотезы осуществляется на основе дисперсионного анализа сравнения объясненной и остаточной дисперсии.
Н 0: (объясненная дисперсия) = (остаточная дисперсия),
H 1: (объясненная дисперсия) > (остаточная дисперсия).
Строится F-статистика:
где 
– объясненная регрессией дисперсия;
– остаточная дисперсия (сумма квадратов отклонений, поделённая на число степеней свободы n-m-1). При выполнении предпосылок МНК построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы n1 = m, n2 = n–m–1. Поэтому, если при требуемом уровне значимости a F набл > F a ; m ; n - m -1 = F a (где F a ; m ; n - m -1 - критическая точка распределения Фишера), то Н 0 отклоняется в пользу Н 1 . Это означает, что объяснённая регрессией дисперсия существенно больше остаточной дисперсии, а следовательно, уравнение регрессии достаточно качественно отражает динамику изменения зависимой переменной Y. Если F набл < F a ; m ; n - m -1 = F кр. , то нет основания для отклонения Н 0 . Значит, объясненная дисперсия соизмерима с дисперсией, вызванной случайными факторами. Это дает основание считать, что совокупное влияние объясняющих переменных модели несущественно, а следовательно, общее качество модели невысоко.
Однако на практике чаще вместо указанной гипотезы проверяют тесно связанную с ней гипотезу о статистической значимости коэффициента детерминации R 2:
Н 0: R 2 > 0.
Для проверки данной гипотезы используется следующая F-статистика:
. (8.20)
Величина F при выполнении предпосылок МНК и при справедливости H 0 имеет распределение Фишера, аналогичное распределению F-статистики (8.19). Действительно, разделив числитель и знаменатель дроби в (8.19) на общую сумму квадратов отклонений 
и зная, что она распадается на сумму квадратов отклонений, объяснённую регрессией, и остаточную сумму квадратов отклонений (это является следствием, как будет показано позже, системы нормальных уравнений)
,
мы получим формулу (8.20):
Из (8.20) очевидно, что показатели F и R 2 равны или не равны нулю одновременно. Если F = 0, то R 2 = 0, и линия регрессии Y = является наилучшей по МНК, и, следовательно, величина Y линейно не зависит от Х 1 , Х 2 , ..., Х m . Для проверки нулевой гипотезы Н 0: F = 0 при заданном уровне значимости a по таблицам критических точек распределения Фишера находится критическое значение F кр = F a ; m ; n - m -1 . Нулевая гипотеза отклоняется, если F > F кр. Это равносильно тому, что R 2 > 0, т.е. R 2 статистически значим.
Анализ статистики F позволяет сделать вывод о том, что для принятия гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов линейной регрессии коэффициент детерминации R 2 не должен существенно отличаться от нуля. Его критическое значение уменьшается при росте числа наблюдений и может стать сколь угодно малым.
Пусть, например, при оценке регрессии с двумя объясняющими переменными X 1 i , X 2 i по 30 наблюдениям R 2 = 0,65. Тогда
F набл = =25,07.
По таблицам критических точек распределения Фишера найдем F 0,05; 2; 27 = 3,36; F 0,01; 2; 27 = 5,49. Поскольку F набл = 25,07 > F кр как при 5%–м, так и при 1%–м уровне значимости, то нулевая гипотеза в обоих случаях отклоняется.
Если в той же ситуации R 2 = 0,4, то
F набл = = 9.
Предположение о незначимости связи отвергается и здесь.
Отметим, что в случае парной регрессии проверка нулевой гипотезы для F-статистики равносильна проверке нулевой гипотезы для t-статистики
коэффициента корреляции. В этом случае F-статистика равна квадрату t-статистики. Самостоятельную значимость коэффициент R 2 приобретает в случае множественной линейной регрессии.
8.6. Дисперсионный анализ для разложения общей суммы квадратов отклонений. Степени свободы для соответствующих сумм квадратов отклонений
Применим изложенную выше теорию для парной линейной регрессии.
После того, как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом даётся с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, т.е. b = 0, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у.
Непосредственному расчёту F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нём занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения на две части – “объяснённую” и “необъяснённую”:
Уравнение (8.21) является следствием системы нормальных уравнений, выведенных в одной предыдущих тем.
Доказательство выражения (8.21).
Осталось доказать, что последнее слагаемое равно нулю.
Если сложить от 1 до n все уравнения
y i = a+b×x i +e i , (8.22)
то получим åy i = a×å1+b×åx i +åe i . Так как åe i =0 и å1 =n, то получим
Тогда 
.
Если же вычесть из выражения (8.22) уравнение (8.23), то получим
В результате получим
Последние суммы равны нулю в силу системы двух нормальных уравнений.
Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака у от среднего значения вызвана влиянием множества причин. Условно разделим всю совокупность причин на две группы: изучаемый фактор х и прочие факторы. Если фактор на оказывает никакого влияния на результат, то линия регрессии параллельна оси OX и . Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадет с остаточной. Если же прочие факторы не влияют на результат, то у связана с х функционально и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объяснённая регрессией, совпадает с общей суммой квадратов.
Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, т.е. регрессией у по х, так и вызванный действием прочих причин (необъяснённая вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объяснённую вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное влияние на признак у. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации будет приближаться к единице.
Любая сумма квадратов связана с числом степеней свободы (df – degrees of freedom), с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из n возможных требуется для образования данной суммы квадратов. Так, для общей суммы квадратов требуется (n-1) независимых отклонений, ибо по совокупности из n единиц после расчёта среднего свободно варьируют лишь (n-1) число отклонений. Например, мы имеем ряд значений у: 1,2,3,4,5. Среднее из них равно 3, и тогда n отклонений от среднего составят: -2, -1, 0, 1, 2. Так как , то свободно варьируют лишь четыре отклонения, а пятое отклонение может быть определено, если предыдущие четыре известны.
При расчёте объяснённой или факторной суммы квадратов 
используются теоретические (расчётные) значения результативного признака
Тогда сумма квадратов отклонений, обусловленных линейной регрессии, равна
Поскольку при заданном объёме наблюдений по x и y факторная сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от константы регрессии b, то данная сумма квадратов имеет только одну степень свободы.
Существует равенство между числом степеней свободы общей, факторной и остаточной суммой квадратов отклонений. Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной регрессии составляет n-2. Число степеней свободы общей суммы квадратов определяется числом единиц варьируемых признаков, и поскольку мы используем среднюю вычисленную по данным выборки, то теряем одну степень свободы, т.е. df общ. = n–1.
Итак, имеем два равенства:
Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или, что то же самое, дисперсию на одну степень свободы D.
;
;
.
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчёте на одну степень свободы, получим величину F-критерия Фишера
где F-критерий для проверки нулевой гипотезы H 0: D факт = D ост.
Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для H 0 необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при различных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F-критерия – это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения признаётся достоверным, если оно больше табличного. Если F факт > F табл, то нулевая гипотеза H 0: D факт = D ост об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи.
Если F факт < F табл, то вероятность нулевой гипотезы H 0: D факт = D ост выше заданного уровня (например, 0,05) и она не может быть отклонена без серьёзного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым. Гипотеза H 0 не отклоняется.
В рассматриваемом примере из главы 3:
= 131200 -7*144002 = 30400 – общая сумма квадратов;
1057,878*(135,43-7*(3,92571) 2) = 28979,8 – факторная сумма квадратов;
=30400-28979,8 = 1420,197 – остаточная сумма квадратов;
D факт = 28979,8;
D ост = 1420,197/(n-2) = 284,0394;
F факт =28979,8/284,0394 = 102,0274;
F a =0,05; 2; 5 =6,61; F a =0,01; 2; 5 = 16,26.
Поскольку F факт > F табл как при 1%-ном, так и при 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).
Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации . Факторную сумму квадратов отклонений можно представить как
,
а остаточную сумму квадратов – как
.
Тогда значение F-критерия можно выразить как
.
Оценка значимости регрессии обычно даётся в виде таблицы дисперсионного анализа
| Источники вариации | Число степеней свободы | Сумма квадратов отклонений | Дисперсия на одну степень свободы | F-отношение | |
| фактическое | Табличное при a=0,05 | ||||
| Общая | |||||
| Объяснённая | 28979,8 | 28979,8 | 102,0274 | 6,61 | |
| Остаточная | 1420,197 | 284,0394 | , его величина сравнивается с табличным значением при определённом уровне значимости α и числе степеней свободы (n-2).
Парная регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными
-у и х, т.е. модель вида + Е
Где у - результативный признак,т.е зависимая переменная; х - признак-фактор.
Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида или
Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора х.
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров а и в.
Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами.
1. 
2. 
Параметр b называется коэффициентом регрессии . Его величина показывает
среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.
Формально а - значение у при х = 0. Если признак-фактор
не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная
трактовка свободного члена, а не имеет смысла. Параметр, а может
не иметь экономического содержания. Попытки экономически
интерпретировать параметр, а могут привести к абсурду, особенно при а < 0.
Интерпретировать можно лишь знак при параметре а. Если а > 0,
то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение
проверка качества найденных параметров и всей модели в целом:
-Оценка значимости коэффициента регрессии (b) и коэффициента корреляции
-Оценка значимости всего уравнения регрессии. Коэффициент детерминации
Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При
использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает
линейный коэффициент корреляции r xy . Существуют разные
модификации формулы линейного коэффициента корреляции.
Линейный коэффициент корреляции находится и границах: -1≤.r xy
≤ 1. При этом чем ближе r к 0 тем слабее корреляция и наоборот чем
ближе r к 1 или -1, тем сильнее корреляция, т.е. зависимость х и у близка к
линейной. Если r в точности =1или -1 все точки лежат на одной прямой.
Если коэф. регрессии b>0 то 0 ≤.r xy ≤ 1 и
наоборот при b<0 -1≤.r xy ≤0. Коэф.
корреляции отражает степени линейной зависимости м/у величинами при наличии
ярко выраженной зависимости др. вида.
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного
коэффициента корреляции
Называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации
характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую
регрессией. Соответствующая величина
характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных не учтенных
в модели факторов.
МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b, которых
сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака
(у) от расчетных (теоретических)
минимальна:
Иными словами, из
всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма
квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы
минимальной.
Решается система нормальных уравнений
ОЦЕНКА СУЩЕСТВЕННОСТИ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия
Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен
нулю, т. е. b = 0, и следовательно, фактор х не оказывает
влияния на результат у.
Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии.
Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений
переменной у от средне го значения у на две части -
«объясненную» и «необъясненную»:
Общая сумма квадратов отклонений
Сумма квадратов
отклонения объясненная регрессией
Остаточная сумма квадратов отклонения.
Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы, т.
е. с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности nис числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число cтепеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из п возможных требуется для
образования данной суммы квадратов.
Дисперсия на одну степень свободы D.
F-отношения (F-критерий): 
Ecли нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не
отличаются друг от друга. Для Н 0 необходимо опровержение, чтобы
факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Английским
статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений
при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней
свободы. Табличное значение F-критерия - это максимальная величина отношения
дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного
уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения
признается достоверным, если о больше табличного. В этом случае нулевая
гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о
существенности этой связи: F факт > F табл Н 0
отклоняется.
Если же величина окажется меньше табличной F факт ‹, F табл
То вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня и она не может быть
отклонена без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В
этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым. Н о
не отклоняется.
Похожая информация.
В социально-экономических исследованиях часто приходится работать в условиях ограниченной совокупности, либо с выборочными данными. Поэтому после математических параметров уравнение регрессии необходимо оценить их и уравнение в целом на статистическую значимость, т.е. необходимо убедиться, что полученное уравнение и его параметры сформированы под влиянием неслучайных факторов.
Прежде всего, оценивается статистическая значимость уравнения в целом. Оценка, как правило, проводится с использованием F-критерия Фишера. Расчет F-критерия базируется на правиле сложения дисперсий. А именно, общего дисперсионного признака-результата = дисперсия факторная + дисперсия остаточная.
Фактическая цена
Теоретическая цена
Построив уравнение регрессии можно рассчитать теоретическое значение признака-результата, т.е. рассчитанные по уравнению регрессии с учетом его параметров.
Эти значения будут характеризовать признак-результат, сформировавшийся под влиянием факторов включенных в анализ.
Между фактическими значениями признака-результата и рассчитанными на основе уравнения регрессии всегда существуют расхождения (остатки), обусловленные влиянием прочих факторов, не включенных в анализ.
Разность между теоретическими и фактическими значениями признака-результата называется остатками. Общая вариация признака-результата:
Вариация по признаку-результату, обусловленная вариацией признаков факторов, включенных в анализ оценивается через сопоставления теоретических значений резул. признака и его средних значений. Остаточная вариация через сопоставление теоретических и фактических значений результатирующего признака. Общая дисперсия , остаточная и фактическая имеют разное число степеней свободы.
Общая , п - число единиц в изучаемой совокупности
Фактическая , п - число факторов, включенных в анализ
Остаточная
F-критерий Фишера рассчитывается как отношение к , причем рассчитаны на одну степень свободы.
Использование F-критерия Фишера в качестве оценки статистической значимости уравнения регрессии очень логично. - это результат. признака, обусловленная факторами включенными в анализ, т.е. это доля объясненной результат. признака. - это (вариация) признака результата обусловленная факторами влияние которых не учитывается, т.е. не включенными в анализ.
Т.о. F-критерий призван оценить значимое превышение над . Если несущественно ниже , а тем более, если оно превышает , следовательно, в анализ включены не те факторы, которые действительно влияют на признак-результат.
F-критерий Фишера табулирован, фактическое значение сравнивается с табличным. Если , то уравнение регрессии признается статистически значимым. Если наоборот – уравнение статистически не значимо и не может использоваться на практике, значимость уравнения в целом говорит о статистической значимости показателей корелляции.
После оценки уравнения в целом необходимо оценить статистическую значимость параметров уравнения. Эта оценка осуществляется с использованием t-статистики Стьюдента. t-статистика рассчитывается как отношение параметров уравнения (по модулю) к их стандартной средней квадратической ошибке. Если оценивается однофакторная модель, то рассчитывается 2 статистики.
Во всех компьютерных программах расчет стандартной ошибки и t-статистики для параметров проводится с расчетом самих параметров. T-статистика табулирована. Если значение , то параметр признается статистически значимым, т.е. сформированным под влиянием неслучайных факторов.
Расчет t-статистики по существу означает проверку нулевой гипотезы о незначимости параметра, т.е. равенстве его нулю. При однофакторной модели оценивается 2 гипотезы: и
Уровень значимости принятия нулевой гипотезы зависит от уровня принятой доверительной вероятности. Так если исследователь задает уровень вероятности 95%, уровень значимости принятия будет рассчитываться , следовательно, если уровень значимости ≥ 0,05, то принимается и параметры считаются статистически незначимыми. Если , то отвергается и принимается альтернатива: и .
В пакетах прикладных программ по статистике также приводится уровень значимости принятия нулевых гипотез. Оценка значимости уравнения регрессии и его параметров может дать следующие результаты:
Во-первых, уравнение в целом значимо(по F-критерию) и также статистически значимы все параметры уравнения. Это означает, что полученное уравнение может быть использовано как для принятия управленческих решений, так и для прогнозирования.
Во-вторых, по F-критерию уравнение статистически значимо, но не значим хотя бы один из параметров уравнения. Уравнение может быть использовано для принятия управленческих решений относительно анализируемых факторов, но не может быть использовано для прогнозирования.
В-третьих, уравнение статистически не значимо, либо по F- критерию уравнение значимо, но не значимы все параметры полученного уравнения. Уравнение не может быть использовано не для каких целей.
Чтобы уравнение регрессии можно было признать моделью связи между признаком-результатом и признаками-факторами необходимо чтобы в него были включены все важнейшие факторы, определяющие результат, чтобы содержательная интерпретация параметров уравнения соответствовала теоретически обоснованным связям в изучаемом явлении. Коэффициент детерминации R 2 должен быть > 0,5.
При построении множественного уравнения регрессии целесообразно осуществить оценку по так называемому скорректированному коэффициенту детерминации (R 2). Величина R 2 (как и корелляции) возрастает при увеличение числа факторов включенных в анализ. Особенно завышается значение коэф-в в условиях небольших совокупностей. С целью погасить отрицательное влияние R 2 и корелляции корректируют с учетом числа степеней свободы, т.е. числа свободно варьирующих элементов при включении определенных факторов.
Скорректированный коэф-т детерминации
п –объем совокупности/число наблюдений
k – число факторов включенных в анализ
п-1 – число степеней свободы
(1-R 2) - величина остатка/ необъясненной дисперсии результативного признака
Всегда меньше R 2 . на основе можно сравнивать оценки уравнений с разным числом анализируемых факторов.
34. Задачи изучения динамических рядов.
Ряды динамики называют временными рядами или динамическими рядами. Динамический ряд – это упорядоченная во времени последовательность показателей, характеризующих то или иное явление (объем ВВП с 90 по 98 гг). Целью изучения рядов динамики является выявление закономерности развития изучаемого явления (основной тенденции) и прогнозирование на этой основе. Из определения РД следует, что любой ряд состоит из двух элементов: время t и уровень ряда (те конкретные значения показателя, на основе которого построен ДРяд). ДРяды могут быть 1)моментными – ряды, показатели которых фиксируются на момент времени, на определенную дату, 2)интервальными – ряды, показатели которого получают за какой-то период времени (1.численность населения СПб, 2.объем ВВП за период). Разделение рядов на моментные и интервальные необходимо, поскольку это определяет специфику расчета некоторых показателей ДРядов. Суммирование уровней интервальных рядов дает содержательно интерпретируемый результат, что нельзя сказать о суммировании уровней моментных рядов, поскольку последние содержат повторный счет. Важнейшей проблемой в анализе рядов динамики является проблема сопоставимости уровней ряда. Это понятие очень разноплановое. Уровни должны быть сопоставимы по методам расчета и по территории и охвату единиц совокупности. Если ДРяд строится в стоимостных показателях, то все уровни должны быть представлены или рассчитаны в сопоставимых ценах. При построении интервальных рядов уровни должны характеризовать одинаковые отрезки времени. При построении моментных РядовД уровни должны фиксироваться на одну и ту же дату. ДРяды могут быть полными и неполными. Неполные ряды используются в официальных изданиях (1980,1985,1990,1995,1996,1997,1998,1999…). Комплексный анализ РД включает изучение следующих моментов:
1. расчет показателей изменения уровней РД
2. расчет средних показателей РД
3. выявление основной тенденции ряда, построение трендовых моделей
4. оценка автокорреляции в РД, построение авторегрессионных моделей
5. корреляция РД (изучение связей м/у ДРядами)
6. прогнозирование РД.
35. Показателей изменения уровней временных рядов .
В общем виде РядД может быть представлен:
у – уровень ДР, t – момент или период времени к которому относится уровень (показатель), n – длина ДРяда (число периодов). при изучении ряда динамики рассчитывают следующие показатели: 1. абсолютный прирост, 2. коэффициент роста (темп роста), 3. ускорение, 4. коэффициент прироста (темп прироста), 5. абсолютное значение 1 % прироста. Рассчитываемые показатели могут быть: 1. цепные – получают путем сопоставления каждого уровня ряда с непосредственно предшествующим, 2. базисные – получают путем сопоставления с уровнем, выбранным за базу сравнения (если специально не оговаривается, за базу берется 1ый уровень ряда). 1. Цепные абсолютные приросты: . Показывает на сколько больше или меньше . Цепные абсолютные приросты называют показателями скорости изменения уровней динамического ряда. Базисный абсолютный прирост : . Если уровни ряда представляют собой относительные показатели, выраженные в %-ах, то абсолютный прирост выражается в пунктах изменения. 2. коэффициент роста (темпы роста): Рассчитывается как отношение уровней ряда к непосредственно предшествующим (цепные коэффициенты роста), либо к уровню, принятому за базу сравнения (базисные коэффициенты роста): . Характеризует во сколько раз каждый уровень ряда > или < предшествующего или базисного. На основе коэффициентов роста рассчитываются темпы роста. Это коэффициенты роста, выраженные в %ах: 3. на основе абсолютных приростов рассчитывают показатель – ускорение абсолютных приростов : . Ускорение – абсолютный прирост абсолютных приростов. Оценивает как изменяются сами приросты, они стабильны или принимают ускорение (возрастают). 4. темп прироста – это отношение прироста к базе сравнения. Выражается в %-ах: ; . Темп прироста – это темп роста минус 100%. Показывает на сколько % данный уровень ряда > или < предшествующего либо базисного. 5. абсолютное значение 1% прироста. Рассчитывается как отношение абсолютного прироста к темпу прироста, т.е.: - сотая доля предыдущего уровня. Все эти показатели рассчитываются для оценки степени изменения уровней ряда. Цепные коэффициенты и темпы роста называются показателями интенсивности изменения уровней ДРядов.
2. Расчет средних показателей РД Рассчитывают средние уровни рядов, средние абсолютные приросты, средние темпы роста и средние темпы прироста. Средние показатели рассчитываются с целью обобщения информации и возможности сравнивать уровни и показатели их изменения по различным рядам. 1. средний уровень ряда а) для интервальных временных рядов рассчитывается по средней арифметической простой: , где n – число уровней во временном ряду; б) для моментных рядов средний уровень рассчитывается по специфической формуле, которая называется средней хронологической: . 2. средний абсолютный прирост рассчитывается на основе цепных абсолютных приростов по средней арифметической простой:
. 3. Средний коэффициент роста рассчитывается на основе цепных коэффициентов роста по формуле средней геометрической: . При комментарии средних показателей ДРядов необходимо указывать 2 момента: период, который характеризует анализируемый показатель и временной интервал, за который построен ДРяд. 4. Средний темп роста : . 5. средний темп прироста : .
Оценка значимости уравнения множественной регрессии
Построение эмпирического уравнения регрессии является начальным этапом эконометрического анализа. Первое же построенное по выборке уравнение регрессии очень редко является удовлетворительным по тем или иным характеристикам. Поэтому следующей важнейшей задачей эконометрического анализа является проверка качества уравнения регрессии. В эконометрике принята устоявшаяся схема такой проверки.
Итак, проверка статистического качества оцененного уравнения регрессии проводится по следующим направлениям:
· проверка значимости уравнения регрессии;
· проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии;
· проверка свойств данных, выполнимость которых предполагалась при оценивании уравнения (проверка выполнимости предпосылок МНК).
Проверка значимости уравнения множественной регрессии, так же как и парной регрессии, осуществляется с помощью критерия Фишера. В данном случае (в отличие от парной регрессии) выдвигается нулевая гипотеза Н 0 о том, что все коэффициенты регрессии равны нулю (b 1 =0, b 2 =0, … , b m =0). Критерий Фишера определяется по следующей формуле:
где D факт - факторная дисперсия, объясненная регрессией, на одну степень свободы; D ост - остаточная дисперсия на одну степень свободы; R 2 - коэффициент множественной детерминации; т х в уравнении регрессии (в парной линейной регрессии т = 1); п - число наблюдений.
Полученное значение F-критерия сравнивается с табличным при определенном уровне значимости. Если его фактическое значение больше табличного, тогда гипотеза Но о незначимости уравнения регрессии отвергается, и принимается альтернативная гипотеза о его статистической значимости.
С помощью критерия Фишера можно оценить значимость не только уравнения регрессии в целом, но и значимость дополнительного включения в модель каждого фактора. Такая оценка необходима для того, чтобы не загружать модель факторами, не оказывающими существенного влияния на результат. Кроме того, поскольку модель состоит из несколько факторов, то они могут вводиться в нее в различной последовательности, а так как между факторами существует корреляция, значимость включения в модель одного и того же фактора может различаться в зависимости от последовательности введения в нее факторов.
Для оценки значимости включения дополнительного фактора в модель рассчитывается частный критерий Фишера F xi . Он построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного включением в модель дополнительного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессии в целом. Следовательно, формула расчета частного F-критерия для фактора будет иметь следующий вид:
где R 2 yx 1 x 2… xi … xp - коэффициент множественной детерминации для модели с полным набором п факторов; R 2 yx 1 x 2… x i -1 x i +1… xp - коэффициент множественной детерминации для модели, не включающей фактор x i ; п - число наблюдений; т - число параметров при факторах x в уравнении регрессии.
Фактическое значение частного критерия Фишера сравнивается с табличным при уровне значимости 0,05 или 0,1 и соответствующих числах степеней свободы. Если фактическое значение F xi превышает F табл , то дополнительное включение фактора x i в модель статистически оправдано, и коэффициент «чистой» регрессии b i при факторе x i статистически значим. Если же F xi меньше F табл , то дополнительное включение в модель фактора существенно не увеличивает долю объясненной вариации результата у, и, следовательно, его включение в модель не имеет смысла, коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.
С помощью частного критерия Фишера можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий фактор x i вводится в уравнение множественной регрессии последним, а все остальные факторы были уже включены в модель раньше.
Оценка значимости коэффициентов «чистой» регрессии b i по критерию Стьюдента t может быть проведена и без расчета частных F -критериев. В этом случае, как и при парной регрессии, для каждого фактора применяется формула
t bi = b i / m bi ,
где b i - коэффициент «чистой» регрессии при факторе x i ; m bi - стандартная ошибка коэффициента регрессии b i .
