Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:

• метод вариации постоянной (Лагранжа).

Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.

Метод вариации постоянной (Лагранжа)

В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.

Рассмотрим уравнение:
(1)

Шаг 1 Решение однородного уравнения

Ищем решение однородного уравнения:

Это уравнение с разделяющимися переменными

Разделяем переменные - умножаем на dx , делим на y :

Интегрируем:

Интеграл по y - табличный :

Тогда

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1 , которую включим в C :

Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию

Теперь заменим постоянную C на функцию от x :
C → u(x)
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1) в виде:
(2)
Находим производную.

По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:

.
Подставляем в исходное уравнение (1) :
(1) ;

.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2) :
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа

Решить уравнение

Решение

Решаем однородное уравнение:

Разделяем переменные:

Умножим на :

Интегрируем:

Интегралы табличные :

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и убираем знаки модуля:

Отсюда:

Заменим постоянную C на функцию от x :
C → u(x)

Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

состоит в замене произвольных постоянных ck в общем решении

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

соответствующего однородного уравнения

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

на вспомогательные функции ck(t), производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z1,z2,...,zn, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если - первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)

Метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

где y = y(x) - неизвестная функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) - известные, непрерывные, справедливо: 1) существуют n линейно независимых решений уравнения y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) при любых значениях констант c1, c2, ..., cn функция y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) является решением уравнения; 3) для любых начальных значений x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 существуют такие значения c*1, c*n, ..., c*n, что решение y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) удовлетворяет при x = x0 начальным условиям y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Выражение y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) называется общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), ..., yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx)" + anexp(lx)= = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, т.е. число l является корнем характеристического уравнения ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения.

Если характеристическое уравнение имеет n различных действительных корней l1№ l2 № ... № ln, то фундаментальная система решений состоит из функций y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), ..., yn(x) = exp(lnx), и общее решение однородного уравнения имеет вид: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

ундаментальная система решений и общее решение для случая простых действительных корней.

Если какой-либо из действительных корней характеристического уравнения повторяется r раз (r-кратный корень), то в фундаментальной системе решений ему отвечают r функций; если lk=lk+1 = ... = lk+r-1, то в фундаментальную систему решений уравнения входят r функций: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r-1(x) =xr-1 exp(lnx).

ПРИМЕР 2. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных действительных корней.

Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то каждой паре простых (имеющих кратность 1) комплексных корней lk,k+1=ak ± ibk в фундаментальной системе решений отвечает пара функций yk(x) = exp(akx)cos(bkx), yk+1(x) = exp(akx)sin(bkx).

ПРИМЕР 4. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней. Мнимые корни.

Если же комплексная пара корней имеет кратность r, то такой паре lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, в фундаментальной системе решений отвечают функции exp(akx)cos(bkx), exp(akx)sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), ................ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

ПРИМЕР 5. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных комплексных корней.

Таким образом, для отыскания общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует: записать характеристическое уравнение; найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln; записать фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x); записать выражение для общего решения y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Для решения задачи Коши нужно подставить выражение для общего решения в начальные условия и определить значения постоянных c1,..., cn, которые являются решениями системы линейных алгебраических уравнений c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)(x0) = y0,n-1

Для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

где y = y(x) - неизвестная функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) - известные, непрерывные, справедливо: 1) если y1(x) и y2(x) - два решения неоднородного уравнения, то функция y(x) = y1(x) - y2(x) - решение соответствующего однородного уравнения; 2) если y1(x) решение неоднородного уравнения, а y2(x) - решение соответствующего однородного уравнения, то функция y(x) = y1(x) + y2(x) - решение неоднородного уравнения; 3) если y1(x), y2(x), ..., yn(x) - n линейно независимых решений однородного уравнения, а yч(x) - произвольное решение неоднородного уравнения, то для любых начальных значений x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 существуют такие значения c*1, c*n, ..., c*n, что решение y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + yч(x) удовлетворяет при x = x0 начальным условиям y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Выражение y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) называется общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), где Pk(x), Qm(x) - многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора.

Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем. Искомое решение уравнения записывается в виде: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, где Pr(x), Qr(x) - многочлены степени r = max(k, m) с неизвестными коэффициентами pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Сомножитель xs называют резонансным сомножителем. Резонанс имеет место в случаях, когда среди корней характеристического уравнения есть корень l =a ± ib кратности s. Т.е. если среди корней характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения есть такой, что его действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая - с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения, и кратность этого корня s, то в искомом частном решении присутствует резонансный сомножитель xs. Если же такого совпадения нет (s=0), то резонансный сомножитель отсутствует.

Подставив выражение для частного решения в левую часть уравнения, получим обобщенный многочлен того же вида, что и многочлен в правой части уравнения, коэффициенты которого неизвестны.

Два обобщенных многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при сомножителях вида xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) с одинаковыми степенями t. Приравняв коэффициенты при таких сомножителях, получим систему 2(r+1) линейных алгебраических уравнений относительно 2(r+1) неизвестных. Можно показать, что такая система совместна и имеет единственное решение.

С уть метода Лагранжа заключается в сведении задачи на условный экстремум к решению задачи безусловного экстремума. Рассмотрим модель нелинейного программирования:

(5.2)

где
– известные функции,

а
– заданные коэффициенты.

Отметим, что в данной постановке задачи ограничения заданы равенствами, отсутствует условие неотрицательности переменных. Кроме того, полагаем, что функции
непрерывны со своими первыми частными производными.

Преобразуем условия (5.2) таким образом, чтобы в левых или правых частях равенств стоял ноль :

(5.3)

Составим функцию Лагранжа. В нее входит целевая функция (5.1) и правые части ограничений (5.3), взятые соответственно с коэффициентами
. Коэффициентов Лагранжа будет столько, сколько ограничений в задаче.

Точки экстремума функции (5.4) являются точками экстремума исходной задачи и наоборот: оптимальный план задачи (5.1)-(5.2) является точкой глобального экстремума функции Лагранжа.

Действительно, пусть найдено решение
задачи (5.1)-(5.2), тогда выполняются условия (5.3). Подставим план
в функцию (5.4) и убедимся в справедливости равенства (5.5).

Таким образом, чтобы найти оптимальный план исходной задачи, необходимо исследовать на экстремум функцию Лагранжа. Функция имеет экстремальные значения в точках, где ее частные производные равны нулю . Такие точки называютсястационарными.

Определим частные производные функции (5.4)

,

.

После приравнивания нулю производных получим системуm+n уравнений сm+n неизвестными

,(5.6)

В общем случае система (5.6)-(5.7) будем иметь несколько решений, куда войдут все максимумы и минимумы функции Лагранжа. Для того чтобы выделить глобальный максимум или минимум, во всех найденных точках вычисляют значения целевой функции. Наибольшее из этих значений будет глобальным максимумом, а наименьшее – глобальным минимумом. В некоторых случаях оказывается возможным использование достаточных условий строгого экстремума непрерывных функций (см. ниже задачу 5.2):

пусть функция
непрерывна и дважды дифференцируема в некоторой окрестности своей стационарной точки(т.е.
)). Тогда:

а ) если
, (5.8)

то – точка строгого максимума функции
;

б) если
, (5.9)

то – точка строгого минимума функции
;

г ) если
,

то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Кроме того, некоторые решения системы (5.6)-(5.7) могут быть отрицательными. Что не согласуется с экономическим смыслом переменных. В этом случае следует проанализировать возможность замены отрицательных значений нулевыми.

Экономический смысл множителей Лагранжа. Оптимальное значение множителя
показывает на сколько изменится значение критерияZ при увеличении или уменьшении ресурсаj на одну единицу, так как

Метод Лагранжа можно применять и в том случае, когда ограничения представляют собой неравенства. Так, нахождение экстремума функции
при условиях

,

выполняют в несколько этапов:

1. Определяют стационарные точки целевой функции, для чего решают систему уравнений

.

2. Из стационарных точек отбирают те, координаты которых удовлетворяют условиям

3. Методом Лагранжа решают задачу с ограничениями-равенствами (5.1)-(5.2).

4. Исследуют на глобальный максимум точки, найденные на втором и третьем этапах: сравнивают значения целевой функции в этих точках – наибольшее значение соответствует оптимальному плану.

Задача 5.1 Решим методом Лагранжа задачу 1.3, рассмотренную в первом разделе. Оптимальное распределение водных ресурсов описывается математической моделью

.

Составим функцию Лагранжа

Найдем безусловный максимум этой функции. Для этого вычислим частные производные и приравняем их к нулю

,

Таким образом, получили систему линейных уравнений вида

Решение системы уравнений представляет собой оптимальный план распределения водных ресурсов по орошаемым участкам

, .

Величины
измеряются в сотнях тысяч кубических метров.
- величина чистого дохода на одну сотню тысяч кубических метров поливной воды. Следовательно, предельная цена 1 м 3 оросительной воды равна
ден. ед.

Максимальный дополнительный чистый доход от орошения составит

160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=

172391,02 (ден. ед.)

Задача 5.2 Решить задачу нелинейного программирования

Ограничение представим в виде:

.

Составим функцию Лагранжа и определим ее частные производные

.

Чтобы определить стационарные точки функции Лагранжа, следует приравнять нулю ее частные производные. В результате получим систему уравнений

.

Из первого уравнения следует

. (5.10)

Выражение подставим во второе уравнение

,

откуда следует два решения для :

и
. (5.11)

Подставив эти решения в третье уравнение, получим

,
.

Значения множителя Лагранжа и неизвестной вычислим по выражениям (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Таким образом, получили две точки экстремума:

;
.

Для того чтобы узнать являются ли данные точки точками максимума или минимум, воспользуемся достаточными условиями строгого экстремума (5.8)-(5.9). Предварительно выражение для , полученное из ограничения математической модели, подставим в целевую функцию

,

. (5.12)

Для проверки условий строгого экстремума следует определить знак второй производной функции (5.11) в найденных нами экстремальных точках
и
.

,
;

.

Таким образом, (·)
является точкой минимума исходной задачи (
), а (·)
– точкой максимума.

Оптимальный план :

,
,
,

.

Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции $z=f(x,y)$ в точке $M_0(x_0;y_0)$ называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные $x$ и $y$ в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи $\varphi (x,y)=0$.

Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие $\varphi(x,y)=0$. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует $y=\psi(x)$, то подставив $y=\psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получим функцию одной переменной $z=f\left(x,\psi(x)\right)$. В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма.

Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных.

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметр $\lambda$ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

$$ \left \{ \begin{aligned} & \frac{\partial F}{\partial x}=0;\\ & \frac{\partial F}{\partial y}=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end{aligned} \right. $$

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак $d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2$. Если в стационарной точке $d^2F > 0$, то функция $z=f(x,y)$ имеет в данной точке условный минимум, если же $d^2F < 0$, то условный максимум.

Есть и другой способ для определения характера экстремума. Из уравнения связи получаем: $\varphi_{x}^{"}dx+\varphi_{y}^{"}dy=0$, $dy=-\frac{\varphi_{x}^{"}}{\varphi_{y}^{"}}dx$, поэтому в любой стационарной точке имеем:

$$d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dx\left(-\frac{\varphi_{x}^{"}}{\varphi_{y}^{"}}dx\right)+F_{yy}^{""}\left(-\frac{\varphi_{x}^{"}}{\varphi_{y}^{"}}dx\right)^2=\\ =-\frac{dx^2}{\left(\varphi_{y}^{"} \right)^2}\cdot\left(-(\varphi_{y}^{"})^2 F_{xx}^{""}+2\varphi_{x}^{"}\varphi_{y}^{"}F_{xy}^{""}-(\varphi_{x}^{"})^2 F_{yy}^{""} \right)$$

Второй сомножитель (расположенный в скобке) можно представить в такой форме:

Красным цветом выделены элементы определителя $\left| \begin{array} {cc} F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right|$, который является гессианом функции Лагранжа. Если $H > 0$, то $d^2F < 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F > 0$, т.е. имеем условный минимум функции $z=f(x,y)$.

Примечание относительно формы записи определителя $H$. показать\скрыть

$$ H=-\left|\begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{"} & \varphi_{y}^{"}\\ \varphi_{x}^{"} & F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ \varphi_{y}^{"} & F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right| $$

В этой ситуации сформулированное выше правило изменится следующим образом: если $H > 0$, то функция имеет условный минимум, а при $H < 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум

1. Составить функцию Лагранжа $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Решить систему $ \left \{ \begin{aligned} & \frac{\partial F}{\partial x}=0;\\ & \frac{\partial F}{\partial y}=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end{aligned} \right.$
3. Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте стационарных точек. Для этого применить любой из указанных способов:
   • Составить определитель $H$ и выяснить его знак
   • С учетом уравнения связи вычислить знак $d^2F$

Метод множителей Лагранжа для функций n переменных

Допустим, мы имеем функцию $n$ переменных $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ и $m$ уравнений связи ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Обозначив множители Лагранжа как $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, составим функцию Лагранжа:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:

$$\left\{\begin{aligned} & \frac{\partial F}{\partial x_i}=0; (i=\overline{1,n})\\ & \varphi_j=0; (j=\overline{1,m}) \end{aligned} \right.$$

Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака $d^2F$. Если в найденной точке $d^2F > 0$, то функция имеет условный минимум, если же $d^2F < 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Определитель матрицы $\left| \begin{array} {ccccc} \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{n}}\\ \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_1} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}^{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_{n}}\\ \frac{\partial^2F}{\partial x_{3} \partial x_{1}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}^{2}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}\partial x_{n}}\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ldots\\ \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{1}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}^{2}}\\ \end{array} \right|$, выделенной в матрице $L$ красным цветом, есть гессиан функции Лагранжа. Используем следующее правило:

• Если знаки угловых миноров $H_{2m+1},\; H_{2m+2},\ldots,H_{m+n}$ матрицы $L$ совпадают с знаком $(-1)^m$, то исследуемая стационарная точка является точкой условного минимума функции $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Если знаки угловых миноров $H_{2m+1},\; H_{2m+2},\ldots,H_{m+n}$ чередуются, причём знак минора $H_{2m+1}$ совпадает с знаком числа $(-1)^{m+1}$, то исследуемая стационарная точка является точкой условного максимума функции $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Пример №1

Найти условный экстремум функции $z(x,y)=x+3y$ при условии $x^2+y^2=10$.

Геометрическая интерпретация данной задачи такова: требуется найти наибольшее и наименьшее значение аппликаты плоскости $z=x+3y$ для точек ее пересечения с цилиндром $x^2+y^2=10$.

Выразить одну переменную через другую из уравнения связи и подставить ее в функцию $z(x,y)=x+3y$ несколько затруднительно, поэтому будем использовать метод Лагранжа.

Обозначив $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, составим функцию Лагранжа:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac{\partial F}{\partial x}=1+2\lambda x; \frac{\partial F}{\partial y}=3+2\lambda y. $$

Запишем систему уравнений для определения стационарных точек функции Лагранжа:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end{aligned} \right. $$

Если предположить $\lambda=0$, то первое уравнение станет таким: $1=0$. Полученное противоречие говорит о том, что $\lambda\neq 0$. При условии $\lambda\neq 0$ из первого и второго уравнений имеем: $x=-\frac{1}{2\lambda}$, $y=-\frac{3}{2\lambda}$. Подставляя полученные значения в третье уравнение, получим:

$$ \left(-\frac{1}{2\lambda} \right)^2+\left(-\frac{3}{2\lambda} \right)^2-10=0;\\ \frac{1}{4\lambda^2}+\frac{9}{4\lambda^2}=10; \lambda^2=\frac{1}{4}; \left[ \begin{aligned} & \lambda_1=-\frac{1}{2};\\ & \lambda_2=\frac{1}{2}. \end{aligned} \right.\\ \begin{aligned} & \lambda_1=-\frac{1}{2}; \; x_1=-\frac{1}{2\lambda_1}=1; \; y_1=-\frac{3}{2\lambda_1}=3;\\ & \lambda_2=\frac{1}{2}; \; x_2=-\frac{1}{2\lambda_2}=-1; \; y_2=-\frac{3}{2\lambda_2}=-3.\end{aligned} $$

Итак, система имеет два решения: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac{1}{2}$ и $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac{1}{2}$. Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке: $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$. Для этого вычислим определитель $H$ в каждой из точек.

$$ \varphi_{x}^{"}=2x;\; \varphi_{y}^{"}=2y;\; F_{xx}^{""}=2\lambda;\; F_{xy}^{""}=0;\; F_{yy}^{""}=2\lambda.\\ H=\left| \begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{"} & \varphi_{y}^{"}\\ \varphi_{x}^{"} & F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ \varphi_{y}^{"} & F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end{array} \right|= 8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right| $$

В точке $M_1(1;3)$ получим: $H=8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right|= 8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end{array} \right|=40 > 0$, поэтому в точке $M_1(1;3)$ функция $z(x,y)=x+3y$ имеет условный максимум, $z_{\max}=z(1;3)=10$.

Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ найдем: $H=8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right|= 8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end{array} \right|=-40$. Так как $H < 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Отмечу, что вместо вычисления значения определителя $H$ в каждой точке, гораздо удобнее раскрыть его в общем виде. Дабы не загромождать текст подробностями, этот способ скрою под примечание.

Запись определителя $H$ в общем виде. показать\скрыть

$$ H=8\cdot\left|\begin{array}{ccc}0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end{array}\right| =8\cdot\left(-\lambda{y^2}-\lambda{x^2}\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

В принципе, уже очевидно, какой знак имеет $H$. Так как ни одна из точек $M_1$ или $M_2$ не совпадает с началом координат, то $y^2+x^2>0$. Следовательно, знак $H$ противоположен знаку $\lambda$. Можно и довести вычисления до конца:

$$ \begin{aligned} &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\\ &H(M_2)=-8\cdot\frac{1}{2}\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end{aligned} $$

Вопрос о характере экстремума в стационарных точках $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ можно решить и без использования определителя $H$. Найдем знак $d^2F$ в каждой стационарной точке:

$$ d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=2\lambda \left(dx^2+dy^2\right) $$

Отмечу, что запись $dx^2$ означает именно $dx$, возведённый в вторую степень, т.е. $\left(dx \right)^2$. Отсюда имеем: $dx^2+dy^2>0$, посему при $\lambda_1=-\frac{1}{2}$ получим $d^2F < 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Ответ : в точке $(-1;-3)$ функция имеет условный минимум, $z_{\min}=-10$. В точке $(1;3)$ функция имеет условный максимум, $z_{\max}=10$

Пример №2

Найти условный экстремум функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ при условии $x+y=0$.

Первый способ (метод множителей Лагранжа)

Обозначив $\varphi(x,y)=x+y$ составим функцию Лагранжа: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x^2-xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac{\partial F}{\partial x}=8x-y+\lambda; \; \frac{\partial F}{\partial y}=9y^2-x+\lambda.\\ \left \{ \begin{aligned} & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\lambda=0; \\ & x+y=0. \end{aligned} \right. $$

Решив систему, получим: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ и $x_2=\frac{10}{9}$, $y_2=-\frac{10}{9}$, $\lambda_2=-10$. Имеем две стационарные точки: $M_1(0;0)$ и $M_2 \left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9} \right)$. Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке с использованием определителя $H$.

$$ H=\left| \begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{"} & \varphi_{y}^{"}\\ \varphi_{x}^{"} & F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ \varphi_{y}^{"} & F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end{array} \right|=-10-18y $$

В точке $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10 < 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 > 0$, посему в данной точке функция имеет условный максимум, $z_{\max}=\frac{500}{243}$.

Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке $d^2F$:

$$ d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=8dx^2-2dxdy+18ydy^2 $$

Из уравнения связи $x+y=0$ имеем: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Так как $ d^2F \Bigr|_{M_1}=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ является точкой условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$. Аналогично, $d^2F \Bigr|_{M_2}=-10 dx^2 < 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Второй способ

Из уравнения связи $x+y=0$ получим: $y=-x$. Подставив $y=-x$ в функцию $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, получим некоторую функцию переменной $x$. Обозначим эту функцию как $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Таким образом задачу о нахождении условного экстремума функции двух переменных мы свели к задаче определения экстремума функции одной переменной.

$$ u_{x}^{"}=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac{10}{9}; \; y_2=-x_2=-\frac{10}{9}. $$

Получили точки $M_1(0;0)$ и $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9}\right)$. Дальнейшее исследование известно из курса дифференциального исчисления функций одной переменой. Исследуя знак $u_{xx}^{""}$ в каждой стационарной точке или проверяя смену знака $u_{x}^{"}$ в найденных точках, получим те же выводы, что и при решении первым способом. Например, проверим знак $u_{xx}^{""}$:

$$u_{xx}^{""}=-18x+10;\\ u_{xx}^{""}(M_1)=10;\;u_{xx}^{""}(M_2)=-10.$$

Так как $u_{xx}^{""}(M_1)>0$, то $M_1$ - точка минимума функции $u(x)$, при этом $u_{\min}=u(0)=0$. Так как $u_{xx}^{""}(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Значения функции $u(x)$ при заданном условии связи совпадают с значениями функции $z(x,y)$, т.е. найденные экстремумы функции $u(x)$ и есть искомые условные экстремумы функции $z(x,y)$.

Ответ : в точке $(0;0)$ функция имеет условный минимум, $z_{\min}=0$. В точке $\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ функция имеет условный максимум, $z_{\max}=\frac{500}{243}$.

Рассмотрим еще один пример, в котором характер экстремума выясним посредством определения знака $d^2F$.

Пример №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=5xy-4$, если переменные $x$ и $y$ положительны и удовлетворяют уравнению связи $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0$.

Составим функцию Лагранжа: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1 \right)$. Найдем стационарные точки функции Лагранжа:

$$ F_{x}^{"}=5y+\frac{\lambda x}{4}; \; F_{y}^{"}=5x+\lambda y.\\ \left \{ \begin{aligned} & 5y+\frac{\lambda x}{4}=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end{aligned} \right. $$

Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом $x > 0; \; y > 0$ (это оговорено в условии задачи). Из второго уравнения выразим $\lambda=-\frac{5x}{y}$ и подставим найденное значение в первое уравнение: $5y-\frac{5x}{y}\cdot \frac{x}{4}=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Подставляя $x=2y$ в третье уравнение, получим: $\frac{4y^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0$, $y^2=1$, $y=1$.

Так как $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер экстремума в точке $(2;1)$ определим, исходя из знака $d^2F$.

$$ F_{xx}^{""}=\frac{\lambda}{4}; \; F_{xy}^{""}=5; \; F_{yy}^{""}=\lambda. $$

Так как $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0$, то:

$$ d\left(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1\right)=0; \; d\left(\frac{x^2}{8} \right)+d\left(\frac{y^2}{2} \right)=0; \; \frac{x}{4}dx+ydy=0; \; dy=-\frac{xdx}{4y}. $$

В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки $x=2$, $y=1$ и параметра $\lambda=-10$, получив при этом:

$$ F_{xx}^{""}=\frac{-5}{2}; \; F_{xy}^{""}=-10; \; dy=-\frac{dx}{2}.\\ d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=-\frac{5}{2}dx^2+10dx\cdot \left(-\frac{dx}{2} \right)-10\cdot \left(-\frac{dx}{2} \right)^2=\\ =-\frac{5}{2}dx^2-5dx^2-\frac{5}{2}dx^2=-10dx^2. $$

Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше $d^2F$ представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:

$$ d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=\frac{\lambda}{4}dx^2+10\cdot dx\cdot \frac{-xdx}{4y} +\lambda\cdot \left(-\frac{xdx}{4y} \right)^2=\\ =\frac{\lambda}{4}dx^2-\frac{5x}{2y}dx^2+\lambda \cdot \frac{x^2dx^2}{16y^2}=\left(\frac{\lambda}{4}-\frac{5x}{2y}+\frac{\lambda \cdot x^2}{16y^2} \right)\cdot dx^2 $$

Подставляя $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, получим:

$$ d^2 F=\left(\frac{-10}{4}-\frac{10}{2}-\frac{10 \cdot 4}{16} \right)\cdot dx^2=-10dx^2. $$

Так как $d^2F=-10\cdot dx^2 < 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Ответ : в точке $(2;1)$ функция имеет условный максимум, $z_{\max}=6$.

В следующей части рассмотрим применение метода Лагранжа для функций большего количества переменных.

Метод множителей Лагранжа (в англ. литературе «LaGrange"s method of undetermined multipliers») ˗ это численный метод решения оптимизационных задач, который позволяет определить «условный» экстремум целевой функции (минимальное или максимальное значение)

при наличии заданных ограничений на ее переменные в виде равенств (т.е. определена область допустимых значений)

˗ это значения аргумента функции (управляемые параметры) на вещественной области при котором значение функции стремится к экстремуму. Применение названия «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие, которое ограничивает область допустимых значений при поиске экстремума функции.

Метод множителей Лагранжа позволяет задачу поиска условного экстремума целевой функции на множестве допустимых значений преобразовать к задаче безусловной оптимизации функции.

В случае если функции и непрерывны вместе со своими частными производными, то существуют такие переменные λ не равные одновременно нулю, при которых выполняется следующее условие:

Таким образом, в соответствии с методом множителей Лагранжа для поиска экстремума целевой функции на множестве допустимых значений составляю функцию Лагранжа L(х, λ), которую в дальнейшем оптимизируют:

где λ ˗ вектор дополнительных переменных, называемых неопределенными множителями Лагранжа.

Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции f(x) свелась к задаче поиска безусловного экстремума функции L(x, λ).

и

Необходимое условие экстремума функции Лагранжа задается системой уравнений (система состоит из «n + m» уравнений):

Решение данной системы уравнений позволяет определить аргументы функции (Х), при которых значение функции L(x, λ), а также значение целевой функции f(x) соответствуют экстремуму.

Величина множителей Лагранжа (λ) имеет практический интерес в случае, если ограничения представлены в форме со свободным членом уравнения (константой). В этом случае можно рассматривать дальнейшее (увеличение/уменьшение) значения целевой функции за счет изменения значения константы в системе уравнения . Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения максимума целевой функции при изменении ограничивающей константы.

Существует несколько способов определения характера экстремума полученной функции:

Первый способ: Пусть – координаты точки экстремума, а - соответствующее значение целевой функции. Берется точка , близкая к точке , и вычисляется значение целевой функции :

Если , то в точке имеет место максимум.

Если , то в точке имеет место минимум.

Второй способ: Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, является знак второго дифференциала функции Лагранжа. Второй дифференциал функции Лагранжа определяется следующим образом:

Если в заданной точке минимум , если же , то целевая функция f(x) имеет в данной точке условный максимум.

Третий способ: Также характер экстремума функции можно выяснить рассмотрев гессиан функции Лагранжа. Матрица Гессе представляет собой симметричную квадратную матрицу вторых частных производных функции в точке , в которой элементы матрицы симметричны относительно главной диагонали.

Для определения типа экстремума (максимум или минимум функции) можно воспользоваться правилом Сильвестра:

1. Для того, чтобы второй дифференциал функции Лагранжа был знакоположителен необходимо, чтобы угловые миноры функции были положительными . При таких условиях функция в этой точке имеет минимум.

2. Для того, чтобы второй дифференциал функции Лагранжа был знакоотрицателен , необходимо, чтобы угловые миноры функции чередовались, причем первый элемент матрицы должен быть отрицательнsv . При таких условиях функция в этой точке имеет максимум.

Под угловым минором понимаем минор, расположенный в первых k строках и k столбцах исходной матрицы.

Основное практическое значение метода Лагранжа заключается в том, что он позволяет перейти от условной оптимизации к безусловной и, соответственно, расширить арсенал доступных методов решения задачи. Однако задача решения системы уравнений, к которой сводится данный метод, в общем случае не проще исходной задачи поиска экстремума. Такие методы называются непрямыми. Их применение объясняется необходимостью получить решение экстремальной задачи в аналитической форме (допустим, для тех или иных теоретических выкладок). При решении конкретных практических задач обычно используются прямые методы, основанные на итеративных процессах вычисления и сравнения значений оптимизируемых функций.

Методика расчета

1 шаг : Определяем функцию Лагранжа из заданной целевой функции и системы ограничений:

Вперёд

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.