Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Как решать дифференциальные уравнения первого порядка

Пусть мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:
.
Разделив это уравнение на , при , мы получим уравнение вида:
,
где .

Далее смотрим, не относятся ли эти уравнения к одному из перечисленных ниже типов. Если нет, то перепишем уравнение в форме дифференциалов. Для этого пишем и умножаем уравнение на . Получаем уравнение в форме дифференциалов:
.

Если это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, то считаем, что в этом уравнении - независимая переменная, а - это функция от . Разделим уравнение на :
.
Далее смотрим, не относится ли это уравнение к одному из, перечисленных ниже типов учитывая, что и поменялись местами.

Если и для этого уравнения не найден тип, то смотрим, нельзя ли упростить уравнение простой подстановкой. Например, если уравнение имеет вид:
,
то замечаем, что . Тогда делаем подстановку . После этого уравнение примет более простой вид:
.

Если и это не помогает, то пытаемся найти интегрирующий множитель.

Уравнения с разделяющимися переменными

;
.
Делим на и интегрируем. При получаем:
.

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Однородные уравнения

Решаем подстановкой:
,
где - функция от . Тогда
;
.
Разделяем переменные и интегрируем.

Уравнения, приводящиеся к однородным

Вводим переменные и :
;
.
Постоянные и выбираем так, чтобы свободные члены обратились в нуль:
;
.
В результате получаем однородное уравнение в переменных и .

Обобщенные однородные уравнения

Делаем подстановку . Получаем однородное уравнение в переменных и .

Линейные дифференциальные уравнения

Есть три метода решения линейных уравнений.

2) Метод Бернулли.
Ищем решение в виде произведения двух функций и от переменной :
.
;
.
Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Поэтому в качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.

3) Метод вариации постоянной (Лагранжа).
Здесь мы сначала решаем однородное уравнение:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
,
где - постоянная. Далее мы заменяем постоянную на функцию , зависящую от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение. В результате получаем уравнение, из которого определяем .

Уравнения Бернулли

Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению.

Также это уравнение можно решать методом Бернулли. То есть ищем решение в виде произведения двух функций, зависящих от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
.
В качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .

Уравнения Риккати

Оно не решается в общем виде. Подстановкой

уравнение Риккати приводится к виду:
,
где - постоянная; ; .
Далее, подстановкой:

оно приводится к виду:
,
где .

Свойства уравнения Риккати и некоторые частные случаи его решения представлены на странице
Дифференциальное уравнение Риккати >>>

Уравнения Якоби

Решается подстановкой:
.

Уравнения в полных дифференциалах

При условии
.
При выполнении этого условия, выражение в левой части равенства является дифференциалом некоторой функции:
.
Тогда
.
Отсюда получаем интеграл дифференциального уравнения:
.

Для нахождения функции , наиболее удобным способом является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого используют формулы:
;
;
;
.

Интегрирующий множитель

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то можно попытаться найти интегрирующий множитель . Интегрирующий множитель - это такая функция, при умножении на которую, дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей. Однако, общих методов для нахождения интегрирующего множителя нет.

Уравнения, не решенные относительно производной y"

Уравнения, допускающие решение относительно производной y"

Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.

Уравнения, допускающие разложение на множители

Если удастся уравнение разложить на множители:
,
то задача сводится к последовательному решению более простых уравнений:
;
;

;
. Полагаем . Тогда
или .
Далее интегрируем уравнение:
;
.
В результате получаем выражение второй переменной через параметр .

Более общие уравнения:
или
также решаются в параметрическом виде. Для этого нужно подобрать такую функцию , чтобы из исходного уравнения можно было выразить или через параметр .
Чтобы выразить вторую переменную через параметр , интегрируем уравнение:
;
.

Уравнения, разрешенные относительно y

Уравнения Клеро

Такое уравнение имеет общее решение

Уравнения Лагранжа

Решение ищем в параметрическом виде. Полагаем , где - параметр.

Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли

Эти уравнения приводятся к уравнению Бернулли, если искать их решения в параметрическом виде, введя параметр и делая подстановку .

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

1. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

Если это уравнение можно разрешить относительно та его можно записать в виде

В этом случае мы говорим, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной. Для такого уравнения справедлива следующая теорема, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Теорема. Если в уравнении

функция и ее частная производная по у непрерывны в некоторой области D на плоскости содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения

удовлетворяющее условию при

Эта теорема будет доказана в § 27 гл. XVI.

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция график которой проходит через точку

Из только что высказанной теоремы вытекает, что уравнение имеет бесконечное число различных решений (например, решение, график которого проходит через точку другое решение, график которого проходит через точку и т. д., если только эти точки лежат в области

Условие, что при функция у должна равняться заданному числу называется начальным условием. Оно часто записывается в виде

Определение 1. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет следующим условиям:

а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянной С;

б) каково бы ни было начальное условие при можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию. При этом предполагается, что значения принадлежат к той области изменения переменных х и у, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения.

2. В процессе разыскания общего решения дифференциального уравнения мы нередко приходим к соотношению вида

не разрешенному относительно у. Разрешив это соотношение относительно у, получаем общее решение. Однако выразить у из соотношения (2) в элементарных функциях не всегда оказывается возможным; в таких случаях общее решение оставляется в неявном виде. Равенство вида неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 2. Частным решением называется любая функция которая получается из общего решения , если в последнем произвольной постоянной С придать определенное значение Соотношение называется в этом случае частным интегралом уравнения.

Пример 1. Для уравнения первого порядка

общим решением будет семейство функции это можно проверить простой подстановкой в уравнение.

Найдем частное решение, удовлетворяющее следующему начальному условию: при Подставляя эти значения в формулу получим или Следовательно, искомым частным решением будет функция

С точки зрения геометрической общий интеграл представляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С (или, как говорят, от одного параметра С).

Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения. Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через некоторую заданную точку плоскости.

Так, в последнем примере общий интеграл геометрически изображается семейством гипербол а частный интеграл, определенный указанным начальным условием, изображается одной из этих гипербол, проходящей через точку На рис. 251 изображены кривые семейства, соответствующие некоторым значениям параметра: и т. д.

Чтобы сделать рассуждения более наглядными, мы будем в дальнейшем называть решением уравнения не только функцию удовлетворяющую уравнению, но и соответствующую интегральную кривую. В связи с этим мы будем говорить, например, о решении, проходящем через точку .

Замечание. Уравнение не имеет решения, проходящего через точку, лежащую на оси рис. 251), так как правая часть уравнения при не определена и, следовательно, не является непрерывной.

Решить или, как часто говорят, проинтегрировать дифференциальное уравнение - значит:

а) найти его общее решение или общий интеграл (если начальные условия не заданы) или

б) найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковые имеются).

3. Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной:

и пусть есть общее решение данного уравнения. Это общее решение определяет семейство интегральных кривых на плоскости

Уравнение (Г) для каждой точки М с координатами х и у определяет значение производной т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, дифференциальное уравнение (Г) дает совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений на плоскости

Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.

Для дифференциального уравнения (1) геометрическое место точек, в которых выполняется соотношение называется изоклиной данного дифференциального уравнения.

При различных значениях k получаем различные изоклины. Уравнение изоклины, соответствующей значению k, будет, очевидно, Построив семейство изоклин, можно приближенно построить семейство интегральных кривых. Говорят, что, зная изоклины, можно качественно определить расположение интегральных кривых на плоскости.

Думаю, нам стоит начать с истории такого славного математического инструмента как дифференциальные уравнения. Как и все дифференциальные и интегральные исчисления, эти уравнения были изобретены Ньютоном в конце 17-го века. Он считал именно это своё открытие настолько важным, что даже зашифровал послание, которое сегодня можно перевести примерно так: "Все законы природы описываются дифференциальными уравнениями". Это может показаться преувеличением, но всё так и есть. Любой закон физики, химии, биологии можно описать этими уравнениями.

Огромный вклад в развитие и создание теории дифференциальных уравнений внесли математики Эйлер и Лагранж. Уже в 18-м веке они открыли и развили то, что сейчас изучают на старших курсах университетов.

Новая веха в изучении дифференциальных уравнений началась благодаря Анри Пуанкаре. Он создал «качественную теорию дифференциальных уравнений», которая в сочетании с теорией функций комплексного переменного внесла значительный вклад в основание топологии - науки о пространстве и его свойствах.

Что такое дифференциальные уравнения?

Многие боятся одного словосочетания Однако в этой статье мы подробно изложим всю суть этого очень полезного математического аппарата, который на самом деле не так сложен, как кажется из названия. Для того чтобы начать рассказывать про дифференциальные уравнения первого порядка, следует сначала познакомиться с основными понятиями, которые неотъемлемо связаны с этим определением. И начнём мы с дифференциала.

Дифференциал

Многие знают это понятие ещё со школы. Однако всё же остановимся на нём поподробнее. Представьте себе график функции. Мы можем увеличить его до такой степени, что любой его отрезок примет вид прямой линии. На ней возьмём две точки, находящиеся бесконечно близко друг к другу. Разность их координат (x или y) будет бесконечно малой величиной. Ее и называют дифференциалом и обозначают знаками dy (дифференциал от y) и dx (дифференциал от x). Очень важно понимать, что дифференциал не является конечной величиной, и в этом заключается его смысл и основная функция.

А теперь необходимо рассмотреть следующий элемент, который нам пригодится при объяснении понятия дифференциального уравнения. Это - производная.

Производная

Все мы наверняка слышали в школе и это понятие. Говорят, что производная - это скорость роста или убывания функции. Однако из этого определения многое становится непонятным. Попробуем объяснить производную через дифференциалы. Давайте вернёмся к бесконечно малому отрезку функции с двумя точками, которые находятся на минимальном расстоянии друг от друга. Но даже за это расстояние функция успевает измениться на какую-то величину. И чтобы описать это изменение и придумали производную, которую иначе можно записать как отношение дифференциалов: f(x)"=df/dx.

Теперь стоит рассмотреть основные свойства производной. Их всего три:

1. Производную суммы или разности можно представить как сумму или разность производных: (a+b)"=a"+b" и (a-b)"=a"-b".
2. Второе свойство связано с умножением. Производная произведения - это сумма произведений одной функции на производную другой: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Производную разности записать можно в виде следующего равенства: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Все эти свойства нам пригодятся для нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Также бывают частные производные. Допустим, у нас есть функция z, которая зависит от переменных x и y. Чтобы вычислить частную производную этой функции, скажем, по x, нам необходимо принять переменную y за постоянную и просто продифференцировать.

Интеграл

Другое важное понятие - интеграл. По сути это прямая противоположность производной. Интегралы бывают нескольких видов, но для решения простейших дифференциальных уравнений нам понадобятся самые тривиальные

Итак, Допустим, у нас есть некоторая зависимость f от x. Мы возьмём от неё интеграл и получим функцию F(x) (часто её называют первообразной), производная от которой равна первоначальной функции. Таким образом F(x)"=f(x). Отсюда следует также, что интеграл от производной равен первоначальной функции.

При решении дифференциальных уравнений очень важно понимать смысл и функцию интеграла, так как придётся очень часто их брать для нахождения решения.

Уравнения бывают разными в зависимости от своей природы. В следующем разделе мы рассмотрим виды дифференциальных уравнений первого порядка, а потом и научимся их решать.

Классы дифференциальных уравнений

"Диффуры" делятся по порядку производных, участвующих в них. Таким образом бывает первый, второй, третий и более порядок. Их также можно поделить на несколько классов: обыкновенные и в частных производных.

В этой статье мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры и способы их решения мы также обсудим в следующих разделах. Будем рассматривать только ОДУ, потому что это самые распространённые виды уравнений. Обыкновенные делятся на подвиды: с разделяющимися переменными, однородные и неоднородные. Далее вы узнаете, чем они отличаются друг от друга, и научитесь их решать.

Кроме того, эти уравнения можно объединять, чтобы после у нас получилась система дифференциальных уравнений первого порядка. Такие системы мы тоже рассмотрим и научимся решать.

Почему мы рассматриваем только первый порядок? Потому что нужно начинать с простого, а описать всё, связанное с дифференциальными уравнениями, в одной статье просто невозможно.

Уравнения с разделяющимися переменными

Это, пожалуй, самые простые дифференциальные уравнения первого порядка. К ним относятся примеры, которые можно записать так: y"=f(x)*f(y). Для решения этого уравнения нам понадобится формула представления производной как отношения дифференциалов: y"=dy/dx. С помощью неё получаем такое уравнение: dy/dx=f(x)*f(y). Теперь мы можем обратиться к методу решения стандартных примеров: разделим переменные по частям, т. е. перенесём всё с переменной y в часть, где находится dy, и так же сделаем с переменной x. Получим уравнение вида: dy/f(y)=f(x)dx, которое решается взятием интегралов от обеих частей. Не стоит забывать и о константе, которую нужно ставить после взятия интеграла.

Решение любого "диффура" - это функция зависимости x от y (в нашем случае) или, если присутствует численное условие, то ответ в виде числа. Разберём на конкретном примере весь ход решения:

Переносим переменные в разные стороны:

Теперь берём интегралы. Все их можно найти в специальной таблице интегралов. И получаем:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Если требуется, мы можем выразить "игрек" как функцию от "икс". Теперь можно сказать, что наше дифференциальное уравнение решено, если не задано условие. Может быть задано условие, например, y(п/2)=e. Тогда мы просто подставляем значение этих переменных в решение и находим значение постоянной. В нашем примере оно равно 1.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Теперь переходим к более сложной части. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка можно записать в общем виде так: y"=z(x,y). Следует заметить, что правая функция от двух переменных однородна, и её нельзя разделить на две зависимости: z от x и z от y. Проверить, является ли уравнение однородным или нет, достаточно просто: мы делаем замену x=k*x и y=k*y. Теперь сокращаем все k. Если все эти буквы сократились, значит уравнение однородное и можно смело приступать к его решению. Забегая вперёд, скажем: принцип решения этих примеров тоже очень прост.

Нам нужно сделать замену: y=t(x)*x, где t - некая функция, которая тоже зависит от x. Тогда мы можем выразить производную: y"=t"(x)*x+t. Подставляя всё это в наше исходное уравнение и упрощая его, мы получаем пример с разделяющимися переменными t и x. Решаем его и получаем зависимость t(x). Когда мы ее получили, то просто подставляем в нашу предыдущую замену y=t(x)*x. Тогда получаем зависимость y от x.

Чтобы было понятнее, разберём пример: x*y"=y-x*e y/x .

При проверке с заменой всё сокращается. Значит, уравнение действительно однородное. Теперь делаем другую замену, о которой мы говорили: y=t(x)*x и y"=t"(x)*x+t(x). После упрощения получаем следующее уравнение: t"(x)*x=-e t . Решаем получившийся пример с разделёнными переменными и получаем: e -t =ln(C*x). Нам осталось только заменить t на y/x (ведь если y=t*x, то t=y/x), и мы получаем ответ: e -y/x =ln(x*С).

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Пришло время рассмотреть ещё одну обширную тему. Мы разберём неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Чем они отличаются от предыдущих двух? Давайте разберёмся. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать таким равенством: y" + g(x)*y=z(x). Стоит уточнить, что z(x) и g(x) могут являться постоянными величинами.

А теперь пример: y" - y*x=x 2 .

Существует два способа решения, и мы по порядку разберём оба. Первый - метод вариации произвольных констант.

Для того чтобы решить уравнение этим способом, необходимо сначала приравнять правую часть к нулю и решить получившееся уравнение, которое после переноса частей примет вид:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *у С =C 1 *e x2/2 .

Теперь надо заменить константу C 1 на функцию v(x), которую нам предстоит найти.

Проведём замену производной:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

И подставим эти выражения в исходное уравнение:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Можно видеть, что в левой части сокращаются два слагаемых. Если в каком-то примере этого не произошло, значит вы что-то сделали не так. Продолжим:

v"*e x2/2 = x 2 .

Теперь решаем обычное уравнение, в котором нужно разделить переменные:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Чтобы извлечь интеграл, нам придётся применить здесь интегрирование по частям. Однако это не тема нашей статьи. Если вам интересно, вы можете самостоятельно научиться выполнять такие действия. Это не сложно, и при достаточном навыке и внимательности не отнимает много времени.

Обратимся ко второму способу решения неоднородных уравнений: методу Бернулли. Какой подход быстрее и проще - решать только вам.

Итак, при решении уравнения этим методом нам необходимо сделать замену: y=k*n. Здесь k и n - некоторые зависящие от x функции. Тогда производная будет выглядеть так: y"=k"*n+k*n". Подставляем обе замены в уравнение:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Группируем:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Теперь надо приравнять к нулю то, что находится в скобках. Теперь, если объединить два получившихся уравнения, получается система дифференциальных уравнений первого порядка, которую нужно решить:

Первое равенство решаем, как обычное уравнение. Для этого нужно разделить переменные:

Берём интеграл и получаем: ln(n)=x 2 /2. Тогда, если выразить n:

Теперь подставляем получившееся равенство во второе уравнение системы:

k"*e x2/2 =x 2 .

И преобразовывая, получаем то же самое равенство, что и в первом методе:

dk=x 2 /e x2/2 .

Мы также не будем разбирать дальнейшие действия. Стоит сказать, что поначалу решение дифференциальных уравнений первого порядка вызывает существенные трудности. Однако при более глубоком погружении в тему это начинает получаться всё лучше и лучше.

Где используются дифференциальные уравнения?

Очень активно дифференциальные уравнения применяются в физике, так как почти все основные законы записываются в дифференциальной форме, а те формулы, которые мы видим - решение этих уравнений. В химии они используются по той же причине: основные законы выводятся с их помощью. В биологии дифференциальные уравнения используются для моделирования поведения систем, например хищник - жертва. Они также могут использоваться для создания моделей размножения, скажем, колонии микроорганизмов.

Как дифференциальные уравнения помогут в жизни?

Ответ на этот вопрос прост: никак. Если вы не учёный или инженер, то вряд ли они вам пригодятся. Однако для общего развития не помешает знать, что такое дифференциальное уравнение и как оно решается. И тогда вопрос сына или дочки "что такое дифференциальное уравнение?" не поставит вас в тупик. Ну а если вы учёный или инженер, то и сами понимаете важность этой темы в любой науке. Но самое главное, что теперь на вопрос "как решить дифференциальное уравнение первого порядка?" вы всегда сможете дать ответ. Согласитесь, всегда приятно, когда понимаешь то, в чём люди даже боятся разобраться.

Основные проблемы при изучении

Основной проблемой в понимании этой темы является плохой навык интегрирования и дифференцирования функций. Если вы плохо берёте производные и интегралы, то, наверное, стоит ещё поучиться, освоить разные методы интегрирования и дифференцирования, и только потом приступать к изучению того материала, что был описан в статье.

Некоторые люди удивляются, когда узнают, что dx можно переносить, ведь ранее (в школе) утверждалось, что дробь dy/dx неделима. Тут нужно почитать литературу по производной и понять, что она является отношением бесконечно малых величин, которыми можно манипулировать при решении уравнений.

Многие не сразу осознают, что решение дифференциальных уравнений первого порядка - это зачастую функция или неберущийся интеграл, и это заблуждение доставляет им немало хлопот.

Что ещё можно изучить для лучшего понимания?

Лучше всего начать дальнейшее погружение в мир дифференциального исчисления со специализированных учебников, например, по математическому анализу для студентов нематематических специальностей. Затем можно переходить и к более специализированной литературе.

Стоит сказать, что, кроме дифференциальных, есть ещё интегральные уравнения, так что вам всегда будет к чему стремиться и что изучать.

Заключение

Надеемся, что после прочтения этой статьи у вас появилось представление о том, что такое дифференциальные уравнения и как их правильно решать.

В любом случае математика каким-либо образом пригодится нам в жизни. Она развивает логику и внимание, без которых каждый человек как без рук.

Первого порядка, имеющее стандартний вид $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, где $P\left(x\right)$ -- непрерывная функция , называется линейным однородным. Название "линейное" объясняется тем, что неизвестная функция $y$ и её первая производная $y"$ входят в состав уравнения линейно, то есть в первой степени. Название "однородное" объясняется тем, что в правой части уравнения находится нуль.

Такое дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных. Представим его в стандартном виде метода: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, где $f_{1} \left(x\right)=-P\left(x\right)$ и $f_{2} \left(y\right)=y$.

Вычислим интеграл $I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.

Вычислим интеграл $I_{2} =\int \frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} =\int \frac{dy}{y} =\ln \left|y\right|$.

Запишем общее решение в виде $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_{1} \right|$, где $\ln \left|C_{1} \right|$ -- произвольная постоянная, взятая в удобном для дальнейших преобразований виде.

Выполним преобразования:

\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_{1} \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac{\left|y\right|}{\left|C_{1} \right|} =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]

Используя определение логарифма, получим: $\left|y\right|=\left|C_{1} \right|\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $. Это равенство, в свою очередь, эквивалентно равенству $y=\pm C_{1} \cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $.

Заменив произвольную постоянную $C=\pm C_{1} $, получим общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: $y=C\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $.

Решив уравнение $f_{2} \left(y\right)=y=0$, найдем особые решения. Обычной проверкой убеждаемся, что функция $y=0$ является особым решением данного дифференциального уравнения.

Однако это же решение можно получить из общего решения $y=C\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $, положив в нём $C=0$.

Таким образом, окончательный результат: $y=C\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $.

Общий метод решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:

1. Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
2. Вычисляем интеграл $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
3. Записываем общее решение в виде $y=C\cdot e^{-I} $ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.

Задача 1

Найти общее решение дифференциального уравнения $y"+3\cdot x^{2} \cdot y=0$.

Имеем линейное однородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $P\left(x\right)=3\cdot x^{2} $.

Вычисляем интеграл $I=\int 3\cdot x^{2} \cdot dx =x^{3} $.

Общее решение имеет вид: $y=C\cdot e^{-x^{3} } $.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно представить в стандартном виде $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ -- известные непрерывные функции, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Название "неоднородное" объясняется тем, что правая часть дифференциального уравнения отлична от нуля.

Решение одного сложного линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть сведено к решению двух более простых дифференциальных уравнений. Для этого искомую функцию $y$ следует заменить произведением двух вспомогательных функций $u$ и $v$, то есть положить $y=u\cdot v$.

Выполняем дифференцирование принятой замены: $\frac{dy}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx} $. Подставляем полученное выражение в данное дифференциальное уравнение: $\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot u\cdot v=Q\left(x\right)$ или $\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \left[\frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot v\right]=Q\left(x\right)$.

Отметим, что если принято $y=u\cdot v$, то в составе произведения $u\cdot v$ одну из вспомогательных функций можно выбирать произвольно. Выберем вспомогательную функцию $v$ так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль. Для этого достаточно решить дифференциальное уравнение $\frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot v=0$ относительно функции $v$ и выбрать для неё простейшее частное решение $v=v\left(x\right)$, отличное от нуля. Это дифференциальное уравнение является линейным однородным и решается оно вышерассмотренным методом.

Полученное решение $v=v\left(x\right)$ подставляем в данное дифференциальное уравнение с учетом того, что теперь выражение в квадратных скобках равно нулю, и получаем еще одно дифференциальное уравнение, но теперь относительно вспомогательной функции $u$: $\frac{du}{dx} \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Это дифференциальное уравнение можно представить в виде $\frac{du}{dx} =\frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} $, после чего становится очевидно, что оно допускает непосредственное интегрирование. Для этого дифференциального уравнения необходимо найти общее решение в виде $u=u\left(x,\; C\right)$.

Теперь можно найти общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.

Общий метод решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:

1. Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
2. Вычисляем интеграл $I_{1} =\int P\left(x\right)\cdot dx $, записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $, выполняем упрощающие преобразования и выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант.
3. Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx $, посля чего записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_{2} +C$.
4. Записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.

Задача 2

Найти общее решение дифференциального уравнения $y"-\frac{y}{x} =3\cdot x$.

Имеем линейное неоднородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $P\left(x\right)=-\frac{1}{x} $ и $Q\left(x\right)=3\cdot x$.

Вычисляем интеграл $I_{1} =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac{1}{x} \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

Записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $ и выполняем упрощающие преобразования: $v\left(x\right)=e^{\ln \left|x\right|} $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Вибираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$.

Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx =\int \frac{3\cdot x}{x} \cdot dx=3\cdot x $.

Записываем выражение $u\left(x,C\right)=I_{2} +C=3\cdot x+C$.

Окончательно записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $y=\left(3\cdot x+C\right)\cdot x$.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид

\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),

где p(x) и q(x) - заданные функции от x , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).

Если q(x)\equiv0 , то уравнение (1) называется линейным однородным . Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

Y=C\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right)\!,

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной , который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде

Y=C(x)\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right) , где C(x) - новая неизвестная функция от x .

Пример 1. Решить уравнение y"+2xy=2xe^{-x^2} .

Решение. Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение y"+2xy=0 , соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид y=Ce^{-x^2} .

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде y=C(x)e^{-x^2} , где C(x) - неизвестная функция от x . Подставляя, получаем C"(x)=2x , откуда C(x)=x^2+C . Итак, общее решение неоднородного уравнения будет y=(x^2+C)e^{-x^2} , где C - постоянная интегрирования.

Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно x как функция от y . Нормальный вид такого уравнения

\frac{dx}{dy}+r(y)x=\varphi(y).

Пример 2. Решить уравнение \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\cos{y}+\sin2y} .

Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать x как функцию от y :

\frac{dx}{dy}-x\cos{y}=\sin{2y}.

Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение

\frac{dx}{dy}-x\cos{y}=0,

которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид x=Ce^{\sin{y}},~C=\text{const} .

Общее решение уравнения ищем в виде x=C(y)e^{\sin{y}} , где C(y) - неизвестная функция от y . Подставляя, получаем

C"(y)e^{\sin{y}}=\sin2y или C"(y)=e^{-\sin{y}}\sin2y.

Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь

\begin{aligned}C(y)&=\int{e^{-\sin{y}}\sin2y}\,dy=2\int{e^{-\sin{y}}\cos{y}\sin{y}}\,dy=2\int\sin{y}\,d(-e^{-\sin{y}})=\\ &=-2\sin{y}\,e^{-\sin{y}}+2\int{e^{-\sin{y}}\cos{y}}\,dy=C-2(\sin{y}+1)e^{-\sin{y}},\end{aligned}

Итак,

C(y)=-2e^{-\sin{y}}(1+\sin{y})+C.

Подставляя это уравнение в x=C(y)e^{\sin{y}} , получаем общее решение исходного уравнения, а значит, и данного уравнения:

X=Ce^{\sin{y}}-2(1+\sin{y})

Исходное уравнение может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем

Y=u(x)v(x),

где u(x) и v(x) - неизвестные функции от x , одна из которых, например v(x) , может быть выбрана произвольно.

Подставляя y=u(x)v(x) в , после преобразования получаем

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Определяя v(x) из условия v"+pv=0 , найдем затем из vu"+(pv+v")u=q(x) функцию u(x) , а следовательно, и решение y=uv уравнения \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) . В качестве v(x) можно взять любое частое решение уравнения v"+pv=0,~v\not\equiv0 .

Пример 3. Решить задачу Коши: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_{x=2}=4 .

Решение. Ищем общее решение уравнения в виде y=u(x)v(x) ; имеем y"=u"v+uv" . Подставляя выражение для y и y" в исходное уравнение, будем иметь

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) или x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Функцию v=v(x) находим из условия x(x-1)v"+v=0 . Беря любое частное решение последнего уравнения, например v=\frac{x}{x-1} , и подставляя его, получаем уравнение u"=2x-1 , из которого находим функцию u(x)=x^2-x+C . Следовательно, общее решение уравнения x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) будет

Y=uv=(x^2-x+C)\frac{x}{x-1}, или y=\frac{Cx}{x-1}+x^2.

Используя начальное условие y|_{x=2}=4 , получаем для нахождения C уравнение 4=\frac{2C}{2-1}+2^2 , откуда C=0 ; так что решением поставленной задачи Коши будет функция y=x^2 .

Пример 4. Известно, что между силой тока i и электродвижущей силой E в цепи, имеющей сопротивление R и самоиндукцию L , существует зависимость E=Ri+L\frac{di}{dt} , где R и L - постоянные. Если считать E функцией времени t , то получим линейное неоднородное уравнение для силы тока i :

\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E(t)}{L}.

Найти силу тока i(t) для случая, когда E=E_0=\text{const} и i(0)=I_0 .

Решение. Имеем \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E_0}{L},~i(0)=I_0 . Общее решение этого уравнения имеем вид i(t)=\frac{E_0}{R}+Ce^{-(R/L)t} . Используя начальное условие (13), получаем из C=I_0-\frac{E_0}{R} , так что искомое решение будет

I(t)=\frac{E_0}{R}+\left(I_0-\frac{E_0}{R}\right)\!e^{-(R/L)t}.

Отсюда видно, что при t\to+\infty сила тока i(t) стремится к постоянному значению \frac{E_0}{R} .

Пример 5. Дано семейство C_\alpha интегральных кривых линейного неоднородного уравнения y"+p(x)y=q(x) .

Показать, что касательные в соответственных точках к кривым C_\alpha , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).

Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой C_\alpha в точке M(x,y) .Уравнение касательной в точке M(x,y) имеет вид

\eta-q(x)(\xi-x)=y , где \xi,\eta - текущие координаты точки касательной.

По определению, в соответственных точках x является постоянным, а y переменным. Беря любые две касательные к линиям C_\alpha в соответственных точках, для координат точки S их пересечения, получаем

\xi=x+\frac{1}{p(x)}, \quad \eta=x+\frac{q(x)}{p(x)}.

Отсюда видно, что все касательные к кривым C_\alpha в соответственных точках ( x фиксировано) пересекаются в одной и той же точке

S\!\left(x+\frac{1}{p(x)};\,x+\frac{q(x)}{p(x)}\right).

Исключая в системе аргумент x , получаем уравнение геометрического места точек S \colon f(\xi,\eta)=0 .

Пример 6. Найти решение уравнения y"-y=\cos{x}-\sin{x} , удовлетворяющее условию: y ограничено при y\to+\infty .

Решение. Общее решение данного уравнения y=Ce^x+\sin{x} . Любое решение уравнения, получаемое из общего решения при C\ne0 , будет неограниченно, так как при x\to+\infty функция \sin{x} ограничена, а e^x\to+\infty . Отсюда следует, что данное уравнение имеет единственное решение y=\sin{x} , ограниченное при x\to+\infty , которое получается из общего решения при C=0 .

Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид

\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n , где n\ne0;1 (при n=0 и n=1 это уравнение является линейным).

С помощью замены переменной z=\frac{1}{y^{n-1}} уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

Пример 7. Решить уравнение Бернулли y"-xy=-xy^3 .

Решение. Делим обе части уравнения на y^3 :

\frac{y"}{y^3}-\frac{x}{y^2}=-x

Делаем замену переменной \frac{1}{y^2}=z\Rightarrow-\frac{2y"}{y^3}=z" , откуда \frac{y"}{y^3}=-\frac{z"}{2} . После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение

-\frac{z"}{2}-xz=-x или z"+2xz=2x , общее решение которого z=1+Ce^{-x^2}.

Отсюда получаем общий интеграл данного уравнения

\frac{1}{y^2}=1+Ce^{-x^2} или y^2(1+Ce^{-x^2})=1.

Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки y(x)=u(x)v(x) .

Пример 8. Решить уравнение Бернулли xy"+y=y^2\ln{x}. .

Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Общее решение соответствующего однородного уравнения xy"+y=0 имеет вид y=\frac{C}{x} . Общее решение уравнения ищем в виде y=\frac{C(x)}{x} , где C(x) - новая неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение, будем иметь

C"(x)=C^2(x)\frac{\ln{x}}{x^2}.

Для нахождения функции C(x) получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем

\frac{1}{C(x)}=\frac{\ln{x}}{x}+\frac{1}{x}+C~\Rightarrow~C(x)=\frac{x}{1+Cx+\ln{x}}.

Итак, общее решение исходного уравнения y=\frac{1}{1+Cx+\ln{x}} .

Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравнениям или к уравнениям Бернулли.

Пример 9. Решить уравнение y"+\sin{y}+x\cos{y}+x=0 .

Решение. Запишем данное уравнение в виде y"+2\sin\frac{y}{2}\cos\frac{y}{2}+2x\cos^2\frac{y}{2}=0. .

Деля обе части уравнения на 2\cos^2\frac{y}{2} , получаем \frac{y"}{2\cos^2\dfrac{y}{2}}+\operatorname{tg}\frac{y}{2}+x=0 .

Замена \operatorname{tg}\frac{y}{2}=z\Rightarrow\frac{dz}{dx}=\frac{y"}{\cos^2\dfrac{y}{2}} приводит это уравнение к линейному \frac{dz}{dx}+z=-x , общее решение которого z=1-x+Ce^{-x} .

Заменяя z его выражением через y , получаем общий интеграл данного уравнения \operatorname{tg}\frac{y}{2}=1-x+Ce^{-x} .

В некоторых уравнениях искомая функция y(x) может находиться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному.

Пример 10. Решить уравнение x\int\limits_{x}^{0}y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt,~x>0 .

Решение. Дифференцируя обе части этого уравнения по x , получаем

\int\limits_{0}^{x}y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt+x(x+1)y(x) или Источник информации