Как найти координаты точки пересечения двух прямых. Точка пересечения двух прямых

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решениемсистемы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.

Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение одной прямой.
2) Составить уравнение второй прямой.
3) Выяснить взаимное расположение прямых.
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Пример 13.

Найти точку пересечения прямых

Решение : Точку пересечения целесообразно искать аналитическим методом. Решим систему:

Ответ :

П.6.4. Расстояние от точки до прямой

Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.

Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

Расстояние от точкидо прямой выражается формулой

Пример 14.

Найти расстояние от точки до прямой

Решение : всё что нужно - аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ :

П.6.5. Угол между прямыми.

Пример 15.

Найти угол между прямыми .

1. Проверяем перпендикулярны ли прямые:

Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2. Угол между прямыми найдём с помощью формулы:

Таким образом:

Ответ :

Кривые второго порядка. Окружность

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат 0ху.

Кривой второго порядка называется линия на плоскости, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат точки М(х, у, z). В общем случае это уравнение имеет вид:

где коэффициенты А, В, С, D, E, L – любые действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А, B, С отлично от нуля.

1.Окружностью называется множество точек на плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки М 0 (х 0 , у 0) постоянно и равно R. Точка М 0 называется центром окружности, а число R – ее радиусом

– уравнение окружности с центром в точке М 0 (х 0 , у 0) и радиусом R.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то имеем:

– каноническое уравнение окружности.

Эллипс.

Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек есть величина постоянная (причем эта величина больше расстояний между данными точками). Данные точки называются фокусами эллипса .

– каноническое уравнение эллипса.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса и обозначается: , . Так как , то < 1.

Следовательно, с уменьшением отношение стремится к 1, т.е. b мало отличается от а и форма эллипса становится ближе к форме окружности. В предельном случае при , получается окружность, уравнение которой есть

х 2 + у 2 = а 2 .

Гипербола

Гиперболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемыхфокусами , есть величина постоянная (при условии, что эта величина меньше расстояния между фокусами и не равна 0).

Пусть F 1 , F 2 – фокусы, расстояние между ними обозначим через 2с, параметром параболы).

– каноническое уравнение параболы.

Заметим, что уравнение при отрицательном р также задает параболу, которая будет расположена слева от оси 0у. Уравнение описывает параболу, симметричную относительно оси 0у, лежащую выше оси 0х при р > 0 и лежащую ниже оси 0х при р < 0.

В былые времена я увлекался компьютерной графикой, как 2х так и 3х мерной, в том числе математическими визуализациями. Что называется just for fun, будучи студентом, написал программу визуализирующую N-мерные фигуры, вращающиеся в любых измерениях, хотя практически меня хватило только на определение точек для 4-D гиперкуба. Но это только присказка. Любовь к геометрии осталась у меня с тех пор и по сей день, и я до сих пор люблю решать интересные задачи интересными способами.
Одна из таких задач попалась мне в 2010 году. Сама задача достаточно тривиальна: необходимо найти, пересекаются ли два 2-D отрезка, и если пересекаются - найти точку их пересечения. Более интересно решение, которое, я считаю, получилось достаточно элегантным, и которое я хочу предложить на суд читателя. На оригинальность алгоритма не претендую (хотя и хотелось бы), но в сети подобных решений я найти не смог.

Задача

Даны два отрезка, каждый из которых задан двумя точками: (v11, v12), (v21, v22). Необходимо определить, пересекаются ли они, и если пересекаются, найти точку их пересечения.

Решение

Для начала необходимо определить, пересекаются ли отрезки. Необходимое и достаточное условие пересечения, которое должно быть соблюдено для обоих отрезков следующее: конечные точки одного из отрезков должны лежать в разных полуплоскостях, если разделить плоскость линией, на которой лежит второй из отрезков. Продемонстрируем это рисунком.

На левом рисунке (1) показаны два отрезка, для обоих из которых условие соблюдено, и отрезки пересекаются. На правом (2) рисунке условие соблюдено для отрезка b, но для отрезка a оно не соблюдается, соответственно отрезки не пересекаются.
Может показаться, что определить, с какой стороны от линии лежит точка - нетривиальная задача, но у страха глаза велики, и всё не так сложно. Мы знаем, что векторное умножение двух векторов даёт нам третий вектор, направление которого зависит от того, положительный или отрицательный угол между первым и вторым вектором, соответственно такая операция антикоммутативна. А так как все вектора лежат на плоскости X-Y, то их векторное произведение (которое обязано быть перпендикулярным перемножаемым векторам) будет иметь ненулевой только компоненту Z, соответственно и отличие произведений векторов будет только в этой компоненте. Причем при изменении порядка перемножения векторов (читай: угла между перемножаемыми векторами) состоять оно будет исключительно в изменении знака этой компоненты.
Поэтому мы можем умножить попарно-векторно вектор разделяющего отрезка на векторы направленные от начала разделяющего отрезка к обеим точкам проверяемого отрезка.

Если компоненты Z обоих произведений будет иметь различный знак, значит один из углов меньше 0 но больше -180, а второй больше 0 и меньше 180, соответственно точки лежат по разные стороны от прямой. Если компоненты Z обоих произведений имеют одинаковый знак, следовательно и лежат они по одну сторону от прямой.
Если один из компонент Z является нулём, значит мы имеем пограничный случай, когда точка лежит аккурат на проверяемой прямой. Оставим пользователю определять, хочет ли он считать это пересечением.
Затем нам необходимо повторить операцию для другого отрезка и прямой, и убедиться в том, что расположение его конечных точек также удовлетворяет условию.
Итак, если всё хорошо и оба отрезка удовлетворяют условию, значит пересечение существует. Давайте найдём его, и в этом нам также поможет векторное произведение.
Так как в векторном произведении мы имеем ненулевой лишь компоненту Z, то его модуль (длина вектора) будет численно равен именно этой компоненте. Давайте посмотрим, как найти точку пересечения.

Длина векторного произведения векторов a и b (как мы выяснили, численно равная его компоненте Z) равна произведению модулей этих векторов на синус угла между ними (|a| |b| sin(ab)). Соответственно, для конфигурации на рисунке мы имеем следующее: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α), и |AB x AD| = |AB||AD| sin(β). |AC|sin(α) является перпендикуляром, опущенным из точки C на отрезок AB, а |AD|sin(β) является перпендикуляром, опущенным из точки D на отрезок AB (катетом ADD"). Так как углы γ и δ - вертикальные углы, то они равны, а значит треугольники PCC" и PDD" подобны, а соответственно и длины всех их сторон пропорциональны в равном отношении.
Имея Z1 (AB x AC, а значит |AB||AC|sin(α)) и Z2 (AB x AD, а значит |AB||AD|sin(β)), мы можем рассчитать CC"/DD" (которая будет равна Z1/Z2), а также зная что CC"/DD" = CP/DP легко можно высчитать местоположение точки P. Лично я делаю это следующим образом:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

Вот и все. Мне кажется что это действительно очень просто, и элегантно. В заключение хочу привести код функции, реализующий данный алгоритм. В функции использован самодельный шаблон vector, который является шаблоном вектора размерностью int с компонентами типа typename. Желающие легко могут подогнать функцию к своим типам векторов.

1 template 2 bool are_crossing(vector const &v11, vector const &v12, vector const &v21, vector const &v22, vector *crossing) 3 { 4 vector cut1(v12-v11), cut2(v22-v21); 5 vector prod1, prod2; 6 7 prod1 = cross(cut1 * (v21-v11)); 8 prod2 = cross(cut1 * (v22-v11)); 9 10 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Отсекаем также и пограничные случаи 11 return false; 12 13 prod1 = cross(cut2 * (v11-v21)); 14 prod2 = cross(cut2 * (v12-v21)); 15 16 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Отсекаем также и пограничные случаи 17 return false; 18 19 if(crossing) { // Проверяем, надо ли определять место пересечения 20 (*crossing)[X] = v11[X] + cut1[X]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]-prod1[Z]); 21 (*crossing)[Y] = v11[Y] + cut1[Y]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]-prod1[Z]); 22 } 23 24 return true; 25 }

При решении некоторых геометрических задач методом координат приходится находить координаты точки пересечения прямых. Наиболее часто приходится искать координаты точки пересечения двух прямых на плоскости, однако иногда возникает необходимость в определении координат точки пересечения двух прямых в пространстве. В этой статье мы как раз разберемся с нахождением координат точки, в которой пересекаются две прямые.

Навигация по странице.

Точка пересечения двух прямых – определение.

Давайте для начала дадим определение точки пересечения двух прямых.

Таким образом, чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, определенных на плоскости общими уравнениями, нужно решить систему, составленную из уравнений заданных прямых.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите точку пересечения двух прямых, определенных в прямоугольной системе координат на плоскости уравнениями x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .

Решение.

Нам даны два общих уравнения прямых, составим из них систему: . Решения полученной системы уравнений легко находятся, если разрешить ее первое уравнение относительно переменной x и подставить это выражение во второе уравнение:

Найденное решение системы уравнений дает нам искомые координаты точки пересечения двух прямых.

Ответ:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .

Итак, нахождение координат точки пересечения двух прямых, определенных общими уравнениями на плоскости, сводится к решению системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными переменными. А как же быть, если прямые на плоскости заданы не общими уравнениями, а уравнениями другого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости)? В этих случаях можно сначала привести уравнения прямых к общему виду , а уже после этого находить координаты точки пересечения.

Пример.

и .

Решение.

Перед нахождением координат точки пересечения заданных прямых приведем их уравнения к общему виду. Переход от параметрических уравнений прямой к общему уравнению этой прямой выглядит следующим образом:

Теперь проведем необходимые действия с каноническим уравнением прямой :

Таким образом, искомые координаты точки пересечения прямых являются решением системы уравнений вида . Используем для ее решения :

Ответ:

M 0 (-5, 1)

Существует еще один способ нахождения координат точки пересечения двух прямых на плоскости. Его удобно применять, когда одна из прямых задана параметрическими уравнениями вида , а другая – уравнением прямой иного вида. В этом случае в другое уравнение вместо переменных x и y можно подставить выражения и , откуда можно будет получить значение , которое соответствует точке пересечения заданных прямых. При этом точка пересечения прямых имеет координаты .

Найдем координаты точки пересечения прямых из предыдущего примера этим способом.

Пример.

Определите координаты точки пересечения прямых и .

Решение.

Подставим в уравнение прямой выражения :

Решив полученное уравнение, получаем . Это значение соответствует общей точке прямых и . Вычисляем координаты точки пересечения, подставив в параметрические уравнения прямой:
.

Ответ:

M 0 (-5, 1) .

Для полноты картины следует обговорить еще один момент.

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых на плоскости полезно убедиться в том, что заданные прямые действительно пересекаются. Если выяснится, что исходные прямые совпадают или параллельны, то о нахождении координат точки пересечения таких прямых не может быть и речи.

Можно, конечно, обойтись и без такой проверки, а сразу составить систему уравнений вида и решить ее. Если система уравнений имеет единственное решение, то оно дает координаты точки, в которой исходные прямые пересекаются. Если система уравнений решений не имеет, то можно делать вывод о параллельности исходных прямых (так как не существует такой пары действительных чисел x и y , которая бы удовлетворяла одновременно обоим уравнениям заданных прямых). Из наличия бесконечного множества решений системы уравнений следует, что исходные прямые имеют бесконечно много общих точек, то есть, совпадают.

Рассмотрим примеры, подходящие под эти ситуации.

Пример.

Выясните, пересекаются ли прямые и , и если пересекаются, то найдите координаты точки пересечения.

Решение.

Заданным уравнениям прямых соответствуют уравнения и . Решим систему, составленную из этих уравнений .

Очевидно, что уравнения системы линейно выражаются друг через друга (второе уравнение системы получается из первого умножением обеих его частей на 4 ), следовательно, система уравнений имеет бесконечное множество решений. Таким образом, уравнения и определяют одну и ту же прямую, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.

Ответ:

Уравнения и определяют в прямоугольной системе координат Oxy одну и ту же прямую, поэтому мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения прямых и , если это возможно.

Решение.

Условие задачи допускает, что прямые могут быть не пересекающимися. Составим систему из данных уравнений. Применим для ее решения , так как он позволяет установить совместность или несовместность системы уравнений, а в случае ее совместности найти решение:

Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса обратилось в неверное равенство, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда можно сделать вывод, что исходные прямые параллельны, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.

Второй способ решения.

Давайте выясним, пересекаются ли заданные прямые.

- нормальный вектор прямой , а вектор является нормальным вектором прямой . Проверим выполнение и : равенство верно, так как , следовательно, нормальные векторы заданных прямых коллинеарны. Тогда, эти прямые параллельны или совпадают. Таким образом, мы не можем найти координаты точки пересечения исходных прямых.

Ответ:

Координаты точки пересечения заданных прямых найти невозможно, так как эти прямые параллельны.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения прямых 2x-1=0 и , если они пересекаются.

Решение.

Составим систему из уравнений, которые являются общими уравнениями заданных прямых: . Определитель основной матрицы этой системы уравнений отличен от нуля , поэтому система уравнений имеет единственное решение, что свидетельствует о пересечении заданных прямых.

Для нахождения координат точки пересечения прямых нам нужно решить систему:

Полученное решение дает нам координаты точки пересечения прямых, то есть, 2x-1=0 и .

Ответ:

Нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Координаты точки пересечения двух прямых в трехмерном пространстве находятся аналогично.

Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения двух прямых, заданных в пространстве уравнениями и .

Решение.

Составим систему уравнений из уравнений заданных прямых: . Решение этой системы даст нам искомые координаты точки пересечения прямых в пространстве. Найдем решение записанной системы уравнений.

Основная матрица системы имеет вид , а расширенная - .

Определим А и ранг матрицы T . Используем

Навигация по странице.

Точка пересечения двух прямых – определение.

Давайте для начала дадим определение точки пересечения двух прямых.

В разделе взаимное расположение прямых на плоскости показано, что две прямые на плоскости могут либо совпадать (при этом они имеют бесконечно много общих точек), либо быть параллельными (при этом две прямые не имеют общих точек), либо пересекаться, имея одну общую точку. Вариантов взаимного расположения двух прямых в пространстве больше – они могут совпадать (иметь бесконечно много общих точек), могут быть параллельными (то есть, лежать в одной плоскости и не пересекаться), могут быть скрещивающимися (не лежащими в одной плоскости), а также могут иметь одну общую точку, то есть, пересекаться. Итак, две прямые и на плоскости и в пространстве называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Из определения пересекающихся прямых следует определение точки пересечения прямых : точка, в которой пересекаются две прямые, называется точкой пересечения этих прямых. Другими словами, единственная общая точка двух пересекающихся прямых есть точка пересечения этих прямых.

Приведем для наглядности графическую иллюстрацию точки пересечения двух прямых на плоскости и в пространстве.

К началу страницы

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости.

Прежде чем находить координаты точки пересечения двух прямых на плоскости по их известным уравнениям, рассмотрим вспомогательную задачу.

Oxy a и b . Будем считать, что прямой a соответствует общее уравнение прямой вида , а прямой b – вида . Пусть – некоторая точка плоскости, и требуется выяснить, является ли точка М 0 точкой пересечения заданных прямых.

Решим поставленную задачу.

Если M 0 a и b , то по определению она принадлежит и прямой a и прямой b , то есть, ее координаты должны удовлетворять одновременно и уравнению и уравнению . Следовательно, нам нужно подставить координаты точки М 0 в уравнения заданных прямых и посмотреть, получаются ли при этом два верных равенства. Если координаты точки М 0 удовлетворяют обоим уравнениям и , то – точка пересечения прямых a и b , в противном случае М 0 .

Является ли точка М 0 с координатами (2, -3) точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и2x-5y-19=0 ?

Если М 0 действительно точка пересечения заданных прямых, то ее координаты удовлетворяют уравнениям прямых. Проверим это, подставив координаты точки М 0 в заданные уравнения:

Получили два верных равенства, следовательно, М 0 (2, -3) - точка пересечения прямых5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0 .

Для наглядности приведем чертеж, на котором изображены прямые и видны координаты точки их пересечения.

да, точка М 0 (2, -3) является точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0 .

Пересекаются ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M 0 (2, -3) ?

Подставим координаты точки М 0 в уравнения прямых, этим действием будем осуществлена проверка принадлежности точки М 0 обеим прямым одновременно:

Так как второе уравнение при подстановке в него координат точки М 0 не обратилось в верное равенство, то точка М 0 не принадлежит прямой 7x-2y+11=0 . Из этого факта можно сделать вывод о том, что точка М 0 не является точкой пересечения заданных прямых.

На чертеже также хорошо видно, что точка М 0 не является точкой пересечения прямых5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 . Очевидно, заданные прямые пересекаются в точке с координатами (-1, 2) .

М 0 (2, -3) не является точкой пересечения прямых 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 .

Теперь можно переходить к задаче нахождения координат точки пересечения двух прямых по заданным уравнениям прямых на плоскости.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы две пересекающиеся прямые a и b уравнениями и соответственно. Обозначим точку пересечения заданных прямых как М 0 и решим следующую задачу: найти координаты точки пересечения двух прямых a и b по известным уравнениям этих прямых и .

Точка M 0 принадлежит каждой из пересекающихся прямых a и b по определению. Тогда координаты точки пересечения прямых a и b удовлетворяют одновременно и уравнению и уравнению . Следовательно, координаты точки пересечения двух прямых a и b являются решением системы уравнений (смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).

Рассмотрим решение примера.

Найдите точку пересечения двух прямых, определенных в прямоугольной системе координат на плоскости уравнениями x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .

Найденное решение системы уравнений дает нам искомые координаты точки пересечения двух прямых.

M 0 (4, 2) – точка пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .

Итак, нахождение координат точки пересечения двух прямых, определенных общими уравнениями на плоскости, сводится к решению системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными переменными. А как же быть, если прямые на плоскости заданы не общими уравнениями, а уравнениями другого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости)? В этих случаях можно сначала привести уравнения прямых к общему виду, а уже после этого находить координаты точки пересечения.

Теперь проведем необходимые действия с каноническим уравнением прямой :

Таким образом, искомые координаты точки пересечения прямых являются решением системы уравнений вида . Используем для ее решения метод Крамера:

M 0 (-5, 1)

Найдем координаты точки пересечения прямых из предыдущего примера этим способом.

Определите координаты точки пересечения прямых и .

Подставим в уравнение прямой выражения :

M 0 (-5, 1) .

Для полноты картины следует обговорить еще один момент.

Рассмотрим примеры, подходящие под эти ситуации.

Выясните, пересекаются ли прямые и , и если пересекаются, то найдите координаты точки пересечения.

Заданным уравнениям прямых соответствуют уравнения и . Решим систему, составленную из этих уравнений .

уравнения и определяют в прямоугольной системе координатOxy одну и ту же прямую, поэтому мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения.

Найдите координаты точки пересечения прямых и , если это возможно.

Условие задачи допускает, что прямые могут быть не пересекающимися. Составим систему из данных уравнений. Применим для ее решения метод Гаусса, так как он позволяет установить совместность или несовместность системы уравнений, а в случае ее совместности найти решение:

Второй способ решения.

Давайте выясним, пересекаются ли заданные прямые.

Нормальный вектор прямой , а вектор является нормальным вектором прямой . Проверим выполнение условия коллинеарности векторов и : равенство верно, так как , следовательно, нормальные векторы заданных прямых коллинеарны. Тогда, эти прямые параллельны или совпадают. Таким образом, мы не можем найти координаты точки пересечения исходных прямых.

координаты точки пересечения заданных прямых найти невозможно, так как эти прямые параллельны.

Найдите координаты точки пересечения прямых 2x-1=0 и , если они пересекаются.

Для нахождения координат точки пересечения прямых нам нужно решить систему:

Полученное решение дает нам координаты точки пересечения прямых, то есть, - точка пересечения прямых 2x-1=0 и .

К началу страницы

Нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Координаты точки пересечения двух прямых в трехмерном пространстве находятся аналогично.

Пусть пересекающиеся прямые a и b заданы в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями двух пересекающихся плоскостей, то есть, прямая a определяется системой вида , а прямая b - . Пусть М 0 – точка пересечения прямых a и b . Тогда точка М 0 по определению принадлежит и прямой a и прямойb , следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Таким образом, координаты точки пересечения прямых a и b представляют собой решение системы линейных уравнений вида . Здесь нам пригодится информация из разделарешение систем линейных уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных переменных.

Рассмотрим решения примеров.

Найдите координаты точки пересечения двух прямых, заданных в пространстве уравнениями и .

Основная матрица системы имеет вид , а расширенная - .

Определим ранг матрицы А и ранг матрицы T . Используем метод окаймляющих миноров, при этом не будем подробно описывать вычисление определителей (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы):

Таким образом, ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен трем.

Следовательно, система уравнений имеет единственное решение.

Базисным минором примем определитель , поэтому из системы уравнений следует исключить последнее уравнение, так как оно не участвует в образовании базисного минора. Итак,

Решение полученной системы легко находится:

Таким образом, точка пересечения прямых и имеет координаты (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Следует отметить, что система уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямые a и b пересекаются. Если же прямые а и b параллельные или скрещивающиеся, то последняя система уравнений решений не имеет, так как в этом случае прямые не имеют общих точек. Если прямые a и b совпадают, то они имеют бесконечное множество общих точек, следовательно, указанная система уравнений имеет бесконечное множество решений. Однако в этих случаях мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения прямых, так как прямые не являются пересекающимися.

Таким образом, если мы заранее не знаем, пересекаются заданные прямые a и b или нет, то разумно составить систему уравнений вида и решить ее методом Гаусса. Если получим единственное решение, то оно будет соответствовать координатам точки пересечения прямых a и b . Если система окажется несовместной, то прямые a и b не пересекаются. Если же система будет иметь бесконечное множество решений, то прямые a и b совпадают.

Можно обойтись и без использования метода Гаусса. Как вариант, можно вычислить ранги основной и расширенной матриц этой системы, и на основании полученных данных и теоремы Кронекера-Капелли сделать вывод или о существовании единственного решения, или о существовании множества решений, или об отсутствии решений. Это дело вкуса.

Если прямые и пересекаются, то определите координаты точки пересечения.

Составим систему из заданных уравнений: . Решим ее методом Гаусса в матричной форме:

Стало видно, что система уравнений не имеет решений, следовательно, заданные прямые не пересекаются, и не может быть и речи о поиске координат точки пересечения этих прямых.

мы не можем найти координаты точки пересечения заданных прямых, так как эти прямые не пересекаются.

Когда пересекающиеся прямые заданы каноническими уравнениями прямой в пространствеили параметрическими уравнениями прямой в пространстве, то следует сначала получить их уравнения в виде двух пересекающихся плоскостей, а уже после этого находить координаты точки пересечения.

Две пересекающиеся прямые заданы в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями и . Найдите координаты точки пересечения этих прямых.

Зададим исходные прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей:

Для нахождения координат точки пересечения прямых осталось решить систему уравнений . Ранг основной матрицы этой системы равен рангу расширенной матрицы и равен трем (рекомендуем проверить этот факт). В качестве базисного минора примем , следовательно, из системы можно исключить последнее уравнение . Решив полученную систему любым методом (например методом Крамера) получаем решение . Таким образом, точка пересечения прямых и имеет координаты (-2, 3, -5) .

В двумерном пространстве две прямые пересекаются только в одной точке, задаваемой координатами (х,y). Так как обе прямые проходят через точку их пересечения, то координаты (х,y) должны удовлетворять обоим уравнениям, которые описывают эти прямые. Воспользовавшись некоторыми дополнительными навыками вы сможете находить точки пересечения парабол и других квадратичных кривых.

Шаги

Точка пересечения двух прямых

Запишите уравнение каждой прямой, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения. Возможно, данное вам уравнение вместо «у» будет содержать переменную f(x) или g(x); в этом случае обособьте такую переменную. Для обособления переменной выполните соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения.

Если уравнения прямых вам не даны, на основе известной вам информации.
Пример . Даны прямые, описываемые уравнениями и y − 12 = − 2 x {\displaystyle y-12=-2x} . Чтобы во втором уравнении обособить «у», прибавьте к обеим сторонам уравнения число 12:

Вы ищете точку пересечения обеих прямых, то есть точку, координаты (х,у) которой удовлетворяют обоим уравнениям. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять. Запишите новое уравнение.
- Пример . Так как y = x + 3 {\displaystyle y=x+3} и y = 12 − 2 x {\displaystyle y=12-2x} , то можно записать такое равенство: .
Найдите значение переменной «х». Новое уравнение содержит только одну переменную «х». Для нахождения «х» обособьте эту переменную на левой стороне уравнения, выполнив соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения. Вы должны получить уравнение вида х = __ (если вы не можете это сделать, этого раздела).
- Пример . x + 3 = 12 − 2 x {\displaystyle x+3=12-2x}
- Прибавьте 2 x {\displaystyle 2x} к каждой стороне уравнения:
- 3 x + 3 = 12 {\displaystyle 3x+3=12}
- Вычтите 3 из каждой стороны уравнения:
- 3 x = 9 {\displaystyle 3x=9}
- Разделите каждую сторону уравнения на 3:
- x = 3 {\displaystyle x=3} .
Используйте найденное значение переменной «х» для вычисления значения переменной «у». Для этого подставьте найденное значение «х» в уравнение (любое) прямой.
- Пример . x = 3 {\displaystyle x=3} и y = x + 3 {\displaystyle y=x+3}
- y = 3 + 3 {\displaystyle y=3+3}
- y = 6 {\displaystyle y=6}
Проверьте ответ. Для этого подставьте значение «х» в другое уравнение прямой и найдите значение «у». Если вы получите разные значение «у», проверьте правильность ваших вычислений.
- Пример: x = 3 {\displaystyle x=3} и y = 12 − 2 x {\displaystyle y=12-2x}
- y = 12 − 2 (3) {\displaystyle y=12-2(3)}
- y = 12 − 6 {\displaystyle y=12-6}
- y = 6 {\displaystyle y=6}
- Вы получили такое же значение «у», поэтому в ваших вычислениях ошибок нет.
Запишите координаты (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух прямых. Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у).
- Пример . x = 3 {\displaystyle x=3} и y = 6 {\displaystyle y=6}
- Таким образом, две прямые пересекаются в точке с координатами (3,6).
Вычисления в особых случаях. В некоторых случаях значение переменной «х» найти нельзя. Но это не значит, что вы допустили ошибку. Особый случай имеет место при выполнении одного из следующих условий:
- Если две прямые параллельны, они не пересекаются. При этом переменная «х» просто сократится, а ваше уравнение превратится в бессмысленное равенство (например, 0 = 1 {\displaystyle 0=1} ). В этом случае в ответе запишите, что прямые не пересекаются или решения нет.
- Если оба уравнения описывают одну прямую, то точек пересечения будет бесконечное множество. При этом переменная «х» просто сократится, а ваше уравнение превратится в строгое равенство (например, 3 = 3 {\displaystyle 3=3} ). В этом случае в ответе запишите, что две прямые совпадают.
Задачи с квадратичными функциями
1. Определение квадратичной функции. В квадратичной функции одна или несколько переменных имеют вторую степень (но не выше), например, x 2 {\displaystyle x^{2}} или y 2 {\displaystyle y^{2}} . Графиками квадратичных функций являются кривые, которые могут не пересекаться или пересекаться в одной или двух точках. В этом разделе мы расскажем вам, как найти точку или точки пересечения квадратичных кривых.
2. Перепишите каждое уравнение, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения.
  - Пример . Найдите точку (точки) пересечения графиков x 2 + 2 x − y = − 1 {\displaystyle x^{2}+2x-y=-1} и
  - Обособьте переменную «у» на левой стороне уравнения:
  - и y = x + 7 {\displaystyle y=x+7} .
  - В этом примере вам дана одна квадратичная функция и одна линейная функция. Помните, что если вам даны две квадратичные функции, вычисления аналогичны шагам, изложенным далее.
3. Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять.
  - Пример . y = x 2 + 2 x + 1 {\displaystyle y=x^{2}+2x+1} и y = x + 7 {\displaystyle y=x+7}
4. Перенесите все члены полученного уравнения на его левую сторону, а на правой стороне запишите 0. Для этого выполните базовые математические операции. Это позволит вам решить полученное уравнение.
  - Пример . x 2 + 2 x + 1 = x + 7 {\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}
  - Вычтите «x» из обеих сторон уравнения:
  - x 2 + x + 1 = 7 {\displaystyle x^{2}+x+1=7}
  - Вычтите 7 из обеих сторон уравнения:
5. Решите квадратное уравнение. Перенеся все члены уравнения на его левую сторону, вы получили квадратное уравнение. Его можно решить тремя способами: при помощи специальной формулы, и .
  - Пример . x 2 + x − 6 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-6=0}
  - При разложении уравнения на множители вы получите два двучлена, при перемножении которых получается исходное уравнение. В нашем примере первый член x 2 {\displaystyle x^{2}} можно разложить на х*х. Сделайте следующую запись: (x)(x) = 0
  - В нашем примере свободный член -6 можно разложить на следующие множители: − 6 ∗ 1 {\displaystyle -6*1} , − 3 ∗ 2 {\displaystyle -3*2} , − 2 ∗ 3 {\displaystyle -2*3} , − 1 ∗ 6 {\displaystyle -1*6} .
  - В нашем примере второй член – это х (или 1x). Сложите каждую пару множителей свободного члена (в нашем примере -6), пока не получите 1. В нашем примере подходящей парой множителей свободного члена являются числа -2 и 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 {\displaystyle -2*3=-6} ), так как − 2 + 3 = 1 {\displaystyle -2+3=1} .
  - Заполните пробелы найденной парой чисел: .
6. Не забудьте про вторую точку пересечения двух графиков. Если вы решаете задачу быстро и не очень внимательно, вы можете забыть про вторую точку пересечения. Вот как найти координаты «х» двух точек пересечения:
  - Пример (разложение на множители) . Если в уравнении (x − 2) (x + 3) = 0 {\displaystyle (x-2)(x+3)=0} одно из выражений в скобках будет равно 0, то все уравнение будет равно 0. Поэтому можно записать так: x − 2 = 0 {\displaystyle x-2=0} → x = 2 {\displaystyle x=2} и x + 3 = 0 {\displaystyle x+3=0} → x = − 3 {\displaystyle x=-3} (то есть вы нашли два корня уравнения).
  - Пример (использование формулы или дополнение до полного квадрата) . При использовании одного из этих методов в процессе решения появится квадратный корень. Например, уравнение из нашего примера примет вид x = (− 1 + 25) / 2 {\displaystyle x=(-1+{\sqrt {25}})/2} . Помните, что при извлечении квадратного корня вы получите два решения. В нашем случае: 25 = 5 ∗ 5 {\displaystyle {\sqrt {25}}=5*5} , и 25 = (− 5) ∗ (− 5) {\displaystyle {\sqrt {25}}=(-5)*(-5)} . Поэтому запишите два уравнения и найдите два значения «х».
7. Графики пересекаются в одной точке или вообще не пересекаются. Такие ситуации имеют место при соблюдении следующих условий:
  - Если графики пересекаются в одной точке, то квадратное уравнение раскладывается на одинаковые множители, например, (х-1) (х-1) = 0, а в формуле появляется квадратный корень из 0 ( 0 {\displaystyle {\sqrt {0}}} ). В этом случае уравнение имеет только одно решение.
  - Если графики вообще не пересекаются, то уравнение на множители не раскладывается, а в формуле появляется квадратный корень из отрицательного числа (например, − 2 {\displaystyle {\sqrt {-2}}} ). В этом случае в ответе напишите, что решения нет.